大学微积分的教程

1、1一、函数的极值函数的极值第四节函数的极值与 最值的应用 第四四章 三、经济应用举例经济应用举例二、函数的最值函数的最值2一、函数的极值及其求法一、函数的极值及其求法xyox2x3x5x4x1aby = f (x)x0 x03极极 值值 的的 定定 义义设函数设函数 y = f (x) 在在 x0 的某一邻域内有定义的某一邻域内有定义, 定义定义如果对任意的如果对任意的 x x0, 恒有恒有则称则称 f (x0)为为 f (x) 的一个的一个极大极大(小小)值值.f (x) f (x0) x0 x0函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值, 函数取得极值函数取得极值的点称为

2、的点称为极值点极值点.4例例 y = sin x, x 0, 2 sin x 在在 取极大值取极大值 23 2sin x 在在 取极小值取极小值注意注意: 0 和和 2 不是不是 sin x 的极值点的极值点5极值存在的必要条件极值存在的必要条件x0 x0定理定理设函数设函数 y = f (x) 在极值点在极值点 x0 可导可导, 则则f (x0) = 0.注注1 1: 如果如果 f (x) = 0, 那么称那么称 x0 为为 f (x) 的的驻点驻点.6极值存在的必要条件极值存在的必要条件定理定理设函数设函数 y = f (x) 在极值点在极值点 x0 可导可导, 则则f (x0) = 0.

3、注注1 1: 如果如果 f (x) = 0, 那么称那么称 x0 为为 f (x) 的的驻点驻点.注注2 2: 驻点不一定是极值点驻点不一定是极值点.x yo y = | x |x yo y = x3x yo y = x2注注3 3: 不可导点也可能是极值点不可导点也可能是极值点.7极值可疑点极值可疑点不可导点不可导点驻点驻点?两个充分条件两个充分条件8极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件定理定理设函数设函数 x0 是是 f (x) 的极值可疑点的极值可疑点, f (x) 在在 x0 的某一的某一邻域内邻域内(x0d d, x0+d d) 连续且可导连续且可导 (在在 x0 可以不可导

4、可以不可导):(1) 当当 x (x0d d, x0) 时时, f (x) 0, 当当 x (x0, x0+d d) 时时, f (x) 0, 则则 x0 是是 f (x) 的的极大值极大值点点. (2) 当当 x (x0d d, x0) 时时, f (x) 0, 则则 x0 是是 f (x) 的的极小值极小值点点. (3) 在上述两个区间在上述两个区间, f (x) 同号同号, 则则 x0 不是极值点不是极值点.+x0+x0 x0+x0一阶导数一阶导数变号法变号法9例例1 1解解f (x) = 3 x2 6 x 9= 3 (x + 1)( x 3)求函数求函数 f (x) = x3 3 x2

5、 9 x + 5 的极值的极值.f (x)x1 = 1, x2 = 3xf (x)13(, 1)(1, 3)(3, +)令令 f (x) = 0 得得:+0+0极大极大极小极小极大值极大值 f (1) = 10极小值极小值 f (3) = 2210例例1 1求函数求函数 f (x) = x3 3 x2 9 x + 5 的极值的极值.mm图形如下图形如下:11例例2 2解解求函数求函数 的极值的极值.当当 x = 2 时时, f (x) 不存在不存在, 但但 f (x) 在在 r 上连续上连续.当当 x 0当当 x 2 时时, f (x) 0, 则则 f (x) 在在 x0 取极取极小小值值;+

6、x0+x0(2) 如果如果 f (x0) 0, 则则 f (x) 在在 x0 取极取极大大值值.称为称为“二阶导数非零法二阶导数非零法”1. 记忆记忆特例法特例法: y = x2, y= x2 说明：说明：2. 只适用于驻点只适用于驻点, 不能用于判断不可导点不能用于判断不可导点 3. f (x0) = 0 时不可使用时不可使用. x yo y = x313例例3 3求函数求函数 f (x) = x3 + 3 x2 24 x 20 的极值的极值.解解f (x) = 3 x2 + 6 x24f (x) = 6 x + 6= 3 (x + 4)( x 2)令令 f (x) = 0 得得: 极大值极

7、大值 f (4) = 60= 48 f (4) =x1 = 4, x2 = 218 0 极小值极小值 f (2)14mm例例3 3求函数求函数 f (x) = x3 + 3 x2 24 x 20 的极值的极值.图形如下图形如下:151. 确定函数的定义域；确定函数的定义域； 4. 用极值的第一或第二充分条件判定用极值的第一或第二充分条件判定. . 注意注意: : 第二充分条件只能判定驻点的情形第二充分条件只能判定驻点的情形. . 求极值的步骤求极值的步骤:2. 求导数求导数 f (x);3. 求定义域内的极值可疑点求定义域内的极值可疑点 (即驻点和一阶即驻点和一阶 不可导点不可导点)； 16二

