预测控制笔记修正版

1、目录第一章 概论- 3 -1.1 预测控制的产生和发展- 3 -1.1.1产生背景- 3 -1.1.2标志性成果- 3 -1.1.3 主要内容和应用领域- 4 -1.2 基本特征- 4 -1.2.1 预测模型- 4 -1.2.2 滚动优化- 4 -1.2.3 反馈校正- 4 -1.3 分析和设计方法- 5 -1.3.1 系统分析- 5 -1.3.2 系统设计- 7 -1.3.3 理论研究- 8 -l 作业：完成一篇参数模型与非参数模型互换方法的报告- 8 -1.4 预测控制思想- 8 -其他有预测原理的控制器- 8 -1.4.1 smith预估控制器简介- 8 -1.4.2 smith预估控制

2、器的IMC结构- 9 -第二章 预测控制的基本原理- 10 -2.1 预测模型- 10 -2.2 滚动优化- 10 -2.3 反馈校正- 11 -第三章 动态矩阵控制（DMC）- 12 -3.1 动态矩阵控制原理- 12 -3.1.1 预测模型- 12 -3.1.2 控制器设计- 14 -3.1.3 控制作用的实现及滚动优化- 16 -3.1.4 反馈校正- 16 -3.1.5 初始预测值的确定- 17 -3.2 动态矩阵控制算法（DMC）的计算机实现- 18 -3.2.1 离线初始化- 18 -3.2.2 在线实时控制- 18 -3.3 动态矩阵控制系统分析- 19 -3.3.1 DMC的I

3、MC结构及分析- 19 -3.3.2 DMC的状态空间描述及分析- 22 -第四章 模型算法控制（MAC）- 24 -4.1 基本组成和思想- 24 -4.2 单步MAC- 25 -4.2.1 输出预测- 25 -4.2.2 反馈校正- 26 -4.2.3 控制器设计- 26 -4.2.4 参考轨迹- 27 -4.2.5 关于控制量的约束问题- 27 -4.3 纯时延系统的MAC- 28 -4.4 多步MAC- 29 -4.5 MAC分析IMC结构- 31 -第五章 广义预测控制（GPC）- 33 -5.1 预备知识（复习）- 33 -5.1.1 时间序列模型- 33 -5.1.2 极小方差控

4、制- 34 -5.2 GPC基本算法- 35 -5.2.1 算法概括- 35 -5.2.2 Diophantine方程递推求解- 38 -5.2.3 模型参数辨识 广义预测自适应控制算法- 40 -5.3 GPC的扩展- 41 -5.4 GPC的分析状态空间法- 42 -第六章 预测控制系统的参数设计- 42 -6.1 采样周期T与模型长度N- 42 -6.2 优化时域P和误差权矩阵Q- 43 -6.3 控制时域M- 43 -6.4 控制权矩阵R- 43 -6.5 校正参数- 43 -6.6 柔化曲线系数（）- 43 -6.7 具有纯滞后的系统- 43 -第七章 预测控制的扩展和推广- 44

5、-7.1 具有前馈-反馈结构的预测控制- 44 -7.1.1 可控输入和不可控输入- 44 -7.1.2 带前馈补偿的DMC算法- 44 -7.1.3 不可控输入v及其动态特性的获取- 45 -7.2 串级预测控制- 45 -7.2.1 问题的提出- 45 -7.2.2 分层结构- 45 -7.3 非线性系统的预测控制- 47 -第八章 多变量预测控制- 47 -8.1 基本描述- 47 -8.1.1 预测模型- 47 -8.1.2 滚动优化- 48 -8.1.3 反馈校正- 49 -8.2 与单变量的比较若干特点- 49 -8.3 带约束的预测控制- 50 -第九章 国内外优秀预测控制软件介

