被积函数有界课件

1、山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂第四节第四节 反常积分反常积分一、无穷限的反常积一、无穷限的反常积分分二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂常义积分积分限有限被积函数有界 解决许多实际问题要求我们将函数f(x)从有限区间推广到无限区间,将有界函数推广到无界函数.从而得到两种反常积分(也称广义积分).山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂一、无穷限的反常积分一、无穷限的反常积分引例引例. 曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积 可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbx11limbb11lim1b1

2、yox山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定义定义1. 设, ),)(aCxf,ab 取若xxfbabd)(lim存在 , 则称此极限为 f (x) 的无穷限反常积分反常积分, 记作xxfxxfbabad)(limd)(这时称反常积分xxfad)(收敛 ;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfad)(发散 .类似地 , 若, ,()(bCxf则定义xxfxxfbaabd)(limd)(山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂, ),()(Cxf若则定义xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 为任意取定的常数 )只要有一个极限不存在 , 就称xxfd)(发散 .无

3、穷限的反常积分也称为第一类反常积分第一类反常积分. ,并非不定型 ,说明说明: 上述定义中若出现 它表明该反常积分发散 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂,)()(的原函数是若xfxF引入记号; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx则有类似牛 莱公式的计算表达式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例1. 计算反常积分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2思考思考: ?01d2对吗xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原积分发散 !注意注意:

4、 对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零” 的性质, 否则会出现错误 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例2. 讨论反常积分apxxd解解:当 p =1 时有 axxdaxlnapxxdappx11当 p 1 时有 1p1p,11pap的敛散性.,因此, 当 p 1 时, 反常积分收敛 , 其值为;11pap当 p1 时, 反常积分发散 . 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例3. 计算反常积分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分引例

5、引例:曲线xy1所围成的1x与 x 轴, y 轴和直线开口曲边梯形的面积可记作10dxxA其含义可理解为 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim021yox山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂定义定义2. 设, ,()(baCxf而在点 a 的右邻域内无界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0这时称反常积分xxfbad)(收敛收敛 ; 如果上述极限不存在,就称反常积分xxfbad)(发散发散 .类似地 , 若, ),)(baCxf而在 b 的左邻域内无界,xxfxxfbabad)(limd)(0若极限baxxfd)(lim0数 f (x) 在 a , b 上的反

6、常积分, 记作则定义则称此极限为函 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类 说明说明: ,)(,)(外连续上除点在若bcacbaxf而在点 c 的无界函数的积分又称作第二类反常积分第二类反常积分, 无界点常称邻域内无界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220为瑕点瑕点(奇点奇点) .例如,xxxd11112xxd) 1(11间断点,而不是反常积分. 则本质上是常义积分, 则定义山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂注意注意: 若瑕点的计算表达式 : xxfbad)()()(aFbF

7、xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF则也有类似牛 莱公式的若 b 为瑕点, 则若 a 为瑕点, 则若 a , b 都为瑕点, 则, ),(bac则xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消吗可相消吗?设F(x)是f(x)的原函数, 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂解 因为221limxaax 所以点a为被积函数的瑕点 解 例 4 计算反常积分dxxaa2201 例4 aaaxdxxa 0 022arcsin120arcsinlimaxaxaaaxdxxa 0 022arcsin1 20arcsinlimaxax 由于1)1(lim1100 101

8、2xxdxxx 解 例5 例 5 讨论反常积分1121dxx的收敛性 解 在区间1 1上 x0 为函数21x的瑕点 即反常积分0121dxx发散 所以反常积分发散 所以反常积分1121dxx发散 1)1(lim1100 1012xxdxxx1)1(lim1100 1012xxdxxx1)1(lim1100 1012xxdxxx 山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂例例6. 证明反常积分baqaxx)(d证证: 当 q = 1 时,当 q 1 时收敛 ; q1 时发散 .baaxxdbaax ln当 q1 时baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以当 q 1 时, 该广义积分收敛 , 其值为;1)(1qabq当 q 1 时, 该广义积分发散 .山东农业大学 高等数学 主讲人： 苏本堂内容小结内容小结 1. 反常积分积分区间无限被积函数无界常义积分的极限 2. 两个重要的反常