《变化率问题》参考教学设计

1、变化率问题参考教学设计 §1.1.1 变化率问题 一.内容和内容解析 内容：平均变化率的概念及其求法。 内容解析：本节课是高中数学（选修2-2）第一章导数及其应用的第一节1.1变化率与导数中的1.1.1变化率问题。本节内容通过分析讨论气球膨胀率问题、高台跳水问题，总结归纳出一般函数的平均变化率概念，在此基础上，要求同学把握函数平均变化率解法的一般步骤。平均变化率是个核心概念，它在整个高中数学中占有及其重要的地位，是讨论瞬时变化率及其导数概念的基础。在这个过程中，留意特别到一般、数形结合等数学思想方法的渗透。 教学重点：函数平均变化率的概念。 二.目标和目标解析 新课标对导数及其应用内

2、容的处理有了较大的变化，它不介绍极限的形式化定义及相关学问，也有别于以往教材将导数仅仅作为一种特别的极限、一种规章来学习的处理方式，而是根据：平均变化率瞬时变化率导数的概念导数的几何意义这样的挨次来支配，用靠近的方法定义导数，这种概念建立的方式形象、直观、生动又简单理解，突出了导数概念的本质。平均变化率是本章的一个重要的基本概念，本节课是导数及其应用的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。 目标：理解平均变化率的概念及内涵，把握求平均变化率的一般步骤。 目标解析： 1.经受从生活中的变化率问题抽象概括出函数平均变化率概念的过程，体会从特别到一般的数学思想，体现了数学学问来源于生活，又服务于生活

3、。 2.通过函数平均变化率几何意义的教学，让同学体会数形结合的思想。 3.通过例题的解析，让同学进一步理解函数平均变化率的概念。 三.教学问题诊断分析 吹气球是许多人具有的生活阅历，运动速度是同学特别熟识的物理学问，这两个实例的共同点是背景简洁。从简洁的背景动身，既可以利用同学原有的学问阅历，又可以削减因为背景的简单而可能引起的对数学学问学习的干扰，这是有利的方面。但是如何从详细实例中抽象出共同的数学问题的本质是本节课教学的关键。 教学难点：如何从两个详细的实例中归纳总结出函数平均变化率的概念。 四.教学支持条件分析 为了有效实现教学目标，预备计算机、投影仪、多媒体课件等。 1.在信息技术环境

4、下，可以使两个实例的背景更形象、更逼真，从而激发同学的学习爱好，通过演示平均变化率的几何意义让同学更好地体会数形结合思想。 2.通过应用举例的教学，不断地供应给同学比较、分析、归纳、综合的机会，体现了从特别到一般的思维过程，既关注了同学的认知基础，又促使同学在原有认知基础上猎取学问，提高思维力量，保持高水平的思维活动，符合同学的认知规律。 五.教学过程设计 1.问题情景 从生活述语和同学比较熟识的姚明身高曲线引入课题。 设计意图：使同学了解生活中的变化率问题，为归纳函数平均变化率供应更多的实际背景。 师生活动：稍加点拨，连续引导同学举诞生活中的变化率问题。 2.数学建构 问题1：大家可能都有过

5、吹气球的回忆。在吹气球的过程中,可以发觉,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 设计意图：通过熟识的生活体验，提炼出数学模型，从而为归纳函数平均变化率概念供应详细背景。 师生活动：由球的体积公式推导半径关于体积的函数解析式，然后通过计算，用数据来回答问题，解释上述现象。 思索：当空气容量从v1增加到v2时,气球的平均膨胀率是多少? 设计意图：把问题1中的详细数据运算提升到一般的字母表示，体现从特别到一般的数学思想。为归纳函数平均变化率概念作铺垫。 师生活动：老师播放多媒体，同学可以直接回答问题，老师板书其正确答案，并利用几何画板进行演示分析结果的分

