2020高考不等式知识点基础与提高(含答案)

1、2020高考不等式知识点基础与提高（含答案）不等式知识体系中的核心问题主要有以下几个方面：（i）解不等式问题解一般不等式：一元二次，分数，高次和绝对值不等式，利用函数思想解含参数不等式的解法。（2）线性规划问题（3）不等式的性质和不等式的证明问题：不等式的性质是解不等式和不等式证明的基础工具，希望同学们能够熟练掌握。不等式的证明问题中，归纳出几点：一元含参不等式，一般来讲，求导是一种基础方法，基本可以解决很多题目。这类题目 一般与函数和导函数的知识相关，利用函数，导数相关知识证明不等式数列不等式的证明。 比如说一元不等式的恒成立问题，可以将不等式转换成某一个区间上函数的最值问题来求 解，就可以

2、运用导函数的正负来判断函数的单调性，从而求出最值。多元不等式的求解和证明中，往往需要使用均值不等式和柯西不等式。与数列有关的不等式，一般难度较高，出现在高考试卷的最后几道大题中，并且分几个小问，在解题中I .注意利用题中所给结论，很多情况下，第二问需要用到第一问给的结论，第三问需 要前两问的结论。II .熟练掌握数列求和的方法III .注意积累放缩技巧，在求和之类的问题不能直接求得的时候，需要估计。其中常用的几种方法，包括裂项求和，无穷缩比数列的求和等。基础篇（10 北京 1）集合 P x Z0 x 3, M x Rx2 9 ,则 P MA. 1,2B. 0,1,2C. x0 x 3 D. x

3、0 x 3考点：不等式的求解和集合运算解析：集合P容易求得，P=1,2,3,本题关键在于求集合 M,根据不等式的运算法则，M=-3,3, P M 0,1,2 。这种题目简单但考的很基础，一般在选择题的前几道题目中出现。答案：B（10安徽2）若集合A xlog 1 x ,则3叫=22A.C.,02B. 一2、.2D. 一2考点：集合运算对数函数和不等式的运算 规律方法：利用函数性质解析：对于函数，首先考虑定义域，则x>0；该题目中的对数函数为递减，所以x 丝,2最后&rA=,0 旦,本题注重基础，而且综合众多考点，是一道好题。2O答案：A注意：在涉及到函数问题时，首先考虑定义域（1

4、0全国I 13）不等式 hx 1 x 1的解集是考点：不等式的解法规律方法：转化与化归-2,22x1x1解析：原不等式等价于2x1x，解得0WxW 2.本小题主要考查根式不等式x 1 0的解法，利用平方去掉根号是解根式不等式的基本思路，也让转化与化归的数学思想体现得淋漓尽致.答案：x0 x 226(10全国II5）不等式x-x6 > 0的解集为x 1A. xx 2,或 x 3B. xx 2,或 1 x 3D. x 2 x 1,或 1 x 3C. x 2 x 1,或 x3考点：分式不等式与高次不等式的解法 规律方法：数轴穿根法解高次不等式26解析：题目中可以将等效 -一x6 x 1是先进行

5、因式分解，而后不等式左右两边同乘以（X 1 ）2的正数，其中X 1 .用数轴穿根法解得-2<x< 1或x> 3,本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法答案：C扩展：本题若为一道计算题，则需要用分类讨论的方法，即分别讨论x<-2 , -2<xVl, lVx<3和x>3的情况，最后解出不等式。（10课标8）设偶函数f x满足f x x3 8x 0 ,则xf x 2 0A.xx 减 x 4B.xx0或 x 4C.xx0或 x 6D.xx 2或x 2考点：利用函数性质解不等式的方法规律方法：利用函数性质解不等式偶函数解析：当x 0时，由f x x3 8 0

6、得x 2又f x为偶函数， fx 0时x 2或x 2f x 20 x 2 2或x 22,即 x 4或 x 0,选 B另法：（特征分析法）偶函数f x的图像关于y轴对称，函数y f x 2的图形必关于直线x 2对称，由此可知不等式 f x 2 0的解集应该关于2对称。答案：B注意：近几年来函数与不等式结合的考查是近年来高考中不等式的特点，所以同学们 复习的时候要适当的加强这一块的训练。（10全国卷II 3）若变量x , y满足约束条件A. 1B. 2考点：简单的线性规划问题. 规律方法：线性规划解析：可行域是由A 1, 1 , Bx 1,y x, 则z 2x y的最大值为3x 2y 5C. 3D

7、. 41,4, C 1,1构成的三角形，将z = 2 x + y化成y=2x + z, z即直线与y轴交点的纵坐标， 可知目标函数过点 C时最大，最大值为3。 答案：C注意：线性规划问题是近年来高考的热点，一般以选择题和填空题为主，以基础题和中档题居多，同学们在复习的过程中注重概念和基础，熟练掌握图解法，要做到数图结合。x y 11 0（10北京7）设不等式组 3x y 3 0表示的平面区域为 D,若指数函数y ax的图5x 3y 9 0象上存在区域 D上的点，则a的取值范围是A. 1,3B. 2,3C. 1,2D. 3,考点：线性规划、指数函数规律方法：划归解析：这是一道略微灵活的线性规划问

