极坐标系与极坐标方程

1、一、坐标系1、数轴它使直线上任一点p都可以由惟一的实数x确定2平面直角坐标系在平面上，当収定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建 立了平面直角坐标系。它使平面上任一点p都可以由惟一的实数对(x,y)确定。3、空间直角坐标系在空间中，选择两两垂直jl交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单 位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系。它便空间上任一点p都可以由惟一的实数对(x,y,z)确 定。二、平面直角坐标系的伸缩变换定义：设p(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换0:r=肚“> 0) 的作用下，卜=顾“ > 0

2、).点p (x, y)对应到点p，(x yo,称©为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。三、例题讲解伸缩变换后的图形。(2) x2+y2=l例1在平血直角处标系中，求卞列方程所对应的图形经过(1) 2x+3y=0；三、极坐标系1、极坐标系的建立：在平面上取一个定点0, 口点0引一条射线0x,同吋确定一个单位长度和计算角度的匸方向(通常収 逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系。(其中0称为极点，射线0x称为极轴。)m2、极坐标系内一点的极坐标的规定匕/对于平面上任意一点m,用p表示线段0m的长度，用0表示从0x到 0 . 0m的角度，p叫做点m的极径，e叫做点m的极

3、角，有序数对(p，0)就叫 ox做m的极坐标。特别强调：由极径的意义可知p$o；当极角e的取值范围是0,2龙)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标 (p, 0)建立一一对应的关系们约定,极点的极坐标是极径p二0,极角是任意角.3、负极径的规定在极坐标系屮，极径p允许取负值，极角0也可以去任意的正角或负角当p<0时，点m (p, 0)位于极角终边的反向延长线上，且om=|p| om (p, 0)也可以表示为(/9,0 + 2att)或(一p,& + (2鸟 + 1)龙)(k e z)4、数学应用例1写岀下图中各点的极处标a (4, 0) b (2) c () d ()e () f

4、() g ()规定：极点的极坐标是°二0,。可以取任意角。变式训练在极坐标系里描出下列各点ji4/r、冗兀a (3, 0) b (6, 2兀)c (3, ) d (5, ) e (3, ) f (4,兀)g (6,)2363例2在极坐标系中，冗7t(1) 已知两点p (5, ), q(l,-h求线段pq的长度;447t(2) 已知m的极坐标为(p，0)且0=, pe r ,说明满足上述条件的点m的位置。变式训练1、若abc的的三个顶点为71(5,),b(8,),c(3,),判断三和形的形状2 6 62、若a、b两点的极坐标为(门厨),(/?2,&2mnab的长以及aob的面积

5、。(o为极点)例3已知q (p, 0),分别按下列条件求出点p的极坐标。(1) p是点q关于极点o的对称点；tt(2) p是点q关于直线0 =-的对称点；2(3) p是点q关于极轴的对称点。变式训练tt1在极坐标系中，与点(-&)关于极点对称的点的一个坐标是()64(8$), (8,-芋),c(-8,芋),q(-8,-?)6 6 6 6 ji52在极坐标系中，如果等边abc的两个顶点是a(2,)(2，一),求第三个顶点c的坐标。44四、极坐标与直角坐标的互化直角坐标系的原点0为极点，兀轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。平面内任意一点p的直角坐标与极坐标分别为(x,y)和

6、(°,0),则由三角函数的定义可以得到如下两组公式:x = qcos0 y = qsin02 2 ( 2 p = x + ytan 6 = (x h 0)x说明1上述公式即为极坐标与直介坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极朋标吋，取° 20, 0wqw2龙。3化公式的三个前提条件1. 极点与肓角坐标系的原点重合；2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合；3. 两种处标系的单位长度相同.三、数学应用例1 (1)把点m的极朋标(8,)化成直角坐标； (2)把点p的直角坐标(亦,-血)化成极坐标。 3变式训练tttt在极坐标系屮，已知a(2,-),5(2-),求a,

7、b两点的距离66例2若以极点为原点,极轴为兀轴止半轴，建立直角坐标系.5/r(1) 已知a的极坐标(4,),求它的肓角坐标，(2) 已知点b和点c的直角坐标为(2,-2)和(0,-15)求它们的极坐标.(p >0, 0w 0 <2兀)变式训练把下列个点的总角处标化为极他标(限定° >0,) a(-1,1),b(0-2),c(3,4),d(-3-4)例3在极坐标系中，已知两点a(6,),b(6,).求a, b中点的极坐标.变式训练在极处标系中，己知三点m (2,-), 2(2,0), p(2v3,-).判断m, n, p三点是否在一条直线上.五、常用曲线的极坐标方程1

8、、若直线/经过m(p()0)且极轴到此直线的角为求总线/的极处标方程。tt7t变式训练直线/经过込)且该直线到极轴所成角容求此直细的极坐标方程。2、若圆心的朋标为m(p(),&(),圆的半径为厂，求圆的方程。运用此结呆可以推出哪些特殊位置的圆的极 坐标方程。3、在圆心的极坐标为4(4,0),半径为4的闘中，求过极点o的弦的中点的轨迹。三、巩固与练习在极坐标系中，已知圆c的圆心c(3,-),半径r = 3,6(1) 求圆c的极坐标方程。(2) 若q点在圆c上运动，p在0q的延长线上，且oq:op = 3:2,求动点p的轨迹方程。1、圆锥曲线的统一方程设定点的距离为p,求到定点到定点和定直

9、线的距离之比为常数丘的点的轨迹的极坐标方程。分析：建系设点列出等式用极坐标°、&表示上述等式，并化简得极坐标方程说明：为便于表示距离，収f为极点，垂直于定直线/的方向为极轴的正方向。(2)£表示离心率，p表示焦点到准线距离。2、例题讲解例1. 2(x)3年1()月1517 0,我国自主研制的神舟五号载人航天飞船成功发射并按预定方案安全、准 确的返回地球，它的运行轨道先是以地球中心为一个焦点的椭圆，椭圆的近地点(离地面蝕近的点)和远 地点(离地面最远的点)距离地面分別为200km和350km,然后进入距地面约343km的圆形轨道。若地球 半径取6378km，试写出神舟

10、五号航天飞船运行的椭圆轨道的极处标方程。例2.求证：过抛物线的焦点的弦被焦点分成的两部分的倒数和为常数。变式训练x2 v2设p、0是双曲线=一 =1(0<0<)上的两点，若op丄02。 ct 方_求证：聞+窗为定值;三、巩固与练习己知抛物线y2=4x的焦点为f。（1）以f为极点，兀轴正方向为极轴的正方向，写岀此抛物线的极坐标方程;（2）过取f作宜线/交抛物线于a、b两点,若1431=16,运用抛物线的极坐标方程，求宜线/的倾斜 角。基础训练/ctf1. 直线 qcos（& + g）= hk g z）的斜率是22. 极朋标方程p=16 表示的曲线是2-sin <93. 曲线 psin 0 = 2 和 q = 4sin 0（p > 0,0 <0< 2兀）的交点处标4. 在极坐标系中与圆p = 4sin&相切的一条直线方程为 （）a、psin = 2b、pcoso = 2 c pcos0 = 4d、pcos0 = -495. 椭闘p =的长轴长5-4cos&二、讲解新课：tt例1求illi线qcos0+1= 0关于直线& =对称的illi线方程。4例2.求下列两曲线的交点坐标。x? = 1 + co