第八节多元函数的极值

1、第七章第七章 多元函数微分学多元函数微分学第八节第八节 多元函数的极值多元函数的极值 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；二元函数极值的定义二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取

2、得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .一、多元函数的极值(1)(1)(2)(2)(3)(3)例例1 1 函数函数2243yxz处有极小值处有极小值在在)0 , 0(例例函数函数处有极大值处有极大值在在)0 , 0(22yxz处有极大值处有极大值在在)0 , 0(例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 回忆：一元函数极值的必要条件回忆：一元函数极值的必要条件费马定理费马定理定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(0

3、0yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 y

4、xfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxp具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxp有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判

5、定一个驻点是否为极值点？定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，注意：注意：又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 ayxfxx ),(00， byxfxy ),(00， cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 bac时具有极值，时具有极值， 当当0 a时有极大值，时有极大值， 当当0 a时有极小值；时有极小值；（2 2）02 bac时没有极值；时

6、没有极值；（3 3）02 bac时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论例例4 4求函数的极值求函数的极值333yxxyz解解033),(033),(22yyyxfxyyxfyx求得驻点求得驻点)0 , 0() 1 , 1 (，在点处在点处)0 , 0(06)0 , 0()0,0(xfaxx3)0 , 0(xyfb06) 0 , 0()0 , 0( yfcyy092 bac所以，在处函数没有极值所以，在处函数没有极值)0 , 0(在点处在点处) 1 , 1 (66) 1 , 1 ()1 , 1(xfaxx3) 1 , 1 (xyfb又又06 a所以

7、，在处函数有极大值且所以，在处函数有极大值且) 1 , 1 (1) 1 , 1 (f0272 bac66) 1 , 1 () 1 , 1 ( yfcyy将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( p,将将上上方方程程组组再再分分别别对对yx,求求偏偏导导数数,解解,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 函函数数在在p有有极极值值.将将)1, 1( p代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 a,所所以以2)1, 1(

8、fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 a,所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大值.第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 a、b、c.第三步第三步 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.但在但在 （0,0）点取得极小值）点取得极小值不存在不存在),(fx00 注：函数的极值点也可能是偏导数不存在的点注：函数的极值点也可能是偏导数不存在的点.例例32x)y,x(f 32y 不不存存在在),

9、(fy00 综上讨论可知，函数的极值点的存在范围综上讨论可知，函数的极值点的存在范围：驻点、偏导数不存在的点驻点、偏导数不存在的点二、有界闭区域上函数的最值对于该区域内任一点对于该区域内任一点)y,x(, 若恒有不等式若恒有不等式)y,x(f)y,x(f).00 1 则称则称 为函数在为函数在 d内的内的最大值最大值)y,x(f00最大值与最小值统称为最值最大值与最小值统称为最值.)y,x(fz 在平面区域在平面区域d内有定义内有定义,设函数设函数使函数取得最值的点使函数取得最值的点(x0,y0) 称为最值点称为最值点.d)y,x( p 00)y,x(f)y,x(f).00 2 则称则称 为函

10、数在为函数在 d内的内的最小值最小值)y,x(f00求最值的一般方法求最值的一般方法： 如何求连续函数如何求连续函数z=f(x,y)在闭区域在闭区域d上的最上的最大值、最小值呢？如果大值、最小值呢？如果f(x,y)在在d上可微，可先上可微，可先求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及求出函数在该区域内的一切驻点处的函数值及函数在区域边界上的最大值与最小值函数在区域边界上的最大值与最小值.在这些函在这些函数值中的最大的就是函数在数值中的最大的就是函数在d上的最大值，最上的最大值，最小的就是函数在小的就是函数在d上的最小值上的最小值.解解先先求求函函数数在在d内内的的驻驻点点，xyo6 yxdd如

11、图如图,解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域d内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在d边边界界上上的的最最值值， 在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxd, 0)1()(2)1

12、(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx 在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在实际应用中，若根据问题的性质可知函数在区域在区域 d 内部取到最值，而函数在内部取到最值，而函数在 d 内又只有内又只有唯一的驻点唯一的驻点，则可判定函数在该驻点即取得最值，则可判定函数在该驻点即取得最值.例例9 某厂要用铁板做成一个体积为