6、绍- 51 -9.1 发展过程- 51 -9.2 主要软件简介- 52 -第一章 概论1.1 预测控制的产生和发展1.1.1产生背景以状态空间法分析和设计为基础的现代控制理论在60年代成熟，在航天航空领域取得成果，总结起来是基于精确模型，实现最优性能指标。现代控制理论在工业过程控制应用中遇到困难：工业过程涉及多输入多输出的高纬度复杂系统，精确的数学模型很难建立。即使可以建立，工程实际中，往往需要简化，精确性难以保证。工业对象的结构，参数和环境具有很大的不确定性，故按理想模型得到的最优控制往往不能保持最优，即鲁棒性差。为解决理论与应用之间的脱节，可以进行多方面研究：系统辨识研究模型简化研究自适应

7、控制鲁棒控制智能控制算法上述研究一般始于学术界，但工业过程领域出现了一类新型计算机算法，打破了传统方法的约束，面对工业过程特点，强调要求：（1）对模型要求较低（2）控制综合质量好（3）在线计算方便的优化控制方法。 预测控制算法（Predictive Control） 1.1.2标志性成果1978年，理查勒特（Richalet）等在Automatica提出的建立在脉冲响应基础上的模型预测启发控制（Model Predictive Heuristic Control，简称为MPHC）。1982年，梅拉（Mehra）等在Automatica提出的模型算法控制（Model Algorithmic Co

8、ntrol，简称为MAC）。1979年，卡特勒（Cutler）等在AIChe提出的建立在阶跃响应上的动态矩阵控制（Dynamic Matrix Control，简称为DMC）。1980年，卡特勒（Cutler）等在ACC上提出有限阶跃响应（Finitude Step Response,简称FSR）。1987年，Clark提出广义预测控制（Generalized Predictive Control，简称GPC）。引入自校正，用差分方程模型，实际是一种自适应预测控制。其他： PFC: Predictive Function ControlRHPC: Receding Horizon Predic

9、tive ControlEHAC: Extended Horizon Adaptive ControlEPSAC: Extended Predictive Self-Adaptive ControlUPC:Unified Predictive ControlNLPC:Non-linear Predictive Control1.1.3 主要内容和应用领域一般所谓预测控制包括来自工业控制，自适应控制及内模控制（Morari 1982，Internal Model Control）等多方面研究成果，统称为模型预测控制，或基于模型的控制。其应用范围也超出了过程控制领域，应用到机器人，飞行器，网络系统

10、等。1.2 基本特征1.2.1 预测模型（1） 非参数模型：非最小化形式，信息冗余量大，有利于提高鲁棒性。（2） 参数模型：最小化模型，已知模型结构但需要确定的参数比非参数模型少，减少预测算法计算量，如XARIMA或CARMA（可控自回归滑动平均），I（积分）。（3） 现在，也可以用神经网络，模糊模型等。1.2.2 滚动优化不是离线一次完成，不是全局优化，而是在有限时域内进行优化，不断进行，滚动实施。1.2.3 反馈校正检测实际输出与模型输出之间的误差来进行反馈校正回顾最优控制 1.3 分析和设计方法1.3.1 系统分析内模原理 G为被控对象，为内部模型，为控制器。l 求传递函数，只考虑时（v

11、=0） （1-1） 而 （1-2） （1-3）将（1-3）代入（1-1） （1-4)只考虑干扰v时，（） （1-5）又 代入（1-5）中，得：综合和V同时输入： （1-6）分析1. 当模型与对象匹配，即时，则 （1-7）系统相当于开环，系统输出取决于系统前向通道传函，闭环稳定性取决于开环稳定性，只要对象开环稳定，自控制器也稳定，则闭环系统总是稳定的。也称IMC具有对偶稳定性。2. 当时，因为,显然1情况下，反馈信号就是干扰量v，而2情况下，反馈信号既包含v，还包含模型误差，此时闭环系统稳定性可通过适当设计来保证。3. 若对象稳定，且精确，即，设计控制器，（若模型存在），则由（1-7）得：此谓理

