八年级秋季班-第12讲：正反比例函数综合-教师

1、八年级秋季班-第12讲：正反比例函数综合-教师版正反比例函数综合内容分析正、反比例函数是八年级数学上学期第十八章内容，主要对正、反比例函数的图像及性质综合题型进行讲解，重点是正、反比例函数性质的灵活运用，难点是数形结合思想的应用的归纳总结通过这节课的学习为我们后期学习一次函数的应用提供依据知识结构模块一：正反比例函数图像和性质知识精讲一、 正比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的比值是一个常数（这个常数不等于零），那么就说这两个变量成正比例，用数学式子表示两个变量x、y成正比例，就是，或表示为，k是不等于零的常数2、解析式形如（k是不等于零的常数）的函数叫做正比例函数，其中常数k叫做比例系数

2、；正比例函数的定义域是一切实数确定了比例系数，就可以确定一个正比例函数的解析式3、一般地，正比例函数（k是常数，k0）的图象是经过（0，0），（1，k）这两点的一条直线，我们把正比例函数的图象叫做直线4、正比例函数图像的性质：（1）当k>0时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x的值逐渐增大时，y值也随着逐渐增大（2）当k<0时，正比例函数的图像经过第二、四象限；自变量x的值逐渐增大时，y值反而逐渐减小二、 反比例函数1、如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例，用数学式子表示两个变量x、y成反比例，就是，或表示为，其中k是不等于零的常

3、数2、 解析式形如（k是常数，）的函数叫做反比例函数，其中k也叫做比例系数反比例函数的定义域是不等于零的一切实数3、反比例函数的图像：按照作函数图像的一般步骤，通过列表、描点、连线，来画反比例函数（k是常数，k0）的图像反比例函数（k是常数，k0）的图像叫做双曲线，它有两支4、反比例函数图像的性质：（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小；（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限；在每个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大；（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交例

4、题解析【例1】 函数：（1） 当m为_时，它是正比例函数，且y随x的增大而增大；（2） 当m为_时，它是反比例函数，且在各个象限中，y随x的增大而增大【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为函数为正比例函数，则有，解得：，又函数随着增大而增大，即可得，得：；（2）因为函数为反比例函数，则有，解得：，又函数随着增大而增大，即可得，得：【例2】 （1）函数与的图像的交点坐标是_；（2）函数的图像的交点坐标是_【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）令，解得，对应函数值分别为，即两函数图像交点坐标为和；（2）令，解得，对应函数值分别为，即两函数图像交点坐标为和【总结】考查函数图像交点

5、的求取，让两函数相等解方程即可，注意对应纵坐标【例3】 已知直线与双曲线的一个交点a的坐标为，则=_；它们的另一个交点坐标是_【难度】【答案】4，【解析】和过点，则有，解得：，则，正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点对称，可知另一交点坐标为【总结】考查根据正反比例函数图像上一点求对应的函数解析式及交点坐标【例4】 若与成正比例关系，z与成正比例关系，则y与z成_关系【难度】【答案】反比例【解析】依题意可设，则有，可知y与z成反比 例关系【总结】考查几个变量的相互关系的推导，设比例系数转化即可【例5】 若正比例函数和反比例函数的图像经过点a（-2，1）和点b，则的值为 _【难度】【答案】9【

6、解析】正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点中心对称，即，即得：，解得：，则【总结】考查平面直角坐标系中正比例函数和反比例函数两交点坐标关于原点对称【例6】 若直线与双曲线的图像有两个交点，则的取值范围是_【难度】【答案】【解析】因为与有两个交点，即方程有两个不相等的实数根，由此可得：【总结】考查交点问题，转化为方程根的问题，实际上，本题考虑函数所在象限相同即可【例7】 如图，正比例函数和反比例函数的图像在同一平面直角坐标系中大致是（）axyobyxodyxocyxo【难度】【答案】d【解析】比例系数决定正反比例函数所在象限，时，相应的正反比例函数图像都在一、三象限，时，相应的正反比例函数图

7、像都在二、四象限，正反比例函数图像必有交点，符合的条件，满足条件选项为d【总结】考查根据比例系数与0的大小关系确定正反比例函数图像所在象限解决问题，也可直接进行分类讨论【例8】 若a、b两点关于y轴对称，点a在双曲线上，点b在上，则b点坐标是_【难度】【答案】或【解析】设点，因为a、b关于y轴对称，则有，又b在上，则有，解得：，即得或【总结】考查正反比例函数性质的综合应用【例9】 正比例函数和反比例函数的图像交于a、c两点，过a作x轴的垂线交x轴于b点，连接bc，若abc的面积是s，求s的值【难度】【答案】1【解析】根据反比例函数的几何意义，可知，正反比例函数两交点坐标关于原点对称，由此可知，

