2022年八年级上数学-全等三角形典型例题

1、学习必备欢迎下载全等三角形典型例题：例 1：把两个含有45 角的直角三角板如图1 放置，点 d 在 bc 上，连结 be，ad ，ad 的延长线交be 于点 f求证： afbe练习 1：如图，在 abc 中， bac=90 ， ab=ac ，ae 是过点 a 的直线， bd ae，ceae，如果 ce=3， bd=7，请你求出de 的长度。例 2： dac, ebc均是等边三角形，ae,bd分别与 cd,ce交于点 m,n,求证： （1）ae=bd ； (2)cm=cn； (3)cmn 为等边三角形； （4）mn bc 。例 3： （10 分）已知， abc 中， bac = 90 ，ab =

2、 ac，过 a 任作一直线l，作 bdl 于 d，cel 于 e，观察三条线段bd， ce，de 之间的数量关系如图 1，当 l 经过 bc 中点时， de = （1 分） ，此时 bdce（ 1 分） 如图 2，当 l 不与线段 bc 相交时， bd，ce，de 三者的数量关系为，并证明你的结论 （3 分）如图 3，当 l 与线段 bc 相交，交点靠近b 点时， bd，ce，de 三者的数量关系为证明你的结论（4 分） ，并画图直接写出交点靠近c 点时， bd，ce，de 三者的数量关系为 （1 分）图 1 图 2 图 3 d a c b n m a fb c e d edacba l b

3、c a b c d e l a b c l e d e精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载练习 1：以直角三角形abc的两直角边ab、bc为一边， 分别向外作等边三角形abe和等边 bcf ，连结 ef、ec 。试说明：（1）efec ； （2）eb cf cbafe练习 2：如图（ 1）a、e、f、c在同一直线上，ae=cf ，过 e、 f分别作 de ac，bfac若 ab=cd ，g是 ef的中点吗？请证明你的结论。若将abc的边 ec经 ac方向移动变为图（2）

4、时，其余条件不变，上述结论还成立吗？为什么？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载例四：如图 1，已知， ac ce，ac=ce ， abc= cde=90 ，问 bd=ab+ed吗? 分析 ：（1）凡是题中的垂直往往意味着会有一组90角，得到一组等量关系；（2）出现 3 个垂直，往往意味着要运用同（等）角的余角相等，得到另一组等量关系；（3）由全等得到边相等之后，还要继续往下面想，这几组相等的边能否组合在一起：如如图 6，除了得到三组对应边相等之外，还可以得到ac=bd

5、 。解答过程：得到abc cde 之后，可得到bc=de ，ab=cd bc+cd=de+ab （等式性质）即： bd=ab+de 变形 1：如图 7， 如果 abc cde ，请说明ac 与 ce 的关系。注意 ：两条线段的关系包括：大小关系（相等，一半，两倍之类）位置关系（垂直，平行之类）变形 2：如图， e 是正方形abcd 的边 dc 上的一点，过点a 作 faae 交 cb 的延长线于点f，求证： de=bf 分析 ：注意图形中有多个直角，利用同角的余角相等或等式性质可到一组锐角相等。图 6 oabcdbdeca图 5 bdeca图 7 fabdce精品学习资料 可选择p d f -

6、 - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载变形 3：如图 8，在 abc 中， bac=90 ， ab=ac ， ae 是过点 a 的直线， bd ae，ce ae ，如果 ce=3 ，bd=7，请你求出de 的长度。分析 ：说明相等的边所在的三角形全等，题中“ ab=ac ” ，发现： ab 在 rtabd 中， ac 在 rt cae 中，所以尝试着去找条件，去说明它们所在的两个rt全等（如图9）于是：已经存在了两组等量关系：ab=ac ，直角 =直角，再由多个垂直利用同角的余角相等，得到第三组等量关系。

