2021届高三解三角形大题狂练答案解析

1、33解在ZXCED中山正弦定理可得DESinZECD 一4SinZCDE解三角形类型一：求面积、周长的最值1. (2020届山东模拟)平面四边形ABCD中，边BC上有一点E , ZADC = 120o , AD = 3 ,SinZECr) = - , DE = y3f CE=- O34(1)求AE的长；(2 )已知ZABC = 60°求AABE面积的最大值SinZCDE =丄,因为CEVDE,所以ZCDE是锐角，故ZCr)E = 30°, ZAr)E=90°,2在直角三角形 ADE中，AE2 = AD2 + DE2=32+3 = 2.AE = 23 .(2)在AB

2、E中，AE = 23,ZBC = 60山余弦定理可得:AE2 =AB2+ BE2- 2AB BE cos60o42 = AB2 + BE2 -AB EE 因为 AB2 + BE2 2AB BE, ：. AB 3E +12 2 2AB BE. ：. AB BE12从而，弓 ABBEZ2. (2020届济宇)已知内接于单位圆，且(l + <7A)(l + rrtZB) = 2,(1) 求角C(2) 求面积的最大值解：(l)(l+A)(l + M"B) = 2. taA+tanB = 1 一 IaJIA IanB ,. tanC = -tan(A + B)=tanA + tanB=1

3、,-tanAtcnBvC(0,)C = -4 ABC的外接圆为单位圆,二其半径R = I由正弦定理可得C = 2RsinC = 2，由余弦定理可得c2 = a2 +h2 2abcosC ,代入数据可得2 = a求A的余弦值；+b1 + 2ab ab + Zab =(2 +,当且仅当a=b时，”成立2. Ub S=r 92 + 2.-.ABC 的面积 S = - absinC 一L= 旻=至二1,22 + 2 2 2ABC面积的最大值为：並二123. （2020届济南）在平面四边形ABCD中，已知4=2馮，AD=3, ZADB=2ZABD, ZBCD3 (1)求 30（2）求周长的最大值解：（1

4、）在'ABD中，由正弦定理得:：.cOSZABD=AB 二SilIZADB=Sin2/ABD AD IilIZABD SinZABD=2COSZABDfACOSZABD =ab2+bd2-ad22 AB X BD24÷BD2-9 646×BD _ 3即：BD2 8BD+15=0,解得：BD=3或5；Tr222(2)在NBCD中，ZBCD= 山余弦定理得：COSZBCD=BC義HD =吕 S2BC× CD丄A BC2+CD2 BD2 = BCxCD,：.(BC+CD) 2=BD2+3BC×CD,山基本不等式得：BCXCD<：号匸,(BC+CD

5、) BD1 求A3C面积的最大值-h(BC+CD)2, *(bc+cd)2<bd2,(BC+CD) 2<4BD2f当 BD=3 时，BC+CD6, J 3<BC+CD<6t Jffl 6<BC+CD+BD<9,当 BD=5 时，BC+CD10,即 3<BC+CD<10,所以 6<BC+CD+Bg3 所以氐BCD周长的最大值为：9或13.4.A（2020届济南）在AABC中，角AbC的对边分别为abc ,已知a=49tan A一 tan B _c_b tan A + tan B CZtn 八、tan A- tan c_b解：(1)由=tan

6、A+ tan B C得(tan A + tan3)-2tan 3 _c-b一Ctan A + tan B即1一2 tan Btan A + tan B= 1-2C2tanb I 十r亠宀EJb SinB=_, 乂由正弦定理一=, tan A + tnB CC SinC可得2 tan Btan A + tan BSinBSinC2 sin BCOSBIIlSinB 0».sinC= +.sin, COS A COS B J整理得：2sin C COS A = SinACOS B + COS ASinB = Sin(A + B) = sin C , 由 SirlC0 得COSA = .2