8、则有【总结】考查反比例函数的几何意义和正反比例函数两交点关于原点中心对称的综合应用【例10】 已知正比例函数与反比例函数交于a、b两点，且点a的横坐标是-1，点b的纵坐标是2，求这两个函数的解析式【难度】【答案】，【解析】正反比例函数两交点关于原点中心对称，由此可知，两函数 过点，则有，即两函数解析式分别为和【总结】考查正反比例函数两交点关于原点中心对称的应用【例11】 已知反比例函数和正比例函数的图像交于点（2，3），（1） 求这两个函数解析式；（2） 判断点（1，6）是否在反比例函数的图像上；（3） 求两个函数图像的另一个交点【难度】【答案】（1）反比例函数：，正比例函数：；（2）在；（3

9、）【解析】（1）因为正、反比例函数交于点（2，3），则有，解得：，即得两个函数解析式分别为和；（2） 由，可知点（1，6）在反比例函数图像上；（3） 正反比例函数图像两交点坐标关于原点中心对称，可知另一交点坐标为【总结】考查正反比例函数两交点关于原点中心对称的应用【例12】 已知函数的图像上一点a，并且它和反比例函数的图像交于点b（2，m）求反比例函数的解析式【难度】【答案】【解析】函数过点a，则有，解得：，则函数解析式为，令，得，即，设反比例函数解析式为，则有，解得：，即反比例函数解析式为【总结】考查正反比例函数的结合应用，由函数图像上一点坐标即可确定相应函数解析式【例13】 已知函数的图像

10、有两个交点，其中一个交点的横坐标是1，求这两个函数图像的交点坐标【难度】【答案】和【解析】令，则有，两函数相交，令，即， 解得：，此时，则一个交点坐标为，两函数交点坐标关于原点 中心对称，可知另一交点坐标为【总结】考查正反比例函数的结合应用，由函数图像上一点坐标即可确定相应函数解析式【例14】 已知直角坐标系内一个正方形的边长为2，中心位于点（2，2），各边与坐标轴平 行，双曲线与正方形有公共点，求k的取值范围【难度】【答案】【解析】因为正方形边长为2，中心位于点（2，2），可得正方形四个顶点坐标分别为， ，反比例函数与正方形由公共点，临界情况分别为过点和 ，对应值分别为，由此可得【总结】考查

11、确定相应变量取值范围，找准对应的临界值情况即可【例15】 已知，其中与x成正比例，与成反比例，且当时，当时，求：（1）y与x的函数解析式；（2）当时，y的值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）令，则有，根据题意则有，解得：，则；（2）令，则有【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可【例16】 已知：，与成正比例，与x+8成反比例，且当和时，的值分别是3和-11，求和之间的函数关系式【难度】【答案】【解析】令，则有，根据题意则有，解得：，则【总结】考查利用“待定系数法”求反比例函数的比例系数，转化为解方程组即可【例17】 在同一平面直角坐标系中，已知正比例

12、函数和正反比例函数的图像相交于p、q两点，点a在x轴的负半轴上，且与原点的距离是4，（1）求p、q两点的坐标； （2）求apq的面积【难度】【答案】（1），或，；（2）【解析】（1）令，即，解得：，对应值分别为和 ，即得p、q两点坐标分别为和或和； （2）点a在x轴负半轴，且与原点距离为4，可得，则有，直线过 原 点，即可得：【总结】考查正反比例函数两交点坐标关于原点中心对称的综合应用【例18】 a、b是双曲线上的点，分别过a、b两点向x、y轴作垂线段，重叠部分的面积为，如图所示，求空白部分的面积之和，即的值aboxy【难度】【答案】4【解析】根据反比例函数的几何意义，可得过点a和点b与坐标轴

13、围成的矩形面积为3，则有，故【总结】考查反比例函数的几何意义，过反比例函数图像上一点作垂线与坐标轴形成的矩形面积为abcoefgpyx【例19】 如图，已知正方形oabc的面积是9，点o为坐标原点，点a在x轴上，点c在y轴上，点b是双曲线上的点，p（m，n）是图像上任意一点，过点p分别作x、y轴的垂线段，垂足分别为e、f，若矩形oepf和正方形oabc重合的部分的面积是s，求出s和m的函数关系式【难度】【答案】【解析】由，又，即得，可得，即可得以下分类讨论：当时，；当时，点p（m，n）在双曲线上，即可得，则有；综上所述，【总结】考查反比例函数几何意义的应用，注意求面积时候要进行分类讨论【例20

