2022年全等三角形及三角形全等的条件一对一辅导讲义

1、课题全等三角形及三角形全等的条件教学目的1、掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，并能进行简单的推理计算。2、理解并掌握三角形全等的判定定理，能准确找到判定定理的条件，并熟练运用。教学内容一、课前检测1如图（ 1） ， abc 中， ab=ac，ad 平分 bac，则 _2斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是_，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是 _3 已知 abc def ， def 的周长为32 cm， de=9 cm， ef=12 cm 则 ab=_， bc=_ ，ac=_图（ 1）图（ 2）图（ 3）4如图（ 2） ，ac=bd，要使 abc dcb 还需知道的一

2、个条件是_ 5如图（ 3） ，若 1= 2， c=d，则 adb _，理由 _6不能确定两个三角形全等的条件是（）a三边对应相等b两边及其夹角相等c两角和任一边对应相等d三个角对应相等7 abc 和 def 中， ab=de， a=d，若 abc def 还需要（）a b=eb c= f cac=dfd前三种情况都可以8在 abc和 a b c中 ab=a bbc=b cac=a ca=a b=bc=c，则下列哪组条件不能保证abcab c（）a具备b具备c具备d具备参考答案： 1adbadc2 asa （或 aas）sss39 cm12 cm11 cm4 acb=dbc 或 ab=cd 5

3、acbaas 6 d 7d 8a 二、知识梳理知识要点：要点 1：全等三角形的概念及其性质（ 1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。（ 2）全等三角形性质：对应边相等、对应角相等、周长相等、面积相等精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 14 页 - - - - - - - - -要点 2：全等三角形的判定（ 1）两边及夹角对应相等sas ；（ 2）两角及夹边对

4、应相等asa ；（ 3）两角及其中一角的对边对应相等aas ；（ 4）三边对就应相等sss 。要点 3：找全等三角形的对应边，对应角的方法（ 1）若给出对应顶点即可找出对应边和对应角。（ 2）若给出一些对应边或对应角，则按照对应边所对的角是对应角，反之，对应角所对的边是对应边就可找出其他几组对应边和对应角。（ 3）按照两对对应边所夹的角是对应角，两对对应角所夹的边是对应边来准确找出对应角和对应边。（ 4）一般情况下，在两个全等三角形中，公共边、公共角、对顶角等往往是对应边，对应角。要点 4：寻找两个三角形全等的途径（ 1）三角形全等的判定是这个单元的重点，也是平面几何的重点有两组对应角相等时；

5、找精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 14 页 - - - - - - - - -有两组对应边相等时；找有一边，一邻角相等时；找有一边，一对角相等时；找任一组角相等（aas ）（ 2）利用两个三角形的公共边或公共角寻找对应关系，推得新的等量元素如图（一）中的ad ，图（二）中的bc都是相应三角形的公共元素。图（三）中如有bf=ce ，利用公有的线段fc就可推出bc=ef 。图（四）

6、中若有dab= eac ，就能推出 dac= bae 。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 14 页 - - - - - - - - -三、例题讲解：例 1. 如图，,a f e b 四点共线，acce，bddf，aebf，acbd。求证：acfbde。. 思路分析： 从结论acfbde入手，全等条件只有acbd；由aebf两边同时减去ef得到afbe，又得到一个全等条件。还缺少一

7、个全等条件，可以是cfde，也可以是ab。由 条 件acce，bddf可 得90acebdfo， 再 加 上aebf，acbd， 可 以 证 明acebdf，从而得到ab。解答过程 ：qacce，bddf90acebdfo在rt ace与rt bdf中qaebfacbdrt acert bdf(hl) abqaebfaeefbfef，即afbe在acf 与bde中qafbeabacbdacfbde(sas) 解题后的思考：本题的分析方法实际上是“两头凑”的思想方法：一方面从问题或结论入手，看还需要什么条件；另一方面从条件入手，看可以得出什么结论。再对比“所需条件”和“得出结论”之间是否吻合或具