7、(2) (1)知 A =,则由余弦定理可得a2 =b2 +c2 -2bccosA = b2 +c2 -bc2bc-bc = bc , 当且仅当b = c时等号成立，即bc = i6.所以 SMBC =-CSinA × 16 ×-= 43 .5. (2020届江门)在MBC中,角AB,C的对应边分别为abc (1) 若“血C成等比数列，COSB = -,求竺 +竺£的值；13 SinA SinC(2) 若角ABC成等差数列，且肚2,求ZBC周长的最大值1?5解：(1)在 ABC 中，VCOSB=- B(0,) AsinB=-1313Ta、b、C 成等比数列，b2 =

8、 dC,/.由正弦定理得SilfB = SinASinG COSA CoSC _ sin(A+C) _ Sin B _1_ 13SinA SinC sin2 B sin2 B Sin B 5(2) Tb = 2, A、B、C成等差数列,2B=A+C=180o-. B = 60%由正弦定理,. = inA,3c = inC3V+C=120o,即 C= 120o-A,4J3'ABC 周长为 L=a+b+c= (SinA+ SinC) + 2 =4cos (A - 60°) +2. 3V0<A<120o,-60o<A - 60°<60°,

9、/ - < CoS (A - 60o) <b 4<4cos (A - 60o) +2<6,2 当A=B=C=60。时， ABC周长厶取得最大值为6 (2020届山东模拟)已知ABC的内角45C的对应边分别为, 在 巧 COS C (a COS B+? COS A) = CSin C aSin A*" = CSin A2 (SinB-Sin A)' =Sin2 C-Sin sinA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，当时,求SinA sinB的最大值.解：若选，则山正弦定理 >5COS C(Sin ACOS B + Sin BCOS A) =

10、SinCSin C,5 COS C Sin (A + B) = sin C sin C , >3 = tan C , C = -若选，则由正弦定理知：A兀_c厂4C.CCsinsin= SInCSln A , COS- = Slne = 2sin cos ,2 2 22Sin- = I T C = -223若选，则有正弦定理知（b-cy =c1-bc,宀处，山余弦定理知：cosC = *, C = A + B = - , . Sin A Sin B = Sin A Sin 3cos A + sin A2Z= SinA.cosA÷lsin = sin2A÷l(l-cos

11、2A)4sin2A-jj÷l"4。书,A手违刊所以当"彳时，心如的最大值是扌.7. （2020届江西调研）设的内角人B, C的对边长e b, C成等比数列,2 COS （A C J- 2 Sin + B j = 1,延长 BC 至 Z）使 BD = 3.（1）求ZB的大小；（2）求疋而的取值范围.解：(1)依题可得：COS(A-C)-COSB =丄，.cos(A-C)÷cos( + C) = -,2 2又因为长心4 C成等比数列，所以b1=ac,由正弦定理得：Sin2B = SinAsinC一得:sin2 B = COSACOSC-SinASinC,4化

12、简得：4cos2b + 4cos8-3 = 0,解得：CoSB = 1,又O<Bv,所以B = ：,23(2)+得：Cos(A-C) = I,即A-C = Of即A = C,即三角形ABC为正三角形, 设 ABC的边长为t由已知可得OVXV3, 则 ACCD = ACcZ5cos(-ZACD) = x(3-x)cosy = (3-:)(9( 913=-3x + - 0,-(当且仅当=-时取等号)<Z4 4 / o2盘而的取值范围o,計.8. (2020 届合肥)已知函数/(x) =C Os2X + V35in( x)Sin(X ) (1) 求函数/(x)在0, JT上的单调递减区间

13、；(2) 在锐角ZkABC的内角A, B, C所对边为, b, c,已知f ()=1, a=2f求 ABC 的面积的最大值.解：(1)利用三角公式化简变形由已知得广U) =-n(2r-).2kx-< 2x - < 2fc% + -, kx-<x< fc%÷ - (ZrZ)2626-3函数f(x)在0, TT的单调递减区间为0,日和手，7(2) VABC 为锐角三角形，/.0<4<24 - <-,2 6 6 6乂 f(z4) =-sin(2A -)=-I . 24 - f = p 即 A= PWr=b2+c2 - 2bcosA=b2+c2 -