12、想控制的特性。4. 若闭环系统稳定，即使模型与对象失配，即，由（1-6）式可得：，只要设计控制器，使得，即控制器静态增益为模型增益的倒数。（补充说明：由Z变换终值定理，）可得，即对阶跃输入和扰动，稳态偏差为零。此谓零稳态偏差特性。5. 在模型失配的情况下，且闭环不稳定，可在反馈回路以及前馈通道中增加滤波器此谓系统具有鲁棒性。例：设；其中为脉冲传函稳态零点和不含时延部分。若设计控制器，则由上述（1-6）式，得特征方程；求解后有两个根位于单位圆上，系统不稳定，解决的办法是在反馈器后增加滤波器，设（）;则闭环特征方程为；即：；解得：；若选取，则上述两根均在单位圆内，从而模型失配时，闭环系统仍能稳定。

13、l 状态空间法：将其它描述等效为状态空间描述，在用状态空间法分析。1.3.2 系统设计a. 参数设计b. 极点配置c. 自适应控制d. 鲁棒预测控制1.3.3 理论研究a. 容许性问题（设计问题由对象模型，性能指标及容许控制三个基本要素组成）b. 稳定性：还没有充分条件c. 鲁棒性：主要是性能鲁棒性d. 非线性预测控制l 作业：完成一篇参数模型与非参数模型互换方法的报告1.4 预测控制思想 其他有预测原理的控制器1.4.1 smith预估控制器简介在一般反馈控制（PID）基础上，引入一个预估补偿环节，从而使闭环特征方程不会纯滞后，如上图，未加补偿环节时： （1-8） （1-9） 引入预估补偿器

14、后，则闭环传函为： （1-10）比较（1-3）和（1-5），得：时，就能补偿系统的滞后，使特征方程不含滞后相，此时，闭环特征方程为：；这相当于将作为对象，用的输出作为反馈信号，从而使得反馈信号相应提前了时刻。应用中需要注意问题：1 必须有比较精确的模型，的值越大，补偿效果越差。2 当对象变化时，由于smith补偿器是按某一工作点设计的，因此效果会变差。因为研究各种改进方案，如：1) 增益自适应补偿控制2) 双控制器方案1.4.2 smith预估控制器的IMC结构此时：，可直接引用IMC设计理论。第二章 预测控制的基本原理预测控制包含基于模型的预测原理，其实这一思想早已有之；例： Smith预估

15、器：针对时滞系统，将未经纯滞后的对象输出提前反馈给PID控制，其实只是对输出做了预测。离散最优控制：性能指标涉及未来时刻的状态或输出，也需要利用状态方程模型对这些量进行预算。推理控制等等但所谓预测控制有特殊的含义，只有建立下属三项基本原理基础上，即不论算法形式如何，必须具备三个基本特征。2.1 预测模型l 功能：根据对象的历史信息和未来输入预测其未来输出。只要具备这样的功能，模型可以是任何结构形式。l 作用：由于具有展示系统未来动态行为的功能，可利用该模型进行仿真，比较在不同控制策略的输出变化，寻求最优或次优的控制策略。1控制策略1；2控制序列2；3对应1的输出；4对应2的输出2.2 滚动优化

16、l 性能指标：优化必有性能指标，用以确定未来的控制作用，故性能指标必涉及到系统未来的行为，除此之外，对其形式无特殊要求。一般可取对象输出在未来采样点上，跟踪某一期望轨迹的方差为最小；也可要求控制能量为最小，而同时保持输出在某一给定范围内等等。l 优化时域：是有限的，每一采样时刻，对指标的优化只涉及从该时刻至未来的有限时间段，而到下一采样时刻，这一优化时段同时向前推移，同样具有优化指标，预测控制与最优控制区别的根本点，在于前者是反复优化。1参考轨迹；2最优输出预测；3最优控制作用2.3 反馈校正(一)预测控制是一种闭环算法：优化结果的实施：在通过优化确定了一系列未来的控制作用后，为防止模型失配或

