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文档简介

1、 9.5 9.5 绝对收敛级数和条件收敛绝对收敛级数和条件收敛 级数的性质级数的性质 定理1 对于级数 ,将它的所有正项保留而将负项换为0,组成一个级数记为 .将它的所以负项变号(乘上因子-1)而将正项换为0,也组成一个正项级数记为 亦即那么 (i)若级数 绝对收敛,则级数 和级数 都收敛; (ii)若级数 条件收敛,则级数 和级数 都发散 1nnu1nnv0, 00,2 nnnnnnuuuuuv0, 00,2 nnnnnnuuuuuw1nnu1nnv1nnw1nnu1nnv1nnw 证明证明 (i)若级数 绝对收敛,由于按比较判别法,级数 和级数 都收敛. (ii)若 为条件收敛,用反证法证

2、明定理的第二结论.假设级数 和级数 中至少有一个是收敛的,不妨假设 为收敛级数,那么,由于于是得知 亦必为收敛.又由于 ,所以得知级数 绝对收敛,此与已知条件矛盾,因此证明了两个级数 和 都发散.1nnu,0 ,0nnnnuwuv1nnv1nnw1nnu1nnv1nnw1nnvnnnuvw 1nnwnnnwvu111nnnnnnwvu1nnu1nnv1nnw 定理定理2 绝对收敛级数 的更序级数 仍为绝对收敛,且其和相同, 1nnu1nnu11nnnnuu证明证明 (i)我们先证明当 为收敛的正项级数的情形. 考虑更序级数 的部分和 .因为所以,取 大于所有下标 后,显然有又由于正项级数 ,于

3、是对一切 成立按照正项级数收敛的基本定理,更序级数 亦收敛,设其和为 ,故有 ,另一方面级数 也可视为级数 的更序级数故又有 ,得知1nnu1nnuks,2121knknnuuuuuunknnn,21.32121nnkksuuuuuuussunn1,sskk1nnu,ss s,ss 1nnu 1nnu,ss (ii)再来证明证明 为任意绝对收敛级数的情形. 仍旧记级数 和 分别为 的所有正项和所有组成的级数.由定理1知道,这两个级数都收敛,设它们的和分别是 和 ,则有由(i)中的结论知道, 的更序级数 成立着这就表明了更序级数 是绝对收敛的. 再设 和 分别为级数 和 的更序级数.由(i)的结论知道1nnu1nnv1nnw1nnuvw.,11wvuwvunnnn1nnu1nnu,1wvunn1nnu1nnv1nnw1nnv1nnw,1111wwwvvvnnnnnnnn而 ,所以这样就证明了定理. nnnwvu.111nnnnnnnuwvwvu注意：注意：这个定理对条件收敛级数而言，却不一定成立，例如莱布尼兹型级数 514131211定理定理3(柯西定理柯西定理) 若级数 和 都绝对收敛,其和分别为 和 ,则它们各项之积 按照任何方法排列所构成的级数绝对收敛,且其和为 . (证明略）1nnu1nnvuv, 3 , 2 , 1,kivuiiuv例如：级数例如：级数qqqqqn

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