14、bc>2bc - bc=bc,又 a = 2, Abc<4,°=bCSmA < r3.当且仅当b=c=2时， ABC的面积取得最大值 5.9. （2020届惠州）在ABC中，已知内角A.B.C所对的边分别为abc ,向量W = （3,-2sinB）, 向量齐=（cos 3, COS 23）,且mJIn ,角B为锐角。（1）求角B的大小；（2）若b = 2,求ABC面积的最大值。解：（1）由 ml/n ft y3COS2B= -2SinBCOSB ,即 Sin 2B = -y3cos 2B所以 tan2B = -3.B 为锐角，.23e（0,r）,BPB = -3(2

15、) V B = ,b = 2 , .由余弦定理CoSB= 3 Iac得 a2 +c2 4 etc = O又. Cr + C2 IaC代入上式得GC 4 ,当且仅当G = C = 2时取等号成立ac = etc 3 ,4故ABC的面积最大值为3 .10. （2020届惠州）已知aABC的内角A、B、C满足一:SinC（1）求角A;（2）若的外接圆半径为1,求aABC的面积S的最大值.解：（1）由正弦定理可得匕出=二，化简得bW=bc, C a+b-c由余弦定理COSA = m 得COSA = -= 1,2bc2bc 2乂因为O V4<,所以A =-（2）解法一：由正弦定理得-=IR =&g

16、t; a = 2RSin A = 2sin - = VJ , Sin A3由余弦定理得 3 = 1,+ c2 -be 2bc-bc = be ,即bc3f (当且仅当b = c时取等号)故S =丄bcsinA丄x3x£ = 空(当且仅当b = c时取等号).2224即磁面积S的最大值为芈解去二：由正弓玄定理：=- = 2/? = 2,/? = 2sinB, c = 2sinC Sin B Sin CS = Z?CSinA= ×(2sin B)x(2sin C) × Sin = y/3 Sin BSin C,223. A + B + C = r,Sin B = Si

17、n(A + Q = SinI C + y j = Sin C + 斗 COS C. S = I sin C cos C ÷ sin = I sin 2C ÷(1 - CoS 2C) .°vC<p当20违专，即V时, 即磁面积S的最大值为芈fsin2C-、-COS 2C 一+迺=逼sin（2C 一兰I 22Z42I6丿类型二：求面积1. (2020届济南)ABC的内角A, Bf C的对边分别为, b, Cf且满足ccosA + cosC = 2 .(1) 求?的值；b(2) 若“ =1, c = 7,求 aABC 的面积.解：(1)由正弦定理，CCOS A +

18、 a cos C = 2c可化为Sin CCOS A + COSCSin A = 2sin A ,也就是 Sin(A+ C) = 2sin A .由 AABC 中 A+B+C =兀可得Sin(A + C) = Sin(一B) = Sin B .即Sin B = 2sin A 由正弦定理可得b=2a ,故=-.b 27j /7I（2）由心可知Z c = 7,由余弦定理可知coSC =込产=丐23T = T乂OVCs 于是"HS "BC=absin C = - ××2× Sin2 22. (2020届济南)已知函数/(x) = 2cosxsin（1

19、）求/（X）的最小正周期;(2)在ZhABC中，角45C所对的边分别为ajc,若/(C) = 1, SinB = 2sinA,且ABC的面积解:(1)f(X) = 2cosX1snx + -Cosx2=SiVA-+?J/（x）的最小正周期为T = (2)/ (X)=sinl2c+6j1 + 2£22c + FjV, 2c + F, C = VSinB = 2sinA, ：.b = 2a 乂 /SABC 的面积为 23 , ISin-= 2323：.ah = S, 6/ = 2,方=4由余弓玄定理得c = 2J3（2020届济南）已知G 4 C分别为ZkABC内角A, B, C的对边，

20、（匸2设F为线段AC 上一点，CF=2BF.有下列条件：=2：b=2* ；a2+b2-3ab = c2.请从这三个条件中任选两个，求ZCBF的大小和厶ABF的面积.解：选，则a = c = 2,b = 2山余弦定理可得CoSZABC =IaC乂ZABCe(O.)9 所以ZABC =3所以=C=-6CF RFZ-在5CF中，由正弦定理一=,及CF =近BF Sin ZCBF Sin C可得 Sin Z-CBF =,2乂乙CEF < 乙CBA =竺所以ZCBF =-,34所以 ZABF = ZAFB =匹,所以 AF = AB = 212所以 SM 册=-×2×2sin-

