高数上31中值定理课件

1、高数上31中值定理 人的思维可以分为：逻辑思维、人的思维可以分为：逻辑思维、形象思维和灵感思维。迄今为止，形象思维和灵感思维。迄今为止，对逻辑思维的研究比较充分；对形对逻辑思维的研究比较充分；对形象思维的研究取得了一定成果；而象思维的研究取得了一定成果；而对灵感思维的研究几乎是零。对灵感思维的研究几乎是零。高数上31中值定理1、引理、引理 若函数若函数 y = f ( x ) 在区间在区间 I 内的内的 x0 处可导且取得处可导且取得最值，则最值，则 f ( x0 ) = 0 证明思路证明思路x0处可导处可导f ( x0 ) = f ( x0 + )f ( x0 )最大最大 f ( x0 )

2、= 000 )x( f00 )x( f证：证：因为，区间因为，区间 I 内内 f ( x0 ) 最大最大 00000)x(f)xx(fxx 时时时时00000 x)x(f)xx(flim)x( fx 0 x 00000 x)x(f)xx(flim)x( fx 0 x 第三章第三章 中值定理中值定理 导数应用导数应用3.1 3.1 微分中值定理微分中值定理高数上31中值定理)x( f)x( f)x(fx 000可可导导，必必有有点点而而在在00 )x( f故故直观上看，就是函数曲线在最高处有水平切线直观上看，就是函数曲线在最高处有水平切线 函数在区间内取得最小值的情况，函数在区间内取得最小值的情

3、况，也可以类似证明。也可以类似证明。2 2、罗尔定理、罗尔定理条件：条件： 函数函数 f ( x ) 满足满足 1、在闭区间、在闭区间 a , b 上连续；上连续； 2、在开区间、在开区间 ( a , b ) 内可导；内可导； 3、f ( a ) = f ( b ) 结论：结论：在在 ( a , b ) 内内至少存在一点至少存在一点 ，使得，使得 f ( ) = 0 注意：注意：条件缺一不可；条件缺一不可； 证明的关键是：证明的关键是： 存在，并且存在，并且是区间的是区间的内点内点； 罗尔定理的条件充分而非必要。罗尔定理的条件充分而非必要。a ab b。高数上31中值定理证明思路证明思路M =

4、 m f ( x ) = C ( a , b ) 内任意点可为内任意点可为 mM最最小小值值所所以以必必然然取取得得最最大大值值函函数数在在闭闭区区间间上上连连续续，M m M , m 不可能都在端点取得，不可能都在端点取得，设设 M 由区间内某点取得由区间内某点取得f ( a ) = f ( b )由引理可得结论由引理可得结论存在存在)x( f仅供参考，仅供参考，不作要求不作要求高数上31中值定理 这类问题容易发生逻辑性这类问题容易发生逻辑性错误：错误：“由由( (定理定理) )，得，得( (结结论论) )” ” 应该验证：应该验证：1 1、满足定理的条件；、满足定理的条件；2 2、（不依赖

5、定理）可以独、（不依赖定理）可以独立得出结论。立得出结论。3 3、关于、关于“对函数验证对函数验证定理定理”验证：验证： 上上可可导导，从从而而连连续续。，在在闭闭区区间间函函数数上上成成立立，在在闭闭区区间间3333332 yx y133 )(y)(y又又：所以，函数在给定区间上满足罗尔定理的条件所以，函数在给定区间上满足罗尔定理的条件是是正正确确的的。在在区区间间故故：罗罗尔尔定定理理对对函函数数罗罗尔尔定定理理的的结结论论成成立立。使使和和即即：确确有有区区间间的的内内点点和和得得令令：33-1300113313310333112,xxyy,y,xx),(x),(xxyxx上上验验证证罗