17、环境干扰引起控制对理想状态的偏离，预测控制通常不是将整个时域的控制作用全部实施，而是只实现本时刻（即一步控制）控制作用。对基于模型的预测结果进行修正：在将优化结果实施一步后，首先检测对象的实际输出，并利用这一信息对模型的预测结果进行修正。进行新的优化：此时优化不仅对于模型，而且利用了反馈信息，因而构成了闭环优化。(二)反馈形式也是多种多样的： 例：在保持预测模型不变的基础上，对未来的误差作出预测并加以补偿。 也可在根据在线辨识的原理直接修改预测模型。补充内容（复习）：（1） 参数模型（传函或状态方程）非参数模型。（舒）（2） 将非参数模型参数模型（传函）（舒） 参数模型（状态空间）(席)第三章

18、 动态矩阵控制（DMC）基于对象阶跃响应的算法，适用于线性，有纯时滞，开环渐进稳定的非最小相位系统。3.1 动态矩阵控制原理3.1.1 预测模型 有限阶跃响应（FSR）模型参数（即动态参数）：用动态系数和输入量来描述各个采样时刻系统输出和输入关系的过程特性。当在系统的输入端加上以单位控制增量后，在各采样时间t=T,2T,3T，NT，系统输出端测出一系列采样值，用表示，也称模型参数。向量称为模型向量。N是阶跃响应的截断点，称为模型时域长度；N的选择能使过程响应值已接近稳态值。一般选择N，使得，即达到稳态一般用（）表示实测值或参数估计值。（严格来讲实际对象用，实测值或估计值用）。l 输出值预测由于

19、线性系统具有比例和叠加性质，故利用上述模型参数，可由给定的一系列输入控制信号预测对象在未来的输出值。（1）在k时刻，假定控制作用保持不变时，对未来N个时刻的输出有初始预测值（在稳态时，可取）。（2）当k时刻又有一增量时，在其作用下未来时刻输出值； （31）.（3）k+1时刻，又有一增量，则未来时刻输出为：；。 （4）若连续有M个控制增量；其未来输出为： （32）式中：; ; 称为动态矩阵。显然只要知道了对象输出的初始预测值和控制增量，即可由动态矩阵A计算未来输出的预测值。3.1.2 控制器设计控制的目标是使被控对象在M步控制量作用下，其输出预测值在P步周期内尽可能去接近给定的期望值，如图：其中

20、M和P分别称为控制时域和优化时域，一般 将（3-2）改写成如下形式： （3-3） l 性能指标取如下线性二次型指标： (3-4)其中： 其误差和输入权矩阵： l 优化命题及求解对于动态模型（3-3），求M步控制增量序列，使得性能指标。将（3-3）代入（3-4）欲使，令 ，求得 （3-5）即给出了的最优值。注意的是，一旦优化策略确定（即P,M,Q,R确定），则可以一次离线算出。若不考虑约束，控制器（3-5）的在线计算非常方便。3.1.3 控制作用的实现及滚动优化在线实际运行时，（3-5）式描述的控制器在k时刻优化以后的M步最优值，并未全部实现，一般只实现一步，即实际输出，构成，k+1时刻，又重新

21、按（3-5）计算新的M步最优控制增量，在此基础上，又只实现一步输出，如此往复，构成滚动优化。 构造M维向量。则每次控制器控制增量为 （3-6）其中，称为控制向量。3.1.4 反馈校正由预测模型（3-3），在k时刻，预测出未来P步时刻内的模型输出，即，然而由于实际存在模型失配，环境扰动等影响，由（3-3）给出的预测值可能偏离实际值，对此偏离情况可以及时进行反馈校正。比如，在k+1时刻，首先检测对象的实际输出，计算输出误差：以此对预测控制模型进行补偿，对k时刻而言 （3-7）式中，为输出误差向量。为校正向量。（校正向量：对未来的误差补偿采用现时误差，引入H是一种加权修正形式，是带有启发式的，此处还

22、要进一步研究）加反馈校正后，k时刻的控制增量为 （3-8）3.1.5 初始预测值的确定初始预测值是由k时刻以前加在系统输入端的控制增量产生的。l 若k时刻以前，系统为稳态，则l 假设从（k-N）到（k-1）时刻加入的控制增量分别为，而（k-N-1）时刻之前控制增量均为0，则有 令则有 （3-9）由此（3-3）改写为 （3-10）进一步，考虑 又为0，代入（3-9），可将（3-9）中控制增量形式化为全量形式， （3-11）即上式（3-11）表明，预测模型输出由两部分组成，第一部分为待求的位置控制增量，第二部分为过去控制量产生的系统已知输出初始值。补充： 根据（3-11）可写出预测模型的传递函数（