13、某厂要用铁板做成一个体积为2的有盖长方的有盖长方体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能体水箱，问长宽高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？使用料最省？此水箱的用料面积此水箱的用料面积0)y0,(x )22(2)22(2yxxyxyxxyyxya解解：设水箱的长为：设水箱的长为x,x,宽为宽为y,y,则其高为则其高为xy2332,2 yx332,2 yx时，时，a a取得最小值，取得最小值，根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一根据题意可知，水箱所用材料的面积的最小值一定存在，并在开区域定存在，并在开区域d(x0,y0)d(x0,y0)内取得内取得. .又函数又函数在在d d内只有唯一的驻点，

14、因此可断定当内只有唯一的驻点，因此可断定当就是说，当水箱的长、宽、高均为就是说，当水箱的长、宽、高均为3332,2,2时，时，水箱所用的材料最省。水箱所用的材料最省。0)2(20)2(222yxaxyayx实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxulnl

15、n),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxulnln),( 200108 yx二、条件极值、拉格朗日乘数法1.条件极值条件极值条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值无条件极值无条件极值： 对自变量除有定义域限制外，对自变量除有定义域限制外，无任何其它条件限制的极值无任何其它条件限制的极值求求),(:21nxxxfu “目标函数“目标函数0),(:21 nkxxx 在约束条件组在约束条件组), 2, 1(nmmk 如如 k=1, 求求 在在约约束束条条件件“),(yxfu ”下下的的极极值值。0),( yx 如如 k=2, 求

16、求 在在约约束束条条件件“),(zyxfu 下的极值。下的极值。” 0),(0),(zyxhzyxg下的极值。下的极值。”条件极值在数学上的提法条件极值在数学上的提法l 从理论上讲，条件极值都可化为无条件极值从理论上讲，条件极值都可化为无条件极值 求解求解. 其其思路思路是，将其转化为无条件极值是，将其转化为无条件极值. 但但 是当条件为方程是当条件为方程(组组)给的隐函数时，转化有给的隐函数时，转化有 困难，从而产生了下述方法困难，从而产生了下述方法 lagrange乘乘 数法数法。 以下先分析以下先分析 lagrange 乘数法的原理，从乘数法的原理，从 而得出条件极值的必要条件而得出条件

17、极值的必要条件, 然后讲然后讲乘数法乘数法 的具体作法。的具体作法。2.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法的极值，的极值，条件条件处取得满足处取得满足在点在点设函数设函数0),(),(),(00 yxyxyxfu 则应有则应有0),(00 yx ).(0),(. 0),(),(),(),(0000 xyyyxyxyxyxfyxy 连连续续导导数数的的函函数数有有确确定定一一个个单单值值可可导导且且具具定定理理，方方程程则则由由隐隐函函数数连连续续的的一一阶阶偏偏导导数数，且且有有，的的某某邻邻域域函函数数设设在在 ：代代入入 ),(yxfu)(,),(xyxfyxfu 于是问题转化为求于是问题转化为

18、求 的无条件极值的无条件极值)(,(xyxfu 则则条件，条件，由一元函数极值的必要由一元函数极值的必要0),(),(000000 xyxxdxdyyxfyxfdxdu0)(,(),( xyxyx 而由方程而由方程两边求导，得两边求导，得0),(),(00000 xyxdxdyyxyx ),(),(00000yxyxdxdyyxx 即即),(),(),(),(00000000yxyxfyxyxfyyxx 代代入入0),(),(00000 xyxdxdyyxfyxf得得0),(),(),(),(00000000 yxyxyxfyxfyxyx 于是得到于是得到在在约约束束条条件件),(yxfu 0

19、),( yx 下的极值的必要条件下的极值的必要条件0),(),(0000 yxyxfxx 0),(00 yx 0),(),(0000 yxyxfyy ),(),(),(),(00000000yxyxfyxyxfyyxx令令0),(),(0000 yxyxfxx 0),(00 yx 此结果相当于一个三元函数：此结果相当于一个三元函数：),(),(),(yxyxfyxf 取得无条件极值的必要条件取得无条件极值的必要条件,函数，函数，f 称为称为lagrangelagrange 称为称为 乘数，乘数，0),(),(0000 yxyxfyy 称为称为lagrange 乘数法乘数法.而把而把 作为取条件

20、极值的必要条件的方法作为取条件极值的必要条件的方法拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxf ，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxf , 120020323322zyxyxfyzxfzyxfzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(

21、，.691224623max u则则故最大值为故最大值为解解设设),(000zyxp为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxf,则则202|axfpx ， 202|byfpy ， 202|czfpz 过过),(000zyxp的切平面方程为的切平面方程为 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661zyxcbaxyzv ,在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 v 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxg 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxgggzyx当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时