8、题，作出区域xD的图象，联系指数函数 y a的图象，能够看出，当图象经过区域的边界点 于1,图象必然经过区域内的点.答案：A（2, 9）时，a可以取到最大值 3,而显然只要a大提高篇（10福建8）设不等式组 x 2y 30所表示的平面区域是1 ,平面区域是 2与1关于直线3x 4y 9 0对称，对于1中的任意一点 A与2中的任意一点 B, AB的最小值等于（）A,”5考点：线性规划、解析几何B. 4C. 12D. 25规律方法：线性规划点到直线距离公式解析：由题意知，所求的 AB的最小值，即为区域1中的点到直线3x 4y 9 0的距离的最小值的两倍，画出已知不等式表示的平面区域，如图所示,x-

9、2y+3-0%-4厂9二。可看出点（1, 1）到直线3x 4y 9 0的距离最小，故 AB的最小值为3 14 195答案：B(10重庆7)已知x>0, y>0, x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是A. 3B. 4考点：均值不等式规律方法：转化与化归变量代换解析：x 2y 8 x 2y 8C.D.1122x 2y ,整理得22x 2y 4 x 2y32 0即 x 2y 4 x 2y 80 ,又 x 2y 0 ,x 2y 4 ,本题难度较高，需要定的放缩技巧。另一种方法：令z x 2y ,代入原关系式消去y,得 z + x(zx) = 8,整理得2 一 2 一一一 一x 8 x

10、 2x 1 2x 2 9z x 1x 12 2 x 1 92 4x 11 x 1这种方法的核心思想在于将x+2y的最值问题构建成一个函数，并通过均值不等式来求9解该函数的最值，发现x 1 二一时成立，即x=2时取最小值。在使用均值不等式的时候， x 1若取等式时，要注意正，定，等的三个要求。答案：B2x y 2 013.设x, y满足约束条件 8x y 4 0 ,若目标函数z abx y a 0,b 0的x 0, y 0最大值为8,则a b的最小值为 .考点：线性规划均值不等式规律方法：线性规划问题均值不等式_一_1一解析：不等式表示的区域是一个四边形，4个顶点是0,0 , 0,2 , -,0

11、 , 1,4 ,易2见目标函数在1,4取最大值8,这时x=1,y=4,所以8 ab 4 ab 4,所以a b 2ab 4,在a b 2是等号成立.答案：4（10陕西14）铁矿石A和B的含铁率a,冶炼每万吨铁矿石的的 CO2排放量b及每万吨 铁矿石的价格c如下表：aB（万吨）C（白力兀）A50%13B70%0. 56某冶炼厂至少要生产1.9（万吨）铁，若要求CO2的排放量不超过2（万吨）则购买铁矿石的最少费用为15（万元）考点：线性规划规律方法：线性规划问题解析：设购买铁矿石A和B各x, y万吨,则购买铁矿石的费用 z 3x 6yx, y满足约束条件0.5x 0,7 y 1,9x 0.5y 2x

12、 , y 0表示平面区域如图所示则当直线z 3x 6y过点B（1, 2）时,购买铁矿石的最少费用 z= 15答案：15（10全国I 20）已知函数f xx 1 ln x x 1.2（1）右*£* x ax 1,求a的取值范围；（n）证明：x 1 f x 0 .考点：函数、导数、不等式证明等知识，通过运用导数知识解决函数、不等式问题，考 查了考生综合运用数学知识解决问题的能力以及计算能力规律方法：函数与方程思想、化归与转化思想.解析：,_、 x 11（1 ） f' x ln x 1 In x -,xxxf' x xln x 1题设xf' xx2 ax 1,f(x

13、)的定义域为x>0,两边同除以x,化简为ln x x a ,这时依然难求，我们进行参变分离，等效为 lnx x a.1 ,令 g x ln x x ,则 g' x - 1 x当0 x 1, g' x 0；当x 1时，g' x 0, x 1是gx的最大值点,综上，a的取值范围是1,(n)法一：解析：设 x x 1 f x一.1c 一x 2xln x x 2 ,' 10x2ln x1)，人，一4一八，人M ， r 、1不好讨论从而考虑分类讨论，原不等式即证 x0 x 1时,x-1<0,若题目成立，则f(x)x 1时x 1 0,若题目成立,f(x)00.所