23、取向量矩阵的第一行）即3.2 动态矩阵控制算法（DMC）的计算机实现3.2.1 离线初始化u 获取阶跃响应曲线，滤除测量噪声和干扰，经过消除处理后，得动态系数。u 控制向量，或控制参数选取，涉及权矩阵Q，R。u 校正向量，或校正系数选取。u 采样周期T，优化时域P，控制时域M的选取。离线初始化实际上是控制器的设计过程，上述参数选取一般不可能通过解析的方法唯一确定，因为所有设计参数是通过间接影响控制系统性能的，它们与控制系统的快速性，稳定性，鲁棒性，抗干扰性等并没有直接的解析关系。故这阶段工作通常由试凑法结合仿真方法进行，当然也有一些基本原则，后面单独单章再讨论。3.2.2 在线实时控制1) 采

24、集对象实际输出设定为预测初值；初始化(初始化预测值和误差)，即2) 初始预测值校正，3) 计算控制增量；4) 控制作用输出5) 采集y，6) 计算新的输出预测值（未加预测补偿）； 作业2：计算机仿真练习3.3 动态矩阵控制系统分析3.3.1 DMC的IMC结构及分析重新考虑（3-5）式，并计入误差校正，并用控制全量形式，转换 （3-12）其中 （3-13）将上式代入（3-13），并从k到k+M1顺序计算控制增量 （3-14）式中：，下标代表的第i行。移项化简，并对作为归一化处理，以为例，有 （3-15） 式中 (3-16)其中： (3-17) (3-18) (3-19)由（3-15）可画出系统

25、的结构图：其控制器为，是典型的IMC结构，可用前述（第一章）内模原理对控制器进行分析，对于未来控制增量的计算，只要将（3-15）中改为，然而重新计算对应的即可。分析：l 时，（1）对偶稳定性l 如图，闭环系统输出方程为 （3-20）偏差方程为： （3-21）其中，和分别代表实际对象和其优化模型的传递函数根据（3-11），考虑之前的补充部分，则 （3-22） （3-23）稳态时，代入（3-22）和（3-23） 一般设（1.3.1中例题），若取，由（3-18）知：则由（3-17）和（3-19） 再针对（3-16），当然因为是模型，用代替 （表示的第一行） 即 （2）保证理想控制特性上述各结果代入（

26、3-21） 表明，DMC系统，即使模型失配，系统稳态输出偏差为零。（3）零稳态偏差特性3.3.2 DMC的状态空间描述及分析可借助现代控制理论的某些成果分析DMC系统。参考：Schmidt G,Xi,Y. A New Design Method for Digital Controllers based On Nonpanamatric plant Models. In Tzafestas S G,ed. Applied Digital Control. Amsterdam North-Holland ,1985,93-109.l DMC的状态空间描述首先考虑k-1时刻，预测k时刻输出，类似于

27、（3-9）式令 ； 则有。进一步研究：（1）自校正动态矩阵控制 （2）极点配置，（此式中并非直接用中的，而应以开始）其中 ； 令则有即式中： 由此利用现代控制理论判断能控能观性等。第4章 模型算法控制（MAC） 也称模型预测启发控制（MPHC） 先预测后控制4.1 基本组成和思想4.2 单步MAC包括上图所示的部分，采用基于脉冲响应的非参数模型作为内部模型，用过去和未来的输入输出模型。预测系统未来的输出，该输出进一步用实际偏差进行修正，与参考轨迹进行比较，应用二次型性能指标进行滚动优化，计算出当前时刻应加于系统的控制动作，完成整个控制循环。其基本思想是：先预测系统未来的输出，再确定当前时刻的控