14、】 已知函数的图象与的图象关于y轴对称abcpqxyo在的图象上取一点p（p点的横坐标大于2)，过p作pqx轴，垂足是q，若存在两点b、c，且b(0，2)，c(2，0)，使得四边形bcqp的面积等于2，求p点的坐标【难度】【答案】【解析】因为函数与关于y轴对称，可得，设，依题意可得，解得：，即得【总结】考查平面直角坐标系中的图形面积计算，注意把点坐标转化为相应的线段长度，用割补法进行图形面积计算abcdoxy【例21】 如图，正比例函数（k>0）与反比例函数的图像交于a、c两点，过点a作x轴的垂线交x轴于b，连接bc若abc的面积是s，试指出s是否为定值若为定值，请求出这个定值；若不是定

15、值，请说明理由【难度】【答案】1【解析】设点，则有，正比例函数和反比例函数两交点关于原点中心对 称，由此可得，故【总结】考查反比例函数的几何意义和正反比例函数两交点关于原点中心对称的综合应用【例22】 如图，直线l和双曲线交于a、b两，p是线段ab上的点（不与a、 b重合），过点a、b、p分别向x轴作垂线，垂足分别是c、d、e，连接oa、ob、op， 设aoc面积是，bod面积是，poe面积是，试比较的大小 fabcdepxyol关系【难度】【答案】【解析】设线段pe与双曲线相交于点f，连接of因为点a、f、b均在双曲线上，所以根据反比例函数图像的面积不变性， 可得，又易知，所以【总结】考查反

16、比例函数的几何意义，本题中要特别注意的大小判定abcdoxy【例23】 已知：关于x的一元二次方程的两根满足，双曲线经过rtoab斜边ob的中点d，与直角边ab交于点c，求【难度】【答案】【解析】由，可得：或 当时，对方程，则有，得， 则双曲线解析式为，设，则有， 由此可得；当时，对方程，则有，得，此时方程无解，不满足题意 综上所述，【总结】考查平面直角坐标系中的图形面积计算，注意把点坐标转化为相应的线段长度，用割补法进行图形面积计算xabcoyef【例24】 已知：在矩形aobc中，ob=4，oa=3，分别以ob，oa所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系f是边bc上的一个动点（

17、不与b，c重合），过f点的反比例函数的图像与ac边交于点e（1）求出满足题意的k的取值范围；（2）记，求s关于k的函数解析式；（3）是否存在这样的实数k，使oef和ecf面积相等若存在，求出点f的坐标；若不存在，说明理由【难度】【答案】（1）；（2）；（3）不存在【解析】（1）因为反比例函数上一点f是bc上一动点，又，可得：， 即得；（2） 由点e、f在反比例函数图像上，得：， 又，则，由此可得：，由此可得： ；（3） 若，则有，解得：， 不在题目相应取值范围之内，即不存在这样的实数【总结】考查与反比例函数相关联的图像面积问题，根据点在函数图像上进行求解【例25】 如图，、都是等腰直角三角形，

18、点、在函数的图像上，斜边、都在轴上，则点的坐标为_omn【难度】【答案】【解析】作、轴分别交轴于点、点，是等腰直角三角形，可得由点在上，可得：，则又是等腰直角三角形，则有设横坐标为，则，即在函数上，则有，解方程得：，取则点坐标为【总结】主要利用点在反比例函数图像上和等腰三角形的特殊性质，数形结合，建立横纵坐标之间的关系，进行求解计算【例26】 在平面直角坐标系xoy中，直线过点a(1，0)且与y轴平行，直线过点b(0，2)且与x轴平行，直线与相交于p点e为直线一点，反比例函数的图象过点e且与直线相交于点f.（1）若点e与点p重合，求k的值；eabxyopf（2）连接oe、of、ef，若，且oe

19、f的面积为pef的面积2倍，求点e的坐标【难度】【答案】（1）2；（2）【解析】（1）依题意可得，当点e与点p重合时， 则有，所以； （2）因为点e、f在反比例函数上，得，yabxop 且，则， 由此可得：， 又， 则， 若，即得：， 解得：（舍）， 即得【总结】本题综合性较强，主要考查与反比例函数相关联的图像面积问题，根据点的坐标与函数解析式间的关系进行求解【例27】 如图，已知直线与双曲线交于a、b两点，且点a的横坐标是4，过原点o的另一条直线l交双曲线于p、q两点（点p在第一象限），若由点a、b、p、q为顶点组成的四边形的面积是24，求点p的坐标aboxy【难度】【答案】或【解析】因为点