8、、函数的最值及其求法二、函数的最值及其求法oxyoxybaoxyabab极值是极值是局部局部的的, 而最值是而最值是全局全局的的. 若函数若函数 f (x) 在在 a, b 上连续上连续, 则函数则函数 f (x) 在在 a, b 上上存在存在最大值最大值和和最小值最小值. 17求闭区间求闭区间 a, b 上上最值的步骤最值的步骤:3. 最大值最大值 m = maxf (x1), , f (xk), f (a), f (b) 最小值最小值 m = minf (x1), , f (xk), f (a), f (b). 1. 求出定义域内所有的极值可疑点求出定义域内所有的极值可疑点 (驻点和一阶驻

9、点和一阶 不可导点不可导点) x1, x2, , xk, 并算出相应函数值并算出相应函数值 f (xk);2. 计算计算 f (a), f (b)； 18例例4 4求函数求函数 f (x) = 在在 1, 0.5 上的最值上的最值.解解x = 0 是是 f (x) 的不可导点的不可导点.令令 f (x) = 0 得得: 最大值是最大值是 0,x1 =25f (0) = 0f (1) = 2最小值是最小值是 219例例5 5求函数求函数 y = 在在 上的最值上的最值.解解 3,)当当 时时,y 0又又 y 在在 上是连续的上是连续的 y 在在 上单调递增上单调递增 最小值是最小值是 y 没有最

10、大值没有最大值20 更进一步更进一步, 若若实际问题实际问题中有最大中有最大( (小小) )值值, ,且有且有唯一驻点唯一驻点, ,则不必判断极大还是极小则不必判断极大还是极小, ,立即可以断立即可以断定该驻点即为最大定该驻点即为最大( (小小) )值点值点. . 说明说明: :1. 如果如果 f (x) 在在 a, b 上单调上单调, 则它的最值必定在则它的最值必定在端点端点 a 和和 b 处取得处取得;2. 如果如果 f (x) 在在 a, b 上连续上连续, 在在 (a, b) 内可导内可导, 且有且有唯一唯一驻点驻点 x0为极值点为极值点, 则则 f (x0) 必定是最大必定是最大值值

11、或最小值或最小值;21例例6 6当当 0 x 1, p 1 时时, 证明证明证证令令 f (x) = x p + (1x) p 结论成立结论成立. f (0) = f (1) = 1 f (x) = p x p1 p(1x) p1令令 f (x) = 0,得驻点得驻点 x = 1/222例例7 7解解 将边长为将边长为 a 的正方形铁皮的正方形铁皮, 四角各截去四角各截去相同的小正方相同的小正方形形, ,折成一个无盖方盒折成一个无盖方盒, ,问如何问如何截截, ,使方盒的容积最大？为多少？使方盒的容积最大？为多少？ axa-2x 设小正方形的边长为设小正方形的边长为 x， 则方盒的容积为则方盒

12、的容积为 23例例7 7解解 将边长为将边长为 a 的正方形铁皮的正方形铁皮, 四角各截去四角各截去相同的小正方相同的小正方形形, ,折成一个无盖方盒折成一个无盖方盒, ,问如何问如何截截, ,使方盒的容积最大？为多少？使方盒的容积最大？为多少？ 设小正方形的边长为设小正方形的边长为 x， 则方盒的容积为则方盒的容积为 a-2x 求导得求导得:xv = x(a2x)2,v = (a 2 x)(a 6 x) 唯一驻点唯一驻点 x = a / 624三、经济应用举例三、经济应用举例1.1.平均成本平均成本( (ac)ac)最低问题最低问题 例例8 8 设成本函数为设成本函数为 ,200800)(2

13、xxc ,200800)(xxxxcc 20018002 - - xc则平均成本为则平均成本为得唯一驻点得唯一驻点 x = 400 ,0令令，因因为为016003 xc此时平均成本和边际成本均为此时平均成本和边际成本均为4.4. 一般一般, ,当平均成本最低时当平均成本最低时, ,平均成本与边际成本相等平均成本与边际成本相等. . 所以当所以当 x = 400 时时, 平均成本最低平均成本最低. .252.2.最大利润问题最大利润问题 例例9 9利润函数为利润函数为 解解故当产量故当产量 x = 7 时时, 利润最大利润最大. 此时价格此时价格 p = 44.设某产品的需求量设某产品的需求量

14、x 是价格是价格 p (元元) 的函数的函数:每天生产该产品的成本函数为每天生产该产品的成本函数为 c(x) = 120 + 2 x + x2问工厂每天产量为多少时问工厂每天产量为多少时, 利润最大利润最大? 此时价格多少此时价格多少?令令 l (x) = 70 10 x = 0, 而而 l (x) = 10 0 得唯一驻点得唯一驻点 x = 726 某厂生产某种商品某厂生产某种商品, ,其年销售量为其年销售量为100100万件万件, ,每批生产需增加准备费每批生产需增加准备费10001000元元, ,而每件商品的而每件商品的库存费为库存费为0.050.05元元. .如果年销售率是均匀的如果年销售率是均匀的( (即商即商品库存数为批量的一半品库存数为批量的一半),),问应分几批生产问应分几批生产, ,能能使生产准备费和库存费之和最小？