28、制动作，它明显优于先有信息反馈，再产生控制动作的经典反馈控制系统。4.2.1 输出预测（1） 脉冲响应模型 FIR一般被控对象真实模型离散差分形式为：为了清晰明了，MAC中写成如下形式的脉冲响应模型： （4-1）式中：为脉冲传递函数为系统脉冲响应序列值。（2） 内部预测模型 根据控制输入，预测一步后系统输出即：因此内部模型的传递函数为 （4-2）4.2.2 反馈校正考虑实际中，存在模型误差及随机干扰，使基于内部模型的输出预测值不可能与实际输出完全一致，为此需对上述预测模型（又可称开环预测模型）进行校正。一般采用输出误差反馈校正的方法，得到所谓校正后的模型，又称闭环预测模型。 （4-3）4.2.

29、3 控制器设计设计目标是对象输出尽可能接近给定期望值。（1） 性能指标：选用输出误差和控制量加权的二次性能指标。 （4-4）式中：为加权系数，为参考输入，具体下面还要研究（2） 最优控制率计算不考虑约束时，可求得最优控制器： （4-5）令为控制器传递函数 （4-6）由（4-5），显然单步MAC具有IMC结构：注意：上图u 具有对偶稳定性u 理想控制器不存在u 稳定偏差不为0 （原因后面4.2.5再分析）4.2.4 参考轨迹一般控制（调节）的结果是使系统的输出达到某个设定值w，在MAC中，可以从实际输出出发，规定一条光滑过渡的曲线来达到w，该曲线称为参考轨迹，也称为期望输出：一般参考轨迹可取一阶

30、指数变化的形式： （4-7）其中：是参考轨迹的时间常数。是采样周期。进一步，若令，则（4-7）可以写成： （4-8）采用（4-7）或（4-8）形式的参考轨迹，可减小过量的控制作用，使系统的输出能平滑的达到设定值。显然越大，则越大，系统柔性越好，鲁棒性越强，但控制的快速性较差，故是MAC中一个很重要的设计参数。如果：w=定值，则对应镇定问题；如果：w=变值，则对应跟踪问题。4.2.5 关于控制量的约束问题l IMC结构中理想控制器的条件由（4-6）看出：即控制器不满足内模控制器的理想控制器特性。因而也不满足零稳态偏差特性。（详见第一章）解决这一问题的方法是令，即不加控制约束项，但这样设计的系统不

31、能应用于非最小相位系统，也不能限制由于控制量过大而引起的冲击。l 开环预测情形如果不考虑控制量约束，并且对象无纯滞后或者非最小相位特性，但如果利用内部模型（4-2）预测时不考虑反馈校正，此时性能指标（4-4）可写为： （4-9）显然上述优化问题的求解可简化为令（4-9）中的误差为0，即： （4-10）因为无纯滞后故： （4-11）代入（4-10），求出： （4-12）但由于存在模型误差，导致预测不准，故即使控制量无约束，且无纯滞后等，仍会产生静差，即不能产生无偏差跟踪。假设，对象实际脉冲相应系数为，且。预测输出为：实际输出：当控制达到稳态时，均保持常量不再变化，分别将其记为和，则上述两式为 ；

32、 由此得： （4-12）显然，只要，则输出与设定值间就存在静差。即： （4-13）4.3 纯时延系统的MAC设对象L步纯时延，则类似于（4-1）对象的脉冲响应模型为： (4-14)则系统的内部模型： （4-15）式中：，也称总时延。对应于（4-3），闭环预测模型（反馈校正后）为 （4-16）对应于（4-4）。性能指标为： （4-17）求得最优控制率： （4-18）因此对于时延系统，采用单步MAC算法，只要将预测步数从1步增加到d步即可。4.4 多步MAC实际工业控制过程中，常采用多步预测输出来扩大预测的信息量，提高系统的抗干扰性和鲁棒性。设对象真实模型为。式中：。其预测模型为：。实际上，这是一