8、有明显的精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 14 页 - - - - - - - - -联系，从而得出解题思路。小结： 本题不仅告诉我们如何去寻找全等三角形及其全等条件，而且告诉我们如何去分析一个题目，得出解题思路例2. 如 图 ， 在abc中 ，be是 abc的 平 分 线 ，adbe， 垂 足 为d。 求 证 ：21c。思路分析： 直接证明21c比较困难，我们可以间接证明，即找

9、到，证明2且1c。也可以看成将2“转移”到。那么在哪里呢？角的对称性提示我们将ad延长交bc于f，则构造了 fbd ，可以通过证明三角形全等来证明 2=dfb ，可以由三角形外角定理得dfb= 1+c。解答过程 ：延长ad交bc于f在abd与fbd中q90abdfbdbdbdadbfdboabdfbd(asa 2dfb又q1dfbc21c。解题后的思考：由于角是轴对称图形，所以我们可以利用翻折来构造或发现全等三角形。例 3. 如图，在abc 中，abbc，90abco。f为ab延长线上一点， 点e在bc上，bebf， 连接,ae ef和cf。求证：aecf。思路分析： 可以利用全等三角形来证明

10、这两条线段相等，关键是要找到这两个三角形。以线段ae为边的abe绕点b顺时针旋转90o到cbf的位置，而线段cf正好是cbf的边，故只要证明它们全等即可。解答过程 ：q90abco，f为ab延长线上一点90abccbfo精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 14 页 - - - - - - - - -在abe与cbf 中qabbcabccbfbebfabecbf(sas) aecf。

11、解题后的思考：利用旋转的观点，不但有利于寻找全等三角形，而且有利于找对应边和对应角。小结： 利用三角形全等证明线段或角相等是重要的方法，但有时不容易找到需证明的三角形。这时我们就可以根据需要利用平移、翻折和旋转等图形变换的观点来寻找或利用辅助线构造全等三角形。例 4. 如图，d是abc 的边bc上的点， 且cdab，adbbad，ae是abd的中线。 求证：2acae。思路分析： 要证明“2acae” ，不妨构造出一条等于2ae的线段，然后证其等于ac。因此，延长ae至f，使efae。解答过程 ：延长ae至点f，使efae，连接df在abe与fde中qaefeaebfedbedeabefde(

12、sas) bedfqadfadbedf，adcbadb又qadbbadadfadcqabdf，abcddfdc在adf与adc中qadadadfadcdfdcadfadc(sas) afac又q2afae2acae。解题后的思考：三角形中倍长中线，可以构造全等三角形，继而得出一些线段和角相等，甚至可以证明两条直线平行。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 14 页 - - - - -

13、 - - - -四、课堂练习一、选择题：1. 能使两个直角三角形全等的条件是( ) a. 两直角边对应相等b. 一锐角对应相等c. 两锐角对应相等d. 斜边相等2. 根据下列条件，能画出唯一abc的是 ( ) a. 3ab，4bc，8cab. 4ab，3bc，30aoc. 60co，45bo，4abd. 90co，6ab3. 如图， 已知12，acad，增加下列条件： abae；bced；cd；be。其中能使abcaed的条件有 ( ) a. 4 个b. 3 个c. 2 个d. 1 个（第 3 题）（第 4 题）（第 5 题）（第 6 题）4. 如图，已知abcd，bcad，23bo，则d等于

14、 ( ) a. 67ob. 46oc. 23od. 无法确定二、填空题：5. 如图，在abc中，90co，abc的平分线bd交ac于点d，且:2:3cd ad，10accm，则点d到ab的距离等于 _cm；6. 将一张正方形纸片按如图的方式折叠，,bc bd为折痕，则cbd的大小为 _；三、解答题：7. 如图，abc为等边三角形， 点,mn分别在,bc ac上， 且bmcn，am与bn交于q点。求aqn的度数。精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - -

15、 - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 14 页 - - - - - - - - -8. 如图，90acbo，acbc，d为ab上一点，aecd，bfcd，交cd延长线于f点。求证：bfce。9. 如图，已知aead ，afab，af=ab ，ae=ad=bc ，ad/bc. 求证：（ 1）ac=ef，（2）acef 10. 已知：如图，在rtabc 中， ab=ac ，bac=90 ，1=2，cebd 的延长线于e.求证： bd=2ce. 参考答案一、选择题：1. a 2. c 3. b 4. c 二、填空题：5. 4 6. 90o三、解答题：7. 解：qabc为等

