大学物理：第4章振动

1、机械振动机械振动物体在一定的位置附近做来回往复的运动。物体在一定的位置附近做来回往复的运动。g机械机械振动振动.mp4机械振动：机械振动：振动：振动：任何一个物理量在某个确定的数值附近作任何一个物理量在某个确定的数值附近作周期性的变化。周期性的变化。任何复杂的振动都任何复杂的振动都可可以看做是由若干个简以看做是由若干个简单而又基本的振动的单而又基本的振动的合成。这种简单而又合成。这种简单而又基本的振动形式称为基本的振动形式称为简谐运动（简谐运动（理想化）理想化）。分振动分振动.swfkl0 xmoAA00Fx4.1 简谐振动简谐振动4.1.1简谐振动简谐振动原点原点O为平衡位置为平衡位置xxF

2、mox为物体离开为物体离开 平衡位置的平衡位置的位移位移力与位移成正比而力与位移成正比而反向。反向。kxF 合力：合力：0dd222xtxmk2令令振动的振动的微分方程微分方程 简谐简谐振动方程：振动方程：22dtxdmF 因因kx积分常数，根据初始条件确定积分常数，根据初始条件确定)cos(tAx其解为其解为简谐振动方程简谐振动方程 tx图图tv图图ta图图TAA2A2AxvatttAAoooT0作图，取作图，取)2cos(tA)cos(2tAT)cos(tAx)sin(tAdtdxv)cos(2tAdtdva)cos(tAx 4.1.2 描述简谐振动的基本物理量描述简谐振动的基本物理量 k

3、mT2弹簧振子周期弹簧振子周期 周期周期21T 频率频率T22圆频率圆频率)(cosTtA周期和频率仅与振动系周期和频率仅与振动系统统本身本身的物理性质有关的物理性质有关注意注意tx 图图AAxT2TtomaxxA 振幅振幅2T1 1） 存在一一对应的关系存在一一对应的关系; ;),(vxt202 2）相位在相位在 内变化，在此区间质点内变化，在此区间质点无相同无相同的的 运动状态；运动状态； 相位相位 ：3 3）初）初相位相位 描述质点描述质点初始初始时刻的运动状态时刻的运动状态. . ) 0( t) (2nn相差相差 为整数为整数 质点质点运动状态运动状态全同全同. .（周期性）周期性）2

4、0( ( 取取 或或 ) )是决定是决定简谐振动状态简谐振动状态的物理量的物理量 习惯上常将大于习惯上常将大于，小于，小于2的初相表示为负值，的初相表示为负值， ttx图图AAx 2 ovvv t22020vxA00tanxv常数常数 和和 由初始条件确定由初始条件确定A000vv xxt初始条件初始条件cos0Ax sin0Av 对给定振动系统，对给定振动系统，周期周期由系统由系统本身性质本身性质决定，决定，振幅和初相振幅和初相由由初始条件初始条件决定决定.)sin(tAv)cos(tAx 以以 为为原点旋转矢原点旋转矢量量 的端点的端点在在 轴上的轴上的投影点的运投影点的运动为简谐运动为简

5、谐运动动. .xAoxoA0 xx )cos(tAxt0tt 旋转旋转矢量矢量 的的端点在端点在 轴上的投轴上的投影点的运影点的运动为简谐动为简谐运动运动. .xA)cos(tAx用旋转矢量图画简谐运动的用旋转矢量图画简谐运动的 图图tx例例1 有小球与轻弹簧相联作简谐振动，表达式用余有小球与轻弹簧相联作简谐振动，表达式用余弦函数表示，若弦函数表示，若t0时，小球状态时，小球状态x0A，过，过平衡位置向正向运动；过平衡位置向正向运动；过x0.5A向负向运动；向负向运动；过过 处向正向运动，求初相位处向正向运动，求初相位.2Ax 1. 旋转矢量法确定旋转矢量法确定 AAx2AtoabxAA02.

