探究课本习题拓展数学思维

1、    探究课本习题，拓展数学思维    杨爱云摘 要：现阶段，高中学生花费了大量的时间来完成各科教辅资料，他们盲目追求课外资料而忽略了对课本的研读与课后习题的钻研。对此，教师必须引导学生认真研读每年的高考考试大纲，了解高考试卷的出题办法，让学生认识到万变不离其宗课本，只有在平时的学习中更多地关注课本和研究课后习题，才能在高考的战场上立于不败之地。关键词：直线;方程;数形结合中图分类号：g63     文献标识码：a     文章编号：1673-9132（2017）05-0078-02doi：10.16657/ki

2、.issn1673-9132.2017.05.048人教版普通高中课程标准实验教科书·数学（必修2）中有一道习题：一条光线从点p（6，4）射出，与x相交于点q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线的方程。对于此题，很多学生看后，不以为然，有的甚至不屑动手，因为总觉得用自己的解法能很快得出答案。见此情形，我提问学生有哪些不同的解法。生1：采用点斜式。解法1：如图1，由p、q两点的坐标可知入射光线的斜率，再由几何关系知反射光线的斜率k反=-1，再根据点斜式的方程得入射光线与反射光线的方程分别为：l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。教师：这位同学的解法很好！用到了最常规的做法。

3、请大家再思考一下，还可以用其他的方法来解决吗？通过这样一问，学生开始画图，互相讨论，构思自己的解法。生2：采用点关于法线对称和两点式。解法2：如图1，由几何关系知p（6，4）关于法线x=2的对称点p'（-2，4），则由两点式的方程得出入射光线与反射光线的方程分别为：l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。生3：采用点关于x轴对称和两点式。解法3：如图1： 由几何关系知p关于x轴的对称点p'（6，-4），则由两点式的方程得出入射光线与反射光线的方程分别为：l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。生4：采用光的反射原理和点斜式。解法4：如图1，由p、q两点的坐标可知入射光线的斜

4、率，则入射光线的倾斜角为45°，入射角为45°，反射角为45°，反射光线的倾斜角为135°，则反射光线的斜率。再根据点斜式方程得入射光线与反射光线的方程分别为：l：x-y-2=0;l反：x+y-2=0。教师：大家的方法都很好！但是光线能反射一次，就可以进行第二次反射，根据你们给出的多种解法，我对题目进行适当的改编，想让其发挥更好的作用。变式：一条光线从点p（6，4）射出，与x相交于点q（3，0），经x轴第一次反射后射向y轴，再由y轴进行第二次反射，求入射光线、第一次反射光线l2和第二次反射光线l3的方程。给出题目后，学生的表现大不一样，个个都抢着要说自己

5、的想法，我就随机叫起了几名学生来回答。生5：求l1的方程时可用两点式。解法：如图2，入射光线l1经过点p（6，4）和q（3，0），所以利用两点式的方程得l1的方程为4x-3y-4=0。生6：求l2的方程时可用截距式。 解法：如图2，由几何关系知，反射光线l2经过点q（3，0）和p（6，4）关于直线x=3的对称点m（0，4），所以利用截距式的方程得l2的方程为，化为一般式为4x+3y-12=0。生7：求l3的方程时可用斜截式。解法：如图2，点q（3，0）关于x轴对称点q'（-3，0），则 l3的斜率，则l3可利用直线的斜截式方程得，化为一般式为4x-3y+4=0。教师：这几名同学的解法很

6、好，通过解决这个问题，将直线方程的几种形式都呈现了出来。另外，在推广应用中，要拓展学生数学思维的活度。题根：已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点，求点 a（5，0）到 l的距离的最大值。生8：（代数法）由解的交点p（2，1），过p（2，1）任意作直线垂直于l，设d为a到l的距离，则（当是等号成立），所以。生9：（几何法）如图3，以ap为直径作圆，过p（2，1）的直线与圆交于b，连接 ab，由几何关系知ab就是点a（5，0）到 l的距离，当直线l转动使得弦 ab与 ap重合时，点a到直线 l的距离最大。教师：很好的几何方法，数形结合，应用很完美！本节课通过探究一道课本中的习题，使学生的探