21、= 1MBP 26选，因为U = 2、b = 2*、(e +b2 -yj3ab = c1 ,所以c = 2.由余弦定理可得CW今产卑又Cw(Ow),所以C =彳所以 A = C = -.ZABC = r-A-C = 63CF BFL在BCF中，由正弦定理一=,及CF =近BF Sin ZCBF Sin C可得 Sin Z-CBF =,2X ACBF < ZCBA =,所以 ZCBF = -,34所以 AABF = AAFb = -,所以 AF = AB = 2 12所以 SMBF =-×2×2sin-= 12 6选，由余弦定理可得cosC= -=2abCW(O“)，所

22、以C = -,6因为d = c,所以A = C =,6所以 ZABC = ;T-A-C = 2及CF = y2BF ,3 CF RF在MCF中，由正弦定理一=Sin ZCBF Sin C可得 Sin Z-CBF =,2乂 ZCBF < CBA =壬所以ZCBF = Z3 4所以 ZABF = ZAFB = 9 所以SF = A3 = 2 12.j丿听以 SMF = ×2×2sin-= 14. （2020届深圳）在公ABC内角A,B9C的对边分别为a9b9c9已知COSA-2cos CCOSB(1) 求£的值;a(2) cosB = l b = 2,求&quo

23、t;BC 面积 S.4解：由正弦定理,CoSA-2cosC _ 2sinC-sin A COS BSin BSin B COS A 2sinB COS C = 2 COS B Sin C COS B Sin ASin B COS A + COS BSinA = 2 COS 3 sin C+2 sin 3 COS CSin(A+ B) = 2sin(B+C),根据内角和有 Sin(-C) = 2sin(-A) =>sinC = 2sin A.根据正弦定理有c = 2d,即£ = 2.a由余弦定理有 b2 =a2 +c2CCOSBJiI(I) C = 2d,代入 cos3 = ,

24、b = 24I!卩 4 = ' +4a（2020届珠海）如图，点A在aBCD的外接圆上，HsinA = -, A为锐角，AD = CD = 5, -AaBD = 35 × =>« = 1.故C = 2.又因为 3 w(0,),sinB = Jl-Cos' B =.4 V 74故 S = csin B =.24(1) 求ABX(2) 求四边形ABCD的面积34【详解】解：(1)V SinA = -, A为锐角,AcosA = -,在ZVlBD中由余弦定理得:BD2 = AD2 + AB2 一 2AD AB COS AAB2 -SAB 20 = O ,得

25、AB = 10或？W = 2 (舍去)， AB = 10(2)由(1) JS,liI) =-AB ADsinA =-×O×5×-=5 2V ABCD四点共圆， ZA + ZC = ,4CosC = -,在中由正弦定理得:BDCD35SinC SinZDBCJ 即可一品辰'得SinZDBC = COSZDBC = Sin ZBDC = Sin(Tr SBC + ZBCD) = Sin(ZDBC + ZBCD)=325×-=5255sCD=IXBD×CD×sin ZBDC = 1×35×5× = 3

26、四边形 ABCD 面积 S = 15 + 3 = 186. (2020 届广东调研)设函数/(x) = >3SinXCOSX + Sin2x-, a, b, C 分别为 AABC 内角/1, 2B, C的对边.已知/(A) = 0, b = 2.(1) 若 a = 2y3 ,求 B；(2) 若g = 2c,求ABC的面积.解(1) /() = Sin 2x + 二 w'2 - = Sin 2x- -1,222 I 6丿因为 /(A) = O,所以 2A- = -,即 A = -.623因为丄=丄,所以SinB = = 1,SinA SinBa 2因为Be(O,),所以B =-或迺

27、，6 6又方Vd,所以B = -.6(2)由余弦定理,可得(2c)2=22+c2-2×c×2cos-,3J3c2 + 2c-4 = 0,解得C = 土空(负根舍去)，3故 ABC 的面积为be sin A=丄 ×2× × Sin =223367. （2020届东莞）如图，在 ABC ,内角人B, C所对的边分别为仏以c,且2acosC_c = 2b（1）求角A的大小；（2）若ZABC = -9 AC边上的中线8D的长为7,求ABC的面积解：(1)由 2acosC-c = 2b 及正弦定理，得 2sin ACOSC-Sin C = 2sin B