6、2.相位差：表示两个相位之差相位差：表示两个相位之差 . . 1 1）对）对同一同一简谐运动，相位差可以给出两运动状简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间态间变化所需的时间. .)()(12tt12tttaA3 TTt6123v2AbA 例例2 物体沿物体沿X轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为0.12m，周期，周期为为2s，t = 0时的位移位时的位移位0.06m且向且向X轴正方向运动。轴正方向运动。求：（求：（1）初位相）初位相;（2）振动方程；）振动方程； （3）t = 0.5 s时，物体的位移、速度、加速度（时，物体的位移、速度、加速度（4）x = - 0.06 m且向

7、且向X轴负方向运动时，物体的速度、加速度以轴负方向运动时，物体的速度、加速度以及第一次回到平衡位置所需的时间及第一次回到平衡位置所需的时间。 stsmasmvmX 65/ 02. 1/ 19. 0 104. 03(20 0 xto同步同步 3. 3. 对于两个同频率的简谐运动，相位差表对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异示它们间步调上的差异. .（解决振动合成问题）（解决振动合成问题）)cos(111tAx)cos(222tAx)()(12tt12xto为其它为其它超前超前落后落后txo反相反相 例例3 3： 两个小球都在竖直方向上作同周期的简谐振动，两个小球都在竖直方向上作

8、同周期的简谐振动，第二个小球的振幅恰是第一个小球振幅的两倍；当第第二个小球的振幅恰是第一个小球振幅的两倍；当第一个小球自振动的正方向回到其平衡位置时，第二个一个小球自振动的正方向回到其平衡位置时，第二个小球恰在正方向的端点，如第一个小球的振动方程为：小球恰在正方向的端点，如第一个小球的振动方程为： 求第二个小球的振动方程，并指出其位相差。求第二个小球的振动方程，并指出其位相差。2)2tcos(A2Y1012)(1011tCOSAY例例4 4 如图如图4.5(a)4.5(a)所示，一轻弹簧在所示，一轻弹簧在60 60 N的拉力的拉力下伸长下伸长3030 cm。现把质量为。现把质量为4 kg的物体

9、悬挂在该弹的物体悬挂在该弹簧的下端并使之静止，再把物体向下拉簧的下端并使之静止，再把物体向下拉1010 cm，然，然后由静止释放并开始计时。求后由静止释放并开始计时。求 (1) (1) 物体的振动方程；物体的振动方程； (2) (2) 物体在平衡位置上方物体在平衡位置上方5 5 cm时弹簧对物体时弹簧对物体的拉力；的拉力； (3) (3) 物体从第一次越过平衡位置时刻起，到物体从第一次越过平衡位置时刻起，到它运动到平衡位置上方它运动到平衡位置上方5 5 cm处所需要的最短时间处所需要的最短时间。-解解(1)选选平衡位置为坐标原点平衡位置为坐标原点O，x轴轴向下为正方向向下为正方向 在任意位置在

10、任意位置x处处 220)(dtxdmxlkmg0l平衡位置处弹簧伸长量平衡位置处弹簧伸长量 00 klmg22dtxdmkx mk设设222d0dxxt得得0l判断是否简谐振动？判断是否简谐振动？ cos()xAt确确定定方程中的方程中的常数常数: 2003 . 060lfkNm1 07. 7mkrads1 由由t = 0时，时，(m)，1 . 00 x00v,得得 22002vAx， = = 0.10 m 00tanvx= = 0振动方程振动方程为为 x = 0.10 cos(7.07t) m(2) 求物体在平衡位置上方求物体在平衡位置上方5 cm时弹簧对物体的拉力时弹簧对物体的拉力 物体在

11、平衡位置上方物体在平衡位置上方5 cm时，时， 假设假设物体受拉力物体受拉力f 向上，如图向上，如图 fmgma222.5m sax 得弹簧对物体的拉力得弹簧对物体的拉力 2 .29)5 . 28 . 9(4fN f 所得所得值为正值为正，说明，说明与假设与假设方向方向相同相同。(3) 求物体从求物体从第一次第一次越过平衡位置时刻起，到它运越过平衡位置时刻起，到它运动到平衡位置动到平衡位置上方上方5 cm处所需要的最短时间。处所需要的最短时间。根据此旋转矢量图得根据此旋转矢量图得 26/12Ttt61212Tttt0.074 s 4.1.4 复摆复摆 质量为质量为m的的任意形状任意形状的物体，

12、挂的物体，挂在无摩擦的水平轴在无摩擦的水平轴O上。将它拉开一上。将它拉开一个微小的角度后释放，物体将绕轴个微小的角度后释放，物体将绕轴O自由摆动。这样的装置叫复摆自由摆动。这样的装置叫复摆。 摆角小于摆角小于5时：时： sin22ddmgltJ J是复摆的是复摆的转动惯量转动惯量回复力矩回复力矩mglMmglJ设设222d0dt 22ddmgltJ 圆频率圆频率即复摆在即复摆在摆角小于摆角小于5时，做简谐振动。时，做简谐振动。 其振动方程为其振动方程为)cos(tm当当2Jml时，即对应单摆的情况时，即对应单摆的情况 gl2lTg 简谐运动的判断（满足其中一条即可）简谐运动的判断（满足其中一条