6、析与归纳。 问题2：在高台跳水运动中, 运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s) 存在函数关系h(t)=4.9t2+6.5t+10，假如用运动员在某段时间内的平均速度描述其运动状态, 那么:（1）在0t0.5这段时间里,运动员的平均速度为多少？（2）在1t2这段时间里, 运动员的平均速度为多少？ 设计意图：高台跳水展现了生活中最常见的一种变化率运动速度，而运动速度是同学特别熟识的物理学问，这样可以削减因为背景的简单而可能引起的对数学学问学习的干扰。通过计算为归纳函数平均变化率概念供应又一重要背景。 师生活动：老师播放多郭晶晶、吴敏霞在2021年北京奥运会上跳水竞赛录像，

7、让同学在情景中感受速度变化，同学通过计算回答问题。对第（2）小题的答案说明其物理意义。 探究：计算运动员在0t 65这段时间里的平均速度,并思索下面的问题: 49(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 设计意图：通过计算得出平均速度只能粗略地描述运动状态，从而为瞬时速度的提出埋下伏笔即为导数的概念作了铺垫，利用图像解释的过程体现了数形结合的数学思想方法。 师生活动：老师播放多媒体，同学通过计算回答问题。对答案加以说明其物理意义（突出数形结合思想对教材的一个处理）。 思索：当运动员起跳后的时间从t1增加到t2时,运动员的平均速度是多少?

8、 设计意图：把问题2中的详细数据运算提升到一般的字母表示，体现从特别到一般的数学思想（体现化归的数学思想）。并为归纳函数平均变化率概念作铺垫。 师生活动：老师播放多媒体，同学可以直接回答问题，老师板书其正确答案。通过引导，使同学逐步归纳出问题 1、2的共性。 定义：一般地,函数y=f(x)中，式子 f(x2)-f(x1)称为函数f(x)从x1到x2的平 x2-x1均变化率。其中令dx=x2-x1，dy=f(x2)-f(x1)，则: f(x2)-f(x1)dy。 =x2-x1dx设计意图：归纳概念的过程，体现了从特别到一般的数学思想。 思索：（1）dx,dy的符号是怎样的？（2）平均变化率有哪些

9、变式？ 设计意图：加深对概念内涵的理解。 师生活动：老师播放多媒体，师生共同争论得出结果。 思索：观看函数f(x)的图象平均变化率 f(x2)-f(x1)dy表示什么?（图略） =x2-x1dx 设计意图：从几何角度理解平均变化率的概念即平均变化率的几何意义，体现数形结合的数学思想。 3.数学应用 例题 (1) 计算函数f(x)=2x+1在区间3,1上的平均变化率； (2) 求函数f(x)=x2+1的平均变化率。 设计意图：概念的简洁应用，体现了由易到难，由特别到一般的数学思想，符合同学的认知规律。 师生活动：老师适当点拨，同学口答。 练习（1）已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点a(-

10、1,-2)及接近一点b(-1+x,-2+y),则y/x=( ) a .3 b .3x-(x)2 c .3-(x)2 d .3-x （2）求y=x2在x=x0四周的平均变化率.设计意图：进一步加深对概念的理解，突出求平均变化率的一般步骤。从课堂练习一到例题，再到课堂练习二，体现了由易到难，由特别到一般的数学思想。 师生活动：老师板书，并引导同学归纳求平均变化率的一般步骤： （1）作差 （2）作商 最终请一位同学板演，其余同学在草稿上练习。 4.总结提高 （1）函数平均变化率的概念是什么？它是通过什么实例归纳总结出来的？ （2）求函数平均变化率的一般步骤是怎样的？ （3）这节课主要用了哪些数学思想？ 师生活动：最终师生共同归纳总结：函数平均变化率的概念、吹气球及高台跳水两个实例、求函数平均变化率的一般步骤、主要的数学思想有：从特别到一般，数形结合。 设计意图：复习重点学问、思想方法，完善同学的认知结构。 六.学问巩固 （1）课本第10页习题1