33、步预测，现构造多步预测模型： （4-19）其中，P为多步输出预测时域长度。（）上式展开为：显然多步预测模型输出包括两部分：l 过去已知的控制量产生的部分，相当于预测模型输出初值。l 现在和未来将施加于系统，影响系统未来行为的部分，其中第二部分可根据某一优化指标选取待求的现在和未来控制量，以获得期望的预测模型输出。一般可选择未来的输出控制量的步数为，也称控制的时域长度。在P预测时域内，考虑时刻后的控制量不再改变。即有： （4-20）因此可将（4-19）的展开式写成矩阵形式： （4-21）式中： 为提高预测精度，采用输出误差进行校正 （4-22）式中:,一般令。设系统的参考输出向量为：选择二次型性

34、能指标： （4-23）式中：输出误差加权系数阵： 控制量加权系数阵：令，可求得： （4-24）上式中：为维矩阵。可以一次同时算出以k到k+M-1时刻的M步控制量，对当前和以后M个时刻进行开环控制。与单步算法比较，由于预测时域长度和控制时域长度较多，包含信息丰富，故控制效果和鲁棒性比单步要好。但是实际执行时，由于模型误差，干扰等因素，按求得的M步控制，可能会偏离期望轨迹较多，可采用闭环控制及时纠正。即算出M步控制量后，实际只执行一步，下一时刻重新计算新的M步最优控制量，如此往复。即： （4-25）式中：。4.5 MAC分析IMC结构采用IMC结构分析MAC系统具有简明清晰的形式。l 首先对（4-

35、24）式中化简： （4-26） 代入（4-25）移项后合并并对做归一化处理，有： （4-27）式中： （4-28） ； 根据（4-27），画出MAC系统结构图：其中：显然，MAC具有IMC结构，因此在分析MAC闭环系统动态特性及鲁棒性时，可直接引用IMC理论。l 根据IMC的对偶稳定性理论，当模型完全匹配时，（即），对于开环渐进稳定系统，闭环系统的稳定性有控制器特征方程确定。而控制器的特征方程即为： 如（4-28）所示，适当选择Q，R和预测控制时域P和M来调整。总可以使控制器稳定。事实上如图闭环系统的输出方程为l 模型匹配时。特征方程为当模型失配时，特征方程为。通过适当地设计和选择反馈滤波器结

36、构和参数总能使闭环系统稳定。l 进一步考虑系统输出误差稳态时，由于控制器方程分母：由此，即使模型完全匹配，MAC稳态偏差也不为0，进一步研究各种改进措施。第5章 广义预测控制（GPC） 浙大用稿基于广义最小方差控制，在优化中引入了多步预测的思想，适用于有纯时延，开环不稳定的非最小相位系统。5.1 预备知识（复习）5.1.1 时间序列模型（1） 自回归AR式中，为白噪声，n次自回归若令上式为若令，判断出其为稳定多项式，则为平稳序列。（2） 滑动平模型MA m次滑动平均式中：（3） 自回归滑动平均模型ARMAn次自回归，m次滑动平均（4） 受控自回归滑动平均CARMA（5） 自回归积分滑动平均AR

37、IMA（6） 受控自回归积分滑动平均CARIMA5.1.2 极小方差控制CARMA模型 （5-1） （5-2）令： （5-3）（Diophantine方程） 代入（5-2）中， （5-4）由（5-1）得： （5-5）代入（5-4），得： 考虑（5-3）则有定义最小方差： （5-6）因为为白噪声，；而，欲使方差最小，即最小方差控制，则可得： （5-7）其中，求解（5-3）Diophantine方程得到。5.2 GPC基本算法5.2.1 算法概括考虑情形，差分方程CARIMA （5-8）式中： 表示差分算子由（5-8），得： （5-9）引入Diophantine方程 （5-10）其中，；将（5-9

38、）两边同乘以得：考虑Diophantine(5-10) (5-11)即j步后，模型的输出预测值。当即一步，两步，多步预测。因为可分为未来的控制量（k时刻至k+j-1时刻）和历史控制量（k时刻以前）。故引入Diophantine方程 （5-12）其中： 代入（5-11）式，有： （5-13）因为为白噪声，则时刻最优预测值为 （5-14）将（5-13）写成向量形式，设控制时域为M，即M步后控制量不再变化 （5-15）其中： 或 (5-16)设期望值为定义性能指标为或 （5-17）优化求解，使得的 （5-18）由滚动优化特点，一般只实现的第一步即 （5-19）例：广义预测控制理论及其应用设即对照（5

