多元函数的极值及其求法48

1、 第九章第九章第八节第八节 多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法一、多元函数的极值一、多元函数的极值二、最值应用问题二、最值应用问题三、条件极值三、条件极值 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 回忆一元函数的极值回忆一元函数的极值设 f x0u x在内有定义，如果0 xu x 0f xf x 0f xf x有或则称0f x f x是的一个极大值或极小值必要条件：必要条件：定义：定义： f x在0 x处可导，且在0 x处取得极值，那么00fx最值最值 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 一、一、 多元函数的极值多元函数的极值 定义定义: 若函数则称函数在该点取得极大值

2、例如例如 :在点 (0,0) 有极小值;在点 (0,0) 有极大值;在点 (0,0) 无极值.极大值和极小值统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点.00( , )(,)f x yf xy00( , )(,)f x yf xy或2243yxz22yxzyxz ),(),(00yxyxfz在点的某去心邻域内有xyzoxyzoxzyo(极小值). 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 说明说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如,定理定理1 (必要条件) 函数偏导数,证证:据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立.0000(,)0 ,(,)0 xyfxyfxy取得极值 ,取得极值

3、取得极值 但驻点不一定是极值点.有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值.且在该点取得极值 , 则有),(),(00yxyxfz在点存在),(),(00yxyxfz在点因在),(0yxfz 0 xx 故在),(0yxfz 0yy yxz 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 从几何上看，若曲面 z=f(x,y) 在点 处有切平面，),(000zyx0000000(,)()(,)()xyzzfxyxxfxyyy成为平行于xoy坐标面的平面00zz则切平面 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 时, 具有极值定理定理2 (充分条件)的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令则: 1

4、) 当a0 时取极小值.2) 当3) 当时, 没有极值.时, 不能确定 , 需另行讨论.若函数的在点),(),(00yxyxfz 0),(,0),(0000yxfyxfyx),(, ),(, ),(000000yxfcyxfbyxfayyyxxx02 bac02 bac02 bac且 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例2.2. 求函数解解: 第一步第一步 求驻点求驻点. .得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判别判别.在点(1,0) 处为极小值;解方程组abc),(yxfx09632 xx),(yxfy0632yy的极值

5、.求二阶偏导数,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c,06122 bac5)0, 1 ( f,0axyxyxyxf933),(22331, 3x 0,2y 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 在点(3,0) 处不是极值;在点(3,2) 处为极大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,12a,0b,6c,06122 bac)0,3( f6,0,12cba31)2,3( f,0)6(122 bac,0a在点(1,2) 处不是极值;6,0,12cba)2, 1 (f,0)6(122 bacabc 目录 上页

6、 下页 返回 结束高等数学高等数学 极值的概念和必要条件可推广到多元函数定义：定义：设 n 元函数 uf p,d的定义域是0pd是的内点，若0p0u pd的某邻域使得该邻域内异于0p的任何点,p都有 0f pf p 0f pf p或则称 f p0p在取得极大值（或极小值）。必要条件：必要条件：三元函数, ,uf x y z000,xy z在有偏导数，且取得极值，则000000000,0,0,0 xyzfxy zfxy zfxy z 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 二、最值应用问题二、最值应用问题函数 f 在闭域上连续函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 极值点边界上的最值点特

7、别特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个只有一个极值点p 时, )(pf为极小值)(pf为最小值( (大大) )( (大大) )依据 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例4 4.解解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为则水箱所用材料的面积为令得驻点某厂要用铁板做一个体积为2根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省?,m2yx2ayxyxy2yxx2yxyx22200yx0)(222xxya0)(222yyxa因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为高为时, 水箱所用材料最省.3m)2,2(3

8、3323222233 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例5. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成解解: 设折起来的边长为 x cm,则断面面积x24一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为 ,acos2224xx x224(21sin) xsincossin2sin2422xxxx224x积最大. )0,120:(2 xd为问怎样折法才能使断面面 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 cos24xcos22x0)sin(cos222x令xasin24sin4x0cossin2xa解得:由题意知,最大值在定义域d 内达到,而在域d 内只有一个驻点, 故此点即为所