28、即 2sin AcosC-SinC = 2sin(A + C) T整理得sin C = 2sin CCOS A ,因为SinC H 0,所以 COS A = -,2又因为A(0,町，则A = = (没写角的范围扣1分).(2)由(1)知 = -, 乂因为 ZABC = -,所以 C = -,366所以AC = AB.IStAD = X,则AB = 2x,在 ABQ 中应用余弦定理，得 BD2 = AB2 + AD2 - 2AB AD COS A ,即7x2=7,解得x = l,故 MBC 的面积 S=-42 Sin = y/3 .23类型三：求边长1. (2020届江门)在MBC中，边abc所

29、对的角分别为已知g>c, ABC的面积2为 2> T Sin(A-B)+ sinC = ：Sin A , b = 3 (1) 求SinB的值；(2) 求边S C的值.Z 2解：(I)IlI Sin(A-B)+ sinC = sin A, C = Tr-(A + B)2得 Sin ACOS B - COS ASin B + Sin(A + B) = ysin A ,2tlJ 2sin AcosB = -SinA ,3<A< sinA0,COSB =-.3.sin43rr 2(2)由余弦定理得:b2 = a2 +c2-2accosB = a2+c2-UC ,o得/ +c2

30、-Tde = 9 ，乂 SAABC=6ZCSinB = 2> 2ArtC = 6®,_“ a = 3 a = 2由解得*或 c=2C=32. (2020届惠州)在ZXABC中，角AB, C的对边分别为gb,c ,已知a = 2, = 5 , B = 2A.(1) 求 COS A ；(2) 求C边的值.解(1)由正弦定理= Sin A Sin BSin A Sin 2A因为Sin AH O ,可解得COS A =.4(2)由余弦定理a BC 中，由余弦定理可得：6=42+22 - 2×4×2cos=12,解得 = 25.*. a2+c2=b2, .: B=境.

31、'AM二 22+fv¾2 =7=b2+c2-2bccosA22 = (5)2+c2-25 c4整理得：2c2-5c + 2 = 0 解得c = 2或C =丄2MI c = 2 = a 时 9 得 A = C,又因为 3 = 2A 9 故 A = C = . B = 94 2所以b = E 与已知矛盾，所以c = 2不满足要求. 当C =丄时，经检验符合要求.2综上可知：C = -.23(2020届东莞)NABC的内角A, B, C的对边分别为Gd c,若c-acosB= bslnA(1) 求A；(2) 若b=4, c=2, AM为3C边上的中线，求AM的长解：(I)曲 C-Q

32、CQSB= bsinA 可得：SinC - SinACOSB=-SinBSin, SinC = Sin (A+B)=SiiLACOSB+CosAsinB ACOSASinB-12SinBSilVl0 化为：tanA= 3, A (O, ) 33-24. （2020届衡水调研）在厶ABC中,角A5C的对边分别为UJc 9若COSA =二，B = 2A, b = 83（1）求边长d；（2）已知点M为边BC的中点，求AM的长度【详解】解：（1）由 O < A V 龙,cos A = ,得 SinA = JI-COS2 A=旦,5 2-45× =33933所以 Sin B = Sin

33、2 A = 2 Sin A COS A = 2×十宀“J Gb rsbsinA /由正弦疋理T,可得G=.门=6 SIn A SIn BSIn B(2) COSB = COS2A = 2cos2 A-I = 2× -22 在 ABC 中,COS C = - COS (A + B) = sin A sin B - COS A COS B = -35在MlCM 中,由余弦定理得：M2=C2+CM2-2ACCMcosC = -所以,AM5. （2020届安徽皖南八校调研）MlBC中，内角A, B, C的对边分别是J b, c, SinA =込,3B=2A, b=4.（1）求的值；