20、a在直线上，令， 则有，得，则，设点，根据反比例函数与正比例函数两交点关于原点对称，易得四边形为平行四边形，则有，即可得以下分类讨论：时，解得：（舍），即得；当时，解得：（舍），即得综上所述，点p的坐标为或【总结】考查正比例函数和反比例函数两交点关于原点中心对称，利用类似【例26】求面积的方法即可把所求面积表示出来再进行解题计算随堂检测【习题1】 已知正比例函数与反比例函数的图像有一个交点，那么这两个函数的另一个交点的坐标为_，两个函数解析式分别是_【难度】【答案】，和【解析】根据正反比例函数两交点关于原点中心对称，可知另一交点坐标为，设正比例函数解析式为，反比例函数解析式为，因为函数图像过点

21、，即可得，解得：，即得两个函数解析式分别为和【总结】考查正反比例函数两交点坐标关于原点中心对称，由函数图像上一个点的坐标即可确定相应正反比例函数的函数解析式【习题2】 若正比例函数和反比例函数都经过和都经过点（2，3）则_，_【难度】【答案】，6【解析】因为函数和都过点（2，3），则有，解得：，【总结】考查通过正反比例函数上一个点的坐标即可确定相应函数解析式【习题3】 已知：（1）如果y是x的正比例函数，则m_，函数解析式为_；（2）如果y是x的反比例函数，则m_，函数解析式为_【难度】【答案】（1）m = 1，；（2）m，【解析】（1）函数为正比例函数，则有，可得：，函数解析式为；（2）函数

22、为反比例函数，则有，解得：，此时函数解析式即为【总结】考查正反比例函数解析式及与其相关的比例系数的结合应用poxdy【习题4】 点p是反比例函数图像上的一点，pdx轴，则pod的面积为_【难度】【答案】1【解析】设，则有【总结】考查反比例函数的几何意义，过反比例函数图像上任一 点向坐标轴作垂线，垂足与原点构成的三角形面积为【习题5】 如图，a是反比例函数图像上的一点，过点a分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为p、c，若矩形acop的面积是3，则反比例函数的解析式是_【难度】axcodpy【答案】【解析】设，则有，即得：， 点a在第三象限，可知，得反比例函数解析式为【总结】考查反比例函数的几何意义

23、，过反比例函数图像上任一点向两坐标轴作垂线，垂足与原点构成的矩形面积为【习题6】 已知函数与反比例函数的图像在同一直角坐标系中无交点，则a和b的关系式（）abcd【难度】【答案】d【解析】因为与无交点，即方程无实数根，由此可得：， 即、异号，由此，故选d【总结】考查交点问题，转化为方程根的问题，实际上，本题考虑函数所在象限不同即可【习题7】 已知函数与反比例函数的图像在如图所示，下列结论正确的是（） 两函数的交点坐标为（2，2）； 当； 直线x=1分别与两函数的图像交于b、c两点，则线段bc的长为3； 当x逐渐增大时，随x的增大而增大，随x的增大而减小 a只有b只有c只有d只有abcoxy【难

24、度】【答案】d【解析】令，解得：，由，则有， 此时，即得交点坐标（2，2），正确；对同一 值而言，函数图像在上方即相应函数值越大， 当时在上方，即，错误； 令，得：，则有，正确； 根据正比例函数和反比例函数的增减性，时，正比例函数随x增大而 增大，反比例函数随x增大而减小，可知正确； 综上所述，正确，故选d【总结】考查正反比例函数性质和交点的结合应用【习题8】 已知，与成正比例，与成反比例，当x = 1时，；当x = 3时，y = 5；（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当时，求y的值【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）设，则， 依题意可得：，解得：，由此即得：； （2）令时，【总结

25、】考查利用待定系数法求解函数关系式，根据题意即可两个条件即可转化为关于两个系数的二元一次方程组即可进行求解【习题9】 点p是反比例函数与正比例函数的图像的交点，pqx轴于点q（2，0）（1） 求这个反比例函数的解析式；（2） 如果点m在这个反比例函数的图像上，且mpq的面积是6，求m点的坐标【难度】【答案】（1）；（2）或【解析】（1）由q（2，0），可得p点横坐标为2，令，得：， 设反比例函数解析式为，则有，解得：， 即得反比例函数解析式为； （2）由（1）可得，即得， 解得：或，即得：m或m【总结】考查与反比例函数相关的图形面积计算abcdexyo【习题10】 已知：如图，等腰rtabc的