6、罗尔尔定定理理，在在闭闭区区间间对对函函数数33133xxy例例1 1高数上31中值定理根据罗尔定理，在区间（根据罗尔定理，在区间（1，2）（）（2，3）内，各至少有一）内，各至少有一点点 1， 2 使使 f ( 1 ) = 0 和和 f ( 2 ) = 0 4 4、利用罗尔定理讨论某些方程根的情况、利用罗尔定理讨论某些方程根的情况 罗尔定理表明：如果闭区间连续，开区间可导的函数罗尔定理表明：如果闭区间连续，开区间可导的函数 y = f ( x )有两个点有两个点 x1 , x2,其函数值相等，其函数值相等，则，方程则，方程 f ( x ) = 0 在在 x1 , x2 之间必有至少一个实根。

7、之间必有至少一个实根。例例2 不求函数不求函数 f ( x ) = ( x 1 ) ( x 2 ) ( x 3 )的导数，的导数， 说明方程说明方程 f ( x ) = 0 有几个实根。有几个实根。解：解：函数函数 f ( x ) 在整个实数轴上连续、可导，在整个实数轴上连续、可导，且且 f ( 1 ) = f ( 2 ) = f ( 3 ) = 0 , 满足罗尔定理的条件，满足罗尔定理的条件，但是，但是，f ( x ) = 0 是二次方程，至多有两个实数根，是二次方程，至多有两个实数根，所以，所以，f ( x ) = 0 有且仅有两个实根有且仅有两个实根 x = 1 和和 x = 2高数上3

8、1中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 条件条件：1、函数、函数 f ( x ) 在在 a , b 上连续；上连续； 2、函数、函数 f ( x ) 在在 ( a , b ) 内可导。内可导。 结论：结论：在在 ( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点 ， 使使 f ( b ) f ( a ) = f ( ) ( b a ) 定定理理的的条条件件即即可可。符符合合罗罗尔尔只只需需验验证证把把方方括括号号内内的的函函数数设设为为上上式式可可以以看看作作于于结结论论中中的的表表达达式式，等等价价)x(),x(xab)a(f)b(f)x(fab)a(f)b(f)( fx 001

9、1、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理 分析：分析：高数上31中值定理2 2、拉格朗日中值定理的几何意义、拉格朗日中值定理的几何意义abx xy yO O 1 1 2 2AABBf ( b ) f ( a ) ab 高数上31中值定理3 3、拉格朗日中值公式的其它形式、拉格朗日中值公式的其它形式)(x)xx(f)x(f)xx(fx)(fyx)(f)x(f)xx(f10 或或或或内内部部区区间间自自然然，这这点点落落在在”加加上上不不到到一一个个“给给则则可可以以理理解解为为点点”可可以以理理解解为为“不不到到一一个个)xx,x(xxxx, 10注意：注意：函数的微分是增量的近似值，有公式函数的

10、微分是增量的近似值，有公式dx)x(fdyy 其中，其中，x 在区间的端点取值，在区间的端点取值，d x 则要很小。且则要很小。且 f ( x ) 不为零。不为零。x)(fy 而拉格朗日增量公式则是一个精确公式而拉格朗日增量公式则是一个精确公式也也可可以以等等于于零零。而而且且，就就行行。）很很小小，只只要要是是有有限限量量（即即：不不要要求求在在区区间间的的内内部部取取值值，其其中中，)( fdxx 因此，拉格朗日中值公式又叫做因此，拉格朗日中值公式又叫做有限增量公式有限增量公式 xxx xx 高数上31中值定理4 4、拉格朗日定理的重要推论（、拉格朗日定理的重要推论（P94P94推论）推论

11、） b,ax,CCxfxfb,ab,a为为常常数数）（则则内内上上函函数数连连续续，在在开开区区间间在在闭闭区区间间0)xx)( f)x(f)x(f)x,x(,b,ax,x12122121 使使由由拉拉格格朗朗日日定定理理，必必C)x(fx,x)x(f)x(f)( f)xx(x)x( f 的的任任意意性性由由即即：），（212121 0001)x( fC)x(f)b,a(b,a内内可可导导的的函函数数上上连连续续：闭闭区区间间推推论论证：证：C)x(g)x(fC)x(g)x(fC),x(g)x(fI:或或使使则则存存在在一一个个常常数数内内若若在在区区间间推推论论2另外，容易证明：另外，容易证

