2022年八年级数学勾股定理及其常考题型

1、八年级数学勾股定理及其常考题型勾股定理也称毕达哥拉斯定理，文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.结合直角三角形图形，用字母可表示为：222abc，如下图， a、b 为直角边， c为斜边。勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美地体现了“数形统一”的数学思想，将初中几何与代数很好的联系起来。因此，学好勾股定理这一知识点对于我们解决数学问题有很大的帮助，下面我们具体来看看初中数学有关勾股定理的一些常见题型及其解答方法。一、边的计算1、在 rt abc中， c90 ，若 a=6，b=8，则 c= 解：因为222abc，所以 c=10。评论：直接由勾股定理所以得2、在 rt ab

2、c中， c90 ，ac3，bc4，则斜边上的高cd的长为（）a125b552c52d5 7解：由勾股定理知：ab=5，又因为sabc =21acbc=21abcd 即：2134=215 cd,所以 cd=125评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出斜边上的高。3、若一直角三角形两边的长为12 和 5，则第三边的长为（）a13 b13 或119c13 或 15 d15解：当 12 对应的边为斜边时，此时由勾股定理得第三边为119当 12 对应的边是直角边时，则第三边为斜边，由222abc得第三边的长为13评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。4rt一直角边的长为11

3、，另两边为自然数，则rt的周长为（）a、121b、120c、132d、不能确定解：设该 rt的三边分别为a、b、c，a、b 为直角边， c 为斜边由勾股定理知：222abc，即： 112b2 = c2 所以（ b+c） （cb）=121 因为 b、c 都为自然数，所以b+c，c b，都为正自然数。又因为 121 只有 1、11、121 这三个正整数因式，所以b+c=121，c b=1。所以 b=60，c=61 评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。二、直角三角形的判定5、在abc中中， a、b、c 为a、b、c的对边，给出如下的命题：若

4、a： b： c1： 2： 3， 则 abc为直角三角形；若ac一b，则 abc为直角三角形；若45ca ，35ba，则 abc为直角三角形；若 a：b：c5：3：4，则 abc为直角三角形；若（ ac） （ac） b2，则精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -dabcdabc abc为直角三角形；若(a c)22acb2，则 abc为直角三角形

5、；若 12, 9,b 15, 则 abc为直角三角形。上面的命题中正确的有（）a6 b7 c 8 d9解：对，因为三角形内角和为180 度，所以 a+b+c180，因为 a： b： c 1：2：3，所以 c=18021所以 c=90则 abc为直角三角形，正确。对，因为a+b+c 180，而 a c一 b ，所以 c一 b+b+ c180所以 c=90，即 abc为直角三角形，正确。对，设a=5k，因为45ca，35ba，则 c=4k，c2b2 = a2 所以为 abc直角三角形 .正确，同理易知正确，对，因为（a c） （ac）b2 所以a2 c2 = b2，所以 abc为直角三角形正确，对

6、，因为(a c)22acb2，所以 a2 +c2+2ac=2acb2 所以 a2 +c2=b2 正确，对，因为12, 9, 15，所以 ab2 +ac2=bc2所以正确。答案选b 评论：直角三角形的评定可以从角和边两方面来进行，从角来判定需结合三角形内角和定理，从边来判定需结合勾股定理。一般是验证最大边的平方是否等于两小边的平方和。三、翻折6、矩形纸片abcd中， ad=4cm，ab=10cm，按如图18-1 方式折叠，使点 b 与点 d重合，折痕为ef ，则 de=_cm解：设 de 为 x，因为 de 是由 be翻折过来的，所以 de=be=x, 则 ae=10 x，在rtabd中：ad2

7、 +ae2=de2 所以： 42 +（10 x）2= x 2 解得 x=5.8 cm评论：翻折和旋转是初中数学常见的题型，解答这类题的关键在于把握翻折和旋转前后的联系，主要是看清哪些量没变，抓住这些不变的量，以此为突破口便可以顺利解决。本题的不变量是de和 be的长度，抓住这个关系，再通过勾股定理建立等式，在直角三角形中便可解出边长的长度。四、爬行7如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在圆柱下底面的a点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与a点相对的b点处的食物，需要爬行的最短路程是cm （取 3）解： 蚂蚁要沿圆柱体侧面爬，将圆柱体的侧面沿蚂蚁所在的垂直于底面的直线切开，展开后

8、是一个长为8 ，宽为 16 的长方形， 蚂蚁所在的是一个顶点，而相对的点则是对面那条长为8的边的中点。 所以根据勾股定理，两点之间的距离为d，d2=(8)2 +(16)2从而解出d。评论：爬行问题是勾股定理的一大重要应用，关键在于将立体图形转化为平面图形，从而简单便捷地找出最短距离，然后再利用勾股定理求出边长。8已知长方体的长为2cm、宽为 1cm、高为 4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从a 点爬到 b 点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?解：将长方体的侧面b bcc展开到与长方体的正面ac c a在同一平面内，得到长方形 ab b a, 长 ab=3 cm,宽 a a=4，蚂蚁沿长方体

9、的表面从a 点爬到 b 点最短距离即为长方形ab b a的对角线a b 长。由勾股定理易知a b =5.五、图形变换9如图 2（ 1） ，是小红用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a 和 b，斜边长为c，如图 2（ 2）是以 c 为直角边的等腰直角三角形，她想将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，可以吗？（ 1）如果能，请你画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？bcacedf图 18-1精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - -

10、- - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -（ 2）用这个图形证明勾股定理（ 3）假设图2（1）中的图有若干个，你能运用（1）中所示的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图 （无需证明）23， （1）如图是直角梯形.（ 2）因为s梯形12(a+b)(a+b)12(a+b)2，s 212ab+12c2ab+12c2，所以12(a+b)2ab+12c2，即 a2+b2c2.（3）如图所示 .评论：这是一道图形换的题，具体涉及到图形的拼凑，解决勾股定理这方面的试题关键是要对课本勾股定理证明涉及到的几种常见的图形以及

11、证明过程和原理要熟练掌握，再利用适当的迁移便可以解答了。六、实际应用10，某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5 所示， acb90 ，ac 80 米， bc 60 米，若线段cd是一条小渠，且d 点在边 ab 上，已知水渠的造价为10 元/米，问 d 点在距 a 点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？解：当cd 为斜边上的高时，cd 最短，从而水渠造价最低.因为 cd abac bc，所以cd48 米，所以ad64 米.所以， d 点在距 a 点 64 米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480 元.11 有一只小鸟在一棵高4m 的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m

12、， 高 20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s 的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？解：如图所示，根据题意，得ac=20-4=16，bc=12根据勾股定理，得ab=20则小鸟所用的时间是204=5 （s） ac bcabg22228048accd图 5精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -评论：解答勾股定理的实际应用题，首先要审清题意，然后找出试题情景中涉及到的直角三角形，再结合勾股定理便可以求出了。在该题中，我们关键是要根据题意画出勾股定理涉及到的直角三角形图形，只需