9、求.,0sin0 xsincossin2sin2422xxxa)0,120:(2 xd0cos212xx0)sin(coscos2cos2422xx(cm)8,603x 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 三、条件极值三、条件极值极值问题无条件极值:条 件 极 值 :条件极值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函数的无条件极值问题对自变量只有定义域限制对自变量除定义域限制外,还有其他条件限制例如 ,转化,0),(下在条件yx的极值求函数),(yxfz )(0),(xyyx 中解出从条件)(,(xxfz 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 ,0),(下在条件yx方法方法

10、2 拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法.),(的极值求函数yxfz 例如例如,引入辅助函数辅助函数f 称为拉格朗日( lagrange )函数.0 xxxff0yyyff0f利用拉格则极值点满足:朗日函数求极值的方法称为拉格朗日乘数法.),(),(yxyxff 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 推广推广拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形. 设解方程组可得到条件极值的可疑点 . 例如例如, 求函数下的极值.在条件),(zyxfu ,0),(zyx0),(zyx),(),(),(21zyxzyxzyxff021xxxxff021yyyyff021zzzzff01f20f 目

11、录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 例例6. 要设计一个容量为0v则问题为求x , y ,令解方程组解解: 设 x , y , z 分别表示长、宽、高,下水箱表面积最小.z 使在条件xf02zyyzyf02zxxzzf0)(2yxyxf00vzyx水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？的长方体开口水箱, 0vzyxyxzyzxs)(2)()(20vzyxyxzyzxfxyz试问 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 得唯一驻点,2230vzyx3024v由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省.因此 , 当高为,340vxyz思考思考:1) 当水箱封闭

12、时, 长、宽、高的尺寸如何?提示提示: 利用对称性可知,30vzyx2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示提示:)()(20vzyxyxzyzxf2长、宽、高尺寸相等 .最省, 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 内容小结内容小结1. 函数的极值问题函数的极值问题第一步 利用必要条件在定义域内找驻点.即解方程组第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 .2. 函数的条件极值问题函数的条件极值问题(1) 简单问题用代入法, ),(yxfz 0),(0),(yxfyxfyx如对二元函数(2) 一般问题用拉格朗日乘数法 目

13、录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 第二步 判别 比较驻点及边界点上函数值的大小 根据问题的实际意义确定最值第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件)3. 函数的最值问题函数的最值问题 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 已知平面上两定点 a( 1 , 3 ), b( 4 , 2 ),试在椭圆圆周上求一点 c, 使abc 面积 s最大.解答提示解答提示: 设 c 点坐标为 (x , y),思考与练习思考与练习 21031013yxkji)103, 0,0(21yx)0, 0(14922yxyx则 acabs2110321yxcbayxedo 目录 上页 下页 返回 结

14、束高等数学高等数学 设拉格朗日函数解方程组得驻点对应面积而比较可知, 点 c 与 e 重合时, 三角形面积最大.)491 ()103(222yxyxf092)103(2xyx042)103(6yyx049122yx646. 1s,54,53yx,5 . 3,2edss点击图中任意点动画开始或暂停 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 注 备用题备用题 1. 求半径为r 的圆的内接三角形中面积最大者.解解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, ,2zyxzyx它们所对应的三个三角形面积分别为,sin2211xrs ,sin2212yrs zrssin22130,0,0zyx

15、设拉氏函数)2(sinsinsinzyxzyxf解方程组0cosx, 得32zyx故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 32sin322maxrs.4332r0cosy0cosz02zyx注则 注因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者. bca1a若abc 位于半圆内(如图) , 则其bc 边上的高小于a1bc 同边上的高, 故前者的面积小于后者， 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 为边的面积最大的四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 ?提示提示: sin21sin21dcbas)0,0(目标函数目标函数 :cos2cos22222dcdcbaba约束条件约束条件 :dcba

16、,abcd答案答案:,即四边形内接于圆时面积最大 .2. 求平面上以 目录 上页 下页 返回 结束高等数学高等数学 3. 设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电电视机的销售价格为p, 销售量为x, 假设该厂的生产处于平衡状态, 即生产量等于销售量. 根据市场预测, x 与p 满 足关系:(0,0)eapxmma其中m是最大市场需求量, a是价格系数.又据对生产环节的分析, 预测每台电视机的生产成本满足:) 1, 0(ln0 xkxkcc其中c0是生产一台电视机的成本, k是规模系数. 问应如何确定每台电视机的售价 p , 才能使该厂获得最大利润？解解: 生产x台获得利润xcpu)(问题化为在条件, 下求xcpu