24无穷大量与无穷小量05300

1、一、无穷大量一、无穷大量三、无穷小量与无穷大量的关系三、无穷小量与无穷大量的关系二、无穷小量二、无穷小量第四节第四节 无穷大量与无穷小量无穷大量与无穷小量四、无穷小量的阶四、无穷小量的阶一、无穷大量一、无穷大量,x1lim0 x 下下的的无无穷穷大大量量是是极极限限过过程程则则称称若若定定义义xx)x(f,)x(flim 8 .2xx .0 xx1时的无穷大量时的无穷大量是当是当函数函数 , | , 0 , 0有时当若xxxmmxf | )(| , )( ,记为时的无穷大量为则称成立xxf. )( )( )(limxxfxfx或 . )(lim ,)( 称为正无穷大量则换成xfmxfx . )

2、(lim ,)( 称为负穷大量则换成xfmxfx无穷大量是否一定是无界量 ?在某极限过程中,无界量是否一定是无穷大量 ? . 2) 1( , , 0 ,2 , 0 , , 4 , 0 , 2 , 0 : ,nnxnxnnn例如 0 , , 的项使总有等于时当取多么大不论nnn |mxn . , ,不是无穷大量时故当不成立nxn但该数列是无界的. , 0 , , 0 , 0 :nnyx , 8 , 6 , 4 , 2 :nnyx ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :nxnn ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :1nynn此时时显然 . , , ,nnyxn两个无穷大量的和

3、是否仍为无穷大量?考察考察 简言之, 在某极限过程中, 以 0 为极限的量称该极限过程中的一个无穷小量. .xx)x(f, 0)x(flim 9 . 2xx下下的的无无穷穷小小量量是是极极限限过过程程则则称称若若定定义义 例 . , 0 0,lim ) 1 (220是一个无穷小量时 xxxx . sin , 0 0,sinlim )2(0是一个无穷小量时xxxx . 1 , 0,1lim )3(是一个无穷小量时xxxx . cos , 2 0,coslim )4(2是一个无穷小量时xxxx 0,0 lim )5(在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. 注意注意1.无穷小量

4、是变量无穷小量是变量,不能与很小的数混淆不能与很小的数混淆;4.零是可以作为无穷小量的唯一的数零是可以作为无穷小量的唯一的数.)x( flim. 30 xx认为极限存在认为极限存在切勿将切勿将 2.无穷大量是变量无穷大量是变量,不能与很大的数混淆不能与很大的数混淆;证证必要性必要性,a)x( flimxx 设设, 0)a)x( f (limxx 则有则有.xx )1(oa)x( f 充分性充分性),1(oa)x( f 设设,xx)1(o时的无穷小量时的无穷小量是当是当其中其中)1(oa(lim)x( flim00 xxxx 则则)1(olimaxx .a lim( )( )(1), xxxxf

5、 xaf xao定定理理2.52.51.将一般极限问题转化为特殊极限问题将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小无穷小);意义意义).1(o,a)x(fx)x(f. 20误误差差为为附附近近的的近近似似表表达达式式在在给给出出了了函函数数 0sin1limxxx例 求) ( , 01 lim 无穷小量因为xx) ( , ),( 1 |sin|有界量xx . 0sin1lim xxx故有界量与无穷小量的乘积定理定理2.6 在某一极限过程中在某一极限过程中, ,无穷小量与有界量的无穷小量与有界量的 积仍是一个无穷小量积仍是一个无穷小量. .(i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (

6、x) = x, x(0, 1).(ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论.： . ,3 , , , 0 ,223223的情况时可观察例如xxxxxxx ( 无穷大量的倒数为无穷小量, x 0 )( 无穷小量的倒数为无穷大量, x 0 )则例 . 0 ),( , 1)( xxxxf且设. 01lim ) 1 (xx.1lim )2(0 xx在某一极限过程中 请自己根据定义自已进行证明. , 0)( )( xfxf是一个无穷大量且若 . )(1 为无穷小量则xf , 0)( )( xfxf是一个无穷小量且若 . )(1 为无穷大量则xf设 , 是同

7、一个极限过程中的两个无穷小量.四、无穷小量的阶四、无穷小量的阶则称 是 的若, 0lim 记为. )(o高阶无穷小量,此时, ,lim也可称 是 的低阶无穷小.若0limcc，为常数,则称 与 是同阶无穷小量则称 是 的若, 1lim记为. 等阶无穷小,不存在, 但又不是无穷大,若lim则称 与 是不能比较的无穷小.x 0 时的几个无穷小量的比较：).0( )(o , 0lim ) 1 (220 xxxxxxxxxx2sinlim )2(0, 32limsinlim00 xxxxxx)o(2sinxxx)0( x 例xxx20sincos1lim )3(21sin2sin2lim22220 xxxxx1sinlim )4(0 xxx)0( sin xxxxxx220sin2sin2lim四、小结1、主要内容、主要内容: 三个定义三个定义;三个定理三个定理;一个推论一个推论2、几点注意、几点注意:无穷小与无穷大是相对于过程而言的无穷小与无穷大是相对于过程而言的.（1） 无穷小（无穷小（ 大）是变量大）是变量,不能与