12、明：高数上31中值定理课本例课本例3 32arccotxarctanx ）内）内，证明，在（证明，在（arccotxarctanxxf）（设：设：证证：0111122xx)x(f,-x）有有（则则对对为为常常数数）（）上上恒恒有有，在在（由由拉拉格格朗朗日日定定理理的的推推论论CCxarccotxarctan22arccotarctan,x 0000有有：取取特特殊殊值值2arccotxarctanx ）内）内，故，在（故，在（高数上31中值定理利用中值定理可以证明某些不等式。利用中值定理可以证明某些不等式。x)xln(xxx 110时时，证证明明当当证：证：111110 xx又又因因为为 部

13、部条条件件，于于是是满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的全全上上，在在区区间间显显然然，设设：x)x(f).xln()x(f01 x)x)( f)(f)x(f 000 x)x( f,)(f1100由由于于x)xln( 111因因此此，上上式式可可以以写写作作x)xln(xx11 11)( f从从而而：有有关关。的的导导函函数数都都和和与与函函数数上上式式中中，不不等等式式左左端端的的x)xln(xx1111xxxx 11故故有有：高数上31中值定理利用中值定理证明不等式一般可以分两步：利用中值定理证明不等式一般可以分两步：1 1、选择适当的函数和区间，用中值定理得到含、选择适当的函数和区间，用

14、中值定理得到含 的等式，的等式，2 2、放大或缩小含、放大或缩小含 的式子，去掉含的式子，去掉含 的项的项补充例题：补充例题：babarcsinaarcsinba，求求证证不不等等式式：设设：11理理的的条条件件上上满满足足拉拉格格朗朗日日中中值值定定显显然然，它它在在令令：b,a,xarcsin)x(f211 abaarcsinbarcsinb,a使：使：于是：于是：1112 但，但，1abaarcsinbarcsinbaaarcsinbarcsin,ba有有以以两两边边取取绝绝对对值值，并并同同乘乘解：解：高数上31中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理条件：条件：内任一点均不为零。内任

15、一点均不为零。，在在、内可导；内可导；，在开区间在开区间、上连续；上连续；，在闭区间在闭区间、)ba()x( F)ba()x(F)x(fba)x(F)x(f321结论：结论：)( F)( f)a(F)b(F)a(f)b(f)ba( ，满满足足：内内至至少少有有一一点点，在在BBF(a)F(a)F(F( ) )F(b)F(b)f(a)f(a)f( f( ) )f(b)f(b)X XYYo oAAC C1 1、定理、定理2 2、几何意义：、几何意义：仅供参考，仅供参考，不作要求不作要求高数上31中值定理3、注意：、注意： （1）定理中的）定理中的 f ( ) ，F ( ) 是在同一点是在同一点 处

16、的处的导数值，所以下面的证明是错误的：导数值，所以下面的证明是错误的： 论论。两两式式相相除除得得到到定定理理的的结结使使故故条条件件都都满满足足拉拉格格朗朗日日定定理理的的、由由定定理理的的条条件件可可知知)ab)( F)a(F)b(F)ab)( f)a(f)b(fb,a)x(F)x(f 因为不能保证，两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点因为不能保证，两个函数由拉格朗日定理得到的是同一个点 . .（2 2）若）若F ( x ) = x ，则成为柯西定理的特殊情况，与拉格朗日定则成为柯西定理的特殊情况，与拉格朗日定理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。柯西定理理的形式相同。所以拉格朗日定理是柯西定理的特例。柯西定理则是拉格朗日定理的推广则是拉格朗日定理的推广 。（3 3）柯西定理的一个重要应用就是洛必达法则。）柯西定理的一个重要应用就是洛必达法则。仅供参考，仅供参考， 不作要求不作要求高数上31中值定理证：证：)ab)( F)a(F)b(F 由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理：00)a(F)b(F)x( F)ba(x已已知知，对对)a(F)x(F)a(F)b(F)a(f)b(f)a(f)