14、以我们直接去讨论f(x)的单调性x 1xln x 1ln x 1 xxxln x 1 ； ' x ln x 1.解方程2x 0得x ,从而可知x的单调e11性.x在0,-上单倜递减，在 一, ee上单调递增.从而可知，当x= 1时 x取得最 e10 .所以f(x)在(0, +8)单增.并且f(1) = 0.所以有小值1 0 e从而知 x0 x 1时 f x 0x 1时 f x 0法二：由（I ）知，g x g 11 即 ln x x 1 0.当 0 x 1 时，f x x 1 ln x x 1 x ln x ln x x 10；当x 1时，f x ln x xln x x 1In xI

15、n xIn xln1 x所以x总结：因为是一元不等式，所以采用方法一的求导这种最基本方法来确定函数的单调性， 但是在题目中函数求导过于复杂，所以我们进行分类讨论， 简化了求导运算。方法二直接用了第一小问的结论，计算更简单，同学们在做题的过程中要注意这种方法。(10全国卷II18)已知数列an的前n项和Sn(I )求 limnan(n)证明:ai2a222an°n-23 n考点：本试题主要考查数列基本公式ans1 nsnsn 1的运用，数列极限和数列不22n2 4n 3n 1limn(II)当 n=1 时,12S1n> 1_ 22k2 4k ak23k 13k1a112a2222

16、 3n 1所以1213n3n3n曳12a2223n等式的证明，考查考生运用所学知识解决问题的能力 规律方法：简单的数列不等式证明a(10湖北b21)已知函数f(x) = ax+°+c(a>0)的图象在点(1, f( 1)处的切线万程为 yx=x- 1 .(I )用a表示出b, c;斛析：(I) lim lim n Sn n(n)若f(x)>lnx在1, 十 8)上恒成立，求a的取值范围;(出)证明：1+1+1+ I>ln(n+1) +n(n> 1).23 n2 n 1考点：考察函数、导数、不等式的证明等基础知识。规律方法：综合运用数学知识进行推理论证的能力和分

17、类讨论的思想.解析：(I ) f' xf 1f' 1a 11 2aa 1(n)由(i)知，f x ax 1 2a xa 1 ,令 g x f x In x ax 1 2a lnx, x 1,x0，g' xa 11 ax2 x a 1a2 -2xx xg(x)若在1点附近单减，则原不等式不成立为判断g(x)的单调性，我们在草稿纸上解不等式g' x >0由a>0,我们可知g' x 01,、1 a1 a一时，g' x >0的解集为 xx 1或x .从而在 1,上2aag' x < 0即 g(x)在 1,1-a a上单调递

18、减，此时原不等式不成立.1 a11 a当1 ，即a 一时g'x>0在1,十巧恒成立，也就是 g(x)在1, 上单a2a调递增，从而对任意 xC (1, +8)有g(x)>g(1) = 0,即原不等式恒成立. 我们可以分类讨论：当0 a 1,心 12 a4.1a右1 x ,则g' x 0 , g x是减函数，所以g x g 10af x In x ,故f x In x在1,上恒不成立.11 a(ii) a 时，12 a若 f x In x ,故当 x 1 时，f x In x一 .一 ，一一 1综上所述，所求a的取值范围为 - 2,（出）解法一：分析：2 3 n 12

19、3这里注忌：In n 1 ln , ,In In -1 2 n 12n 1In k 11那么In与一的关系便是本题的突破口 k kIn这时，我们发现我们好像找到了2aIn 乂与工和的关系但是二者前有系数，怎 k k k 11么办呢？如果让两个系数相等就好了 .两个系数何时相等呢？令a = （a 1）求得a -.2那么，我们由上面的式子就可以得到k 11 11In k 2 kk 1 .，,一 1 1我们对这个式子左右两端求和，左侧正好有In n 1 ,右侧又有2 3这时，我们就离要证的不等式不远了.，一 1由（n）知：当a 时，有f x In x x 1 .2人1士,11令 a,有 fxx22x

20、In x x 1,11当 x1 时，一xIn x .2x1 k J 上2 k k 1即 In k 1.111.In k 一 一 , k 1,2,3, n2 k k 1将上述n个不等式依次相加得1 12 3.1ln n 1一2»-111n整理得1 In k 21-In n 1 一23n2 n 1解法二：用数学归纳法证明分析：利用数学归纳法证明时，注意格式.关键问题是怎样用 n=k时的归纳假设推出n= k+1时的结论.证等式时往往很简单，但对于不等式，我们就需要去尝试，去计算注意逆推的方法.如本题中，利用归纳假设，我们很容易将要证的不等式左边化为k 1In k 2 即可.将其2 k 2k 2k 2ln k 1.那么我们只需证明ln k 12 k 12 k 1变形，可得ln也就是ln« - .这时，我们就可以考虑用上一问所得的结论证明这k 22 k 1 k 2一不等式. 1 ,(1)当n 1时，左边 1 ,右边ln 2 1,不等式成立41ln k 1 k 11(2)假设n k时，不等式成立，就是1 1 12 3In k 1In k 11