7、解：由题意可得：在rtabd 中， 1+abd=90 （直角三角形的两个锐角互余）又bac=90 （已知），即 1+ cae=90 abd= cae（等角的余角相等）故在 abd 与 cae 中，bda= aec=90 （垂直定义）abd= cae （已求）ab=ac （已知） abd cae（aas） ae=bd=7 ，ad=ec=3 （全等三角形的对应边相等） de=aead=73=4 变形 4：在 abc 中， acb= 900，ac=bc ，直线 mn 经过点 c，且 admn 于 d，bemn 于 e。（1）当直线mn 绕点 c 旋转到图9 的位置时，adc ceb，且de=ad+b

8、e 。你能说出其中的道理吗？（2）当直线mn 绕点 c 旋转到图10 的位置时，de =ad-be 。说说你的理由。（3）当直线 mn 绕点 c 旋转到图11 的位置时， 试问 de，ad ， be 具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系。edacb图 8 1 edacb图 9 图 11 edcbanm图 12 edcbanmedcbanm图 10 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载等腰三角形、等边三角形的全等问题：必备知识 ：如右图， 由 1=2，可得 cbe= d

9、ba ；反之，也成立。例五：已知在 abc 中， ab=ac ，在 ade 中， ad=ae ，且 1=2，请问 bd=ce 吗？分析 这类题目的难点在于，需要将本来就存在于同一个三角形中的一组相等的边，分别放入两个三角形中，看成是一组三角形的对应边， 题目中所给的abc 与 ade 是用来干扰你的思路的，应该去想如何把两组相等的边联系到一起，加上所求的 “bd=ce ” ，你会发现bd 在 abd 中， ce 在 ace 中，这样一来，“ab=ac ”可以理解为：ab 在 abd 中， ac 在 ace 中，它们是一组对应边；“ad=ae ”可以理解为：ad 在 abd 中， ae 在 ac

10、e 中，它们是一组对应边；所以只需要说明它们的夹角相等即可。关键还是在于：说明 “ 相等的边（角）所在 的三角形全等 ”解： 1=2（已知）1+cad= 2+cad （等式性质）即： bad= cae 在 abd 与 ace 中，ab=ac （已知）bad= cae （已求）ad=ae abd ace （sas）bd=ce （全等三角形的对应边相等）变形 1：如图 14，已知 bac= dae ， 1=2， bd=ce ，请说明 abd ace. 吗？为什么？分析 ：例三是两组边相等，放入一组三角形中，利用sas 说明全等，此题是两组角相等，那么该如何做呢? 2 1 adcbe图 14 2 a

11、cbed1 图 13 1 2 bcaed精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载变形 2：过点 a 分别作两个大小不一样的等边三角形，连接bd，ce，请说明它们相等。分析 ：此题实际上是例三的变形，只不过将等腰三角形换成了等边三角形，只要你根据所求问题，把bd 看成在 abd 的一边， ce 看成 ace 的一边 ，自然就得到了证明的方向。解： abc 与 ade 是等边三角形， ab=ac ， ad=ae bac= dae=60 bac+ cad= dae+ cad （等

12、式性质）即：bad= cae 变形 3：如图 1618，还是刚才的条件，把右侧小等边三角形的位置稍加变化，连接bd，ce，请说明它们相等这里仅以图17 进行说明解：abc 与 ade 是等边三角形， ab=ac ， ad=ae bac= dae=60 baccad= daecad 【仅这步有差别】即： bad= bad= cae 在 abd 与 ace 中，ab=ac （已知）bad= cae （已求）ad=ae abd ace （sas）bd=ce （全等三角形的对应边相等）图 16，图 18 的类型，请同学们自己去完成dcbae图 15 dcbae图 18 接下来的过程与例三完全一致，不予

13、描述！dcbaedcbaedcbaedcbae图 16 dcbae图 17 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载变形 4：如图，四边形abcd 、defg 都是正方形，连接ae、cg，ae 与 cg 相交于点m，cg 与 ad 相交于点 n求证：cgae；分析 ：和上面相比，只不过等边三角形换成正方形，60换成直角了，思路一样例六：如图， abc 中， c=90 ，ab=2ac ，m 是 ab 的中点，点n 在 bc 上， mn ab. 求证： an 平分 bac. 分析 ：要说明 an 平分 bac ，必须说明两角相等，可以说明amn can ，