34、（2）若D为BC中点、,求AD的长.【详解】（1） . B = 2A,二 Ae（,fj,ill SinA =得 COS A = 935 2-45× =339Sin B = Sin 2A = 2Sin ACOS A = 2×由正弦定理亠=丄SIn A SIn D? Sin ASin B99所以，的值为3.（2） COSB = COS2 = 2cos2 A-I = 2x1 -COSC = -COS（A + B） = SinASinB-COSACOSB =,27在中，山余弦定理得Q39975QiCC几 2AC8c°sC"+（尹一 2x4 逅 Xh乔6. （20

35、20 届泉州）已知四边形 ABCD 中，AC = I9 BC = 59 ZABC = I20 .（1）求AABC的面积；（2）若ZkACD是等边三角形，求BD.解：（1） AABC 中，AC2 = AB2 + BC2 - 2AB BC CoS ZABC , 化简得4/+5AB-24 = 0,解得佔=3或AB =-8 （舍去）；所以= .BCsinZABC=i×3×5xf = .BC _ ACSin ABAC Sin ZABC所以 Sin ZBAC =BC Sin ZABC _ 5*ACCOSZBAC = -.COSZ.BAD = COSf Z.BAC÷-1 = c

36、osZBAC-Sin ABAC = × + × - = -V3丿 222 14214143BAD 中，BD2= AB2 + AD2 一 2AB AD CoS ZBAD = 32 +72 -2×3×7×- =19, 14所以BD =丽.7. （2020届济宇）如图，D是直角MBC斜边BC上一点，AC =也DC (1) 若 ZBAD = 60 ,求 NADC 的大小；(2) 若BD = IDC.且AB =点，求AD的长.解：(1) ) NBAD = 60 , /BAC = 90 , /DAC = 30 ,在ADC中，山正弦定理可得:DC _ ACS

37、inNDAC SinNADC. .SinNADC =爺inNDAC = f, . NADC = 120、或 60 , 乂 NBAD = 60 , ADC = I 20(2) ). BD = 2DC,. BC = 3DC,在ABC中，由勾股定理可得：BC2 =AB2+AC2,可得：9DC2=6 + 3DC2,/.DC = I, BD = 2, AC = 3 ,令NADB = 8,山余弓玄定理：在 ZiADB 中，AB2 = AD2 + BD2 - 2AD BD cos .在 zxADC 中，AC2 =AD2 +CD2 -2ADCDcos(-),6-AD2+4-4ALkos可得：3 = AD2 +

38、1 + 2ADcosG ,二解得：AD? =2，可得：AD = 28. (2020届青岛)在AABC中，E, F分别为线段BC9 AC上的点，EF/AB. B = 3, EF = 2. AE = 2J, BAC = L.(1) 求 ZEAC；(2) 求BC的长度解：(1)在ABC 中：EF/AB9 所以 ZAFE = ,3AEFF1在AFE中由正弦定理知：- =-一SinZEAF = -,Sln ZAFE SIn 乙 EAF2又因为ZAFE = M为钝角，所以ZEAF = ?.36(2)因为ZAFE =斗 ZEAF = -,所以ZAEF =务 AF = EF = 2,366CF 乂因为 EF/

39、AB, AB = 3, EF = 29 所以 = 2,即 AC = 6,AF在 WC中由余弦定理知：BC2 = AB2 +AC2 -2× AB× AC×cosZBAC = 27 , BC = 33 类型四：求角度1. (2020 届江门)在 ZkABC 中，角 A、B、C 所对的边为 “、b、c,若(a+ c)2 = b2+3ac,点 D 在边 AB h,且 BD = I9 D4 = DC.若ABCD的面积为孚求CD的长;（2）若AC = *,求ZA的大小 解：(1)又由(d + c)° =，+3c可得Cr +c2 -Z?2 =ac 由余弦定理可彳Wl=釜斗Ov心所以吩因为的面积为逅，即丄BC BDSinB =旦BD = ,所以BC = 2 2 2 2BCD 中,由余弦定理，CDI = BC2+ BD1-2BC3Dcos3 = 4+l-2x2xlx丄=32所以CD =羽CD(2) Ill题意得设ZDeA = ZA = & ADC 中,由正弦定理，=十得CD = - sn("-2