26、直角边bc在x轴的正半轴上，斜边ac上的中线bd的反向延长线交y轴的负半轴于点e，且b恰好是de的中点，双曲线经过点a，若bec的面积为5，求k的值【难度】【答案】10【解析】设，因为为等腰直角三角形，依题意可得：，则有，则有，得【总结】考查反比例函数几何意义与特殊图形面积的结合应用【习题11】 两个反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点p在的图象上，pcx轴于点c，交的图象于点a，pdy轴于点，交的图象于点b，当点p在的图象上运动时，以下结论：odb与oca的面积相等；四边形paob的面积不会发生变化；pa与pb始终相等；当点a是pc的中点时，点b一定是pd的中点其中一定正确的是()ab

27、cdpxyoabcd【难度】【答案】c【解析】根据反比例函数的几何意义，可得，则正确；又，正确；由，可得，即，点移动过程中不能确保，即pa、pb不是始终相等，错误；a是pc中点时，则有，则有，可知正确；综上所述，正确，故选c【总结】考查反比例函数的几何意义的应用【习题12】 已知：正方形的顶点在反比例函数的图象上，顶点分别在x轴、y轴的正半轴上，再在其右侧作正方形，顶点在反比例函数的图象上，顶点在x轴的正半轴上，则点的坐标为_xoy【难度】【答案】【解析】设，则有，即得点在反比例函数上，则有，解得：，即得，根据正方形的性质，可得：，则有，设，则有，解得：或（舍），则有【总结】考查正方形的特殊性

28、质和反比例函数上点坐标结合的应用课后作业【作业1】 已若与成反比例，与成正比例，则是的_【难度】【答案】正比例函数【解析】依题意可设，则有， 可知y是的正比例函数【总结】考查几个变量的相互关系的推导，设比例系数转化即可【作业2】 正比例函数和反比例函数的图像都经过a(m，1)，则_，反比例函数的解析式为_【难度】【答案】3，【解析】函数过点a(m，1)，依题意则有，解得：，即点a(3，1)反比例函数过点a(3，1)，则有，解得：，即反比例函数解析式为【总结】考查根据正反比例函数上一点坐标确定相应函数解析式【作业3】 a是反比例函数图像上的一点，abx轴于点b，若，则k的值是_【难度】【答案】【

29、解析】设点，则有，解得：【总结】考查反比例函数的几何意义，三角形面积为【作业4】 设直线与双曲线相交于、两点，则的值为( )a-10b-5c5d10【难度】【答案】a【解析】因为正反比例函数两交点坐标关于原点中心对称，则有，由此可得：，故选a【总结】考查正反比例函数两交点坐标关于原点中心对称【作业5】 在同一坐标系中函数和的大致图像是（）-11-111-11xyxyxyxy-1 ab c d【难度】【答案】d【解析】令，即得：，可知时，正反比例函数都经过二、四象限，且有，由此可得，故选d【总结】考查正反比例函数在同一坐标系中的图像问题，根据相应字母取值范围确定函数图像的情况【作业6】 如图，正

30、比例函数与反比例函数的图象相交于点a、c两点，abx轴于b，cdx轴于d，求四边形abcd的面积abcdoxy【难度】【答案】2【解析】根据正反比例函数两交点坐标关于原点对称，易得四边形abcd为平行四边形，根据反比例函数的几何意义，可得，则有【总结】考查正反比例函数两交点关于原点对称和反比例函数几何意义的结合应用【作业7】 已知，与成正比例，与成反比例，当x=1时，y的值为5；当x=4时，y的值为18，求当x=9时，y的值【难度】【答案】【解析】设，则，根据题意代值计算，可得：，解得：，由此即得：当时，【总结】考查利用待定系数法求解函数关系式，根据题意即可两个条件即可转化为关于两个系数的二元一次方程组即可进行求解abcx=txyo【作业8】 如图，直线与反比例函数的图象分别交于b，c两点，a为y轴上的任意一点，求abc的面积【难度】【答案】【解析】依题意可得：，则有，【总结】考查反比例函数几何意义的应用【作业9】 如图所示，正方形oabc、adef的顶点a、d、c在坐标轴上，点f在ab上，点b、e在函数的图像上，求点e的坐标afbcdexyo【难度】【答案】【解析】由，四边形为正方形，则有，即得：，所以设点e横坐标为，则纵坐标为，即点在函数上，则有，解得：，取，所以点e坐标为：【总结】考查反比例函数几何