13、即可）2 2）简谐运动的动力学描述简谐运动的动力学描述1 1）物体受线性物体受线性回复力回复力作用作用3 3）简谐运动的运动学描述简谐运动的运动学描述kxF0dd222xtx)cos(tAx（或物体受线性（或物体受线性回复力矩回复力矩作用作用 ）kM4.1.5 简谐振动的能量简谐振动的能量cos()xAt)sin(tAv 以弹簧振子为例，物体质量以弹簧振子为例，物体质量m，劲度系数为，劲度系数为k系统的系统的动能动能为为222211sin ()22kEmvmAt系统的系统的势能势能为为22211cos ()22PEkxkAt系统的系统的总能量总能量为为PkEEE222221sin ()21co

14、s ()2mAtkAtmk2212kA 结论结论： 弹簧振子做简谐振动时，其弹簧振子做简谐振动时，其总能总能量量与与振幅的平方成正比。振幅的平方成正比。 该结论对作简谐振动的其它系统也是成立的。该结论对作简谐振动的其它系统也是成立的。能量随时间的变化关系能量随时间的变化关系能量随位置的变化关系能量随位置的变化关系4.2 简谐振动的合成简谐振动的合成4.2.1 同方向同频率的简谐振动的合成同方向同频率的简谐振动的合成111cos()xAt222cos()xAt合振动的位移合振动的位移21xxx3. 合振幅合振幅 AAAAA)cos(2102021222111221122sinsintancosc

15、osAAAAcos()xAt2. 初位相初位相1. 合振动仍是同方向同频率的简谐振动合振动仍是同方向同频率的简谐振动 振幅最大振幅最大 Amax=A1+A24.4.相位差对合振幅的影响相位差对合振幅的影响（1 1）同相振动）同相振动21()2(0,1,2,)kk这时这时21cos()1振幅最小振幅最小 Amin= |A1 A2|（2 2）反相振动）反相振动（3 3）若位相差）若位相差 1020为其它任意值时为其它任意值时振幅振幅A AminA Amax 21()(21)(0,1,2,)kk这时这时1)cos(12*4.2.2 同方向不同频率的简谐振动的合成同方向不同频率的简谐振动的合成12 下

16、面仅讨论两个简谐振动的下面仅讨论两个简谐振动的频率频率和和大大，而两频率之而两频率之差差却却很小很小的情况。的情况。都比都比较较11cos2xAt22cos2xAt合振动位移为合振动位移为21xxx21212 cos2cos222xAtt合振动的振幅为合振动的振幅为 212 cos22At 合振幅每变化一个周期称为一拍，单位时间拍合振幅每变化一个周期称为一拍，单位时间拍出现的次数称为出现的次数称为拍频拍频（指合振幅变化的频率）。（指合振幅变化的频率）。21拍频：拍频： 对于两个频率相接近的振动，若其中一个频率为对于两个频率相接近的振动，若其中一个频率为已知，则通过拍频的测量就可以知道另一个待测

17、振已知，则通过拍频的测量就可以知道另一个待测振动的频率。这种方法常用于动的频率。这种方法常用于声学声学、速度测量速度测量、无线无线电技术电技术和和卫星跟踪卫星跟踪等领域。等领域。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。声振动、电磁振荡和波动中是经常遇到的。应用：应用：*4.2.3 两个互相垂直的简谐振动的合成两个互相垂直的简谐振动的合成110cos()xAt220cos()yAt设设222201020102212122cos()sin ()xyxyAAA A 这说明：振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是这说明：振动方向互相垂直的同频谐振的轨迹是一椭圆曲线，但曲线的形状则与两分振动的位相差一椭圆曲线

18、，但曲线的形状则与两分振动的位相差有很大关系。有很大关系。 = 0 = /4 = /2 = 3 /4 = PQ利萨如图形 谐振子谐振子的概念在的概念在近代物理，如量近代物理，如量子力学、热力学，子力学、热力学，凝聚态物理等各凝聚态物理等各学科中都有重要学科中都有重要的应用。的应用。合成合成1.exe合成合成2.exe* *4.3 4.3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振*4.3.1 阻尼振动阻尼振动在物体运动速度不太大的情况下，粘滞阻力为在物体运动速度不太大的情况下，粘滞阻力为 dtdxvfr以弹簧振子为例，其运动微分方程为以弹簧振子为例，其运动微分方程为kxdtdxdtxdm22令令02kmm2d xdtdxdtx220220式中式中阻尼