16、边三角形abbc，60abcco在abm与bcn中qabbcabccbmcnabmbcn(sas) nbcbam60aqnabqbamabqnbco。8. 证明：qaecd，bfcd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 14 页 - - - - - - - - -90faeco90acecaeoq90acbo90acebcfocaebcf在ace与cbf中qfaeccaebcfacb

17、cacecbf(aas) bfce。9.证明：（1）ad/bc ， bdab=180 又 dab 4eaf3=360 ，3=4=90dab eaf=180 b=eaf 在abc 和 fae 中abc fae（sas）ac=ef （2） abc fae 1=f 又 13=2f 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 14 页 - - - - - - - - -2=3 又 3=90 2=9

18、0agef，即 acef 10.证明：延长ba、ce 交于点 f. 3=90 ， 5f=90又bece， 4=90 ， 7=90 1f=90 ，6=180 90 =901=5 在abd 和 acf 中 abd acf（asa ）bd=fc 在bef 和bec 中bef bec（asa）ef=ec fc=2ec bd=2ec 五、课堂小结(1) 全等三角形的概念及其性质(2) 全等三角形的判定(3) 找全等三角形的对应边，对应角的方法(4) 寻找两个三角形全等的途径六、课后作业一、填空题精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14

19、 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 14 页 - - - - - - - - -1如图（ 1） ， c= e， 1=2，ac=ae，则 abd 按边分是 _ 三角形2如图（ 2） ，ab=ac，bdac 于 d，ceab 于 e，交 bd 于 p，则 pd_pe（填“ ”或“=” ） 3如图（ 3） ， abc 中， ab=ac，现想利用证三角形全等证明b= c，若证三角形全等所用的公理是sss公理，则图中所添加的辅助线应是_图（ 1）图（ 2）图（ 3）图（ 4）4一个三角形的三边为

20、2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=_5如图（ 4） ，ad=ae，若 aec adb，则需增加的条件是_ （至少三个）二、选择题6如图（ 8） ，图中有两个三角形全等，且a=d，ab 与 df 是对应边，则下列书写最规范的是（）a abc defb abc dfec bac defd acb def 7如图（ 9） ，ac=ab， ad 平分 cab，e 在 ad 上，则图中能全等的三角形有_对a1 b2 c3 d4 图（ 8）图（ 9）图（ 10）图（ 11）8如图（10） ，abc中，d、e是 bc边上两点，ad=ae，be=cd，1=2=110 ，

21、bae=60，则cad 等于 （）a70b60c50d1109如图（ 11） ，abcd，且 ab=cd，则 abe cde 的根据是（）a只能用 asa b只能用sasc只能用aasd用 asa或 aas 10如图（ 12） ， abc aef，ab 和 ae，ac 和 af 是对应边，那么eac 等于（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 14 页 - - - - - -

22、- - -a acb b baf c f d caf 11如图（ 13） ，abc 中， c=90， ac=bc，ad 平分 cab 交 bc 于 d，deab 于 e 且 ab=6 cm，则 deb的周长为（）a40 cm b6 cm c8 cm d10 cm 图（ 12）图（ 13）图（ 14）12如图（ 14） ， 1= 2， c=d，ac，bd 相交于点e，下面结论不正确的是（）a dae=cbeb dea 与 ceb 不全等cce=cdd aeb 是等腰三角形三、解答题13已知 ef 是 ab 上的两点， ae=bf，acbd，且 ac=db，求证： cf=de图（ 15）14一块三

23、角形玻璃损坏后，只剩下如图（16）所示的残片，你对图中作哪些数据测量后就可到建材部门割取符合规格的三角形玻璃并说明理由图（ 16）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 14 页 - - - - - - - - -15如图（ 17） ，在 abc 中， am 是中线， ad 是高线图（ 17）（1）若 ab 比 ac 长 5 cm，则 abm 的周长比 acm 的周长多 _ cm（2）若 amc 的面积为10 cm2，则 abc 的面积为 _cm 2a10 b20c30d40 （3）若 ad 又是 amc 的角