39、-8）式， 解Diophantine方程（5-10）当时， 得：当时， 得：当时， 得： ；进一步，求解Diophantine方程（5-12）当时， 得：当时， ； 当时， ； 则由（5-16）得：由（5-19）得：则。综上GPC基本算法如下 a. 给定预测时域P，控制时域M，权矩阵R，Q。b. 由Diophantine方程求c. 形成G并计算d. 由（5-19）计算e. 输出f. 转到b5.2.2 Diophantine方程递推求解当预测步数改变时，Diophantine方程（5-10）和（5-12）中的的数值随之变化，每改变一次j，都需要重新计算。可用递推算法节省计算量和计算时间。u 的递

40、推解 设步时，Diophantine方程（5-10）为 （5-20）将（5-10）与（5-20）相减。即 （5-21）因为： 即：（5-21）式中左边前次项为0，代入（5-21）得： （5-22）将上式展开，并令令上式两边同幂次系数相等，于是有： （5-22） （5-23） （5-24）综上由（5-22），（5-23），（5-24）构成和的地推算法，递推时初值由时Diophantine方程（5-10）解出。u 和的递推解设步时，Diophantine方程（5-12）为 （5-25）式（5-25）减去式（5-12）得：类似于前述（5-22） (5-26)由（5-22）或前一式，（5-25），（5

41、-26），得： （5-27）将上式展开：令上式两边同幂次系数相等，得： （5-28） （5-29） （5-30）构成的递推解。5.2.3 模型参数辨识 广义预测自适应控制算法前述GPC算法是在被控对象参数已知情况下推导出来，当被控对象参数未知或慢时变时，需用参数估计算法。假设和阶次和已知。将（5-8）改写为写成向量形式： （5-31）式中：对（5-31）式应用最小二乘法或递推最小二乘法求。5.3 GPC的扩展考虑的情形。此时（5-8）式可写为： （5-32）其中：的定义同（5-8）式。此处假设的零点在单位圆内。相比于（5-10）和（5-12），现在定义如下Diophantine方程 （5-33

42、） （5-34）其中：deg表示多项式的阶次由（5-32），（5-33），（5-34）可得： （5-35）式中： 写成向量形式： （5-36）设性能指标为（5-17），则 （5-37）同样，可用递推算法计算5.4 GPC的分析状态空间法被控对象（5-32）式可等价为状态空间观测器标准型。 （5-38）其中：式中：定义为：详细证明可见王伟著当然还可有能控标准型实现。在此基础上，可以证明广义预测控制（5-19）与离散线性二次高斯控制率是等价的。即：GPC是线性二次型最优控制的特例。详细见参考文献：Bitmead,R,R,Gevers.M.and Wertze.V.Adaptive Optimal

43、Control,The Thinking Mans GPC.Prentice Hall,1990.第6章 预测控制系统的参数设计预测控制与传统的最优控制不同，采用启发式优化概念允许设计者自由地选择优化性能指标形式，但由前几章可知，设计者一般不能通过解析法唯一确定各参数与控制系统性能指标的关系。但可以有一些定性的原则。6.1 采样周期T与模型长度N采样周期T：（1） 满足香农（Shannon）采样定理：取决于被控对象的类型及其动态特性。例：对于单容对象，可取，为惯性时间常数。 振荡对象：，为振荡周期 滞后对象：，为对象纯滞后时间（2） 兼顾模型长度N，使其一般为之间。为此，应使NT包含系统的主要

44、动态。对模型长度的限制主要是为计算实时性的需求，但从抗干扰的要求出发，通常希望采用小的采样周期。以便快捷及时地抑制干扰，故存在抗干扰与计算实时性的矛盾，对过渡时间延续较长的动态尤其突出。6.2 优化时域P和误差权矩阵QP表示对k时刻起未来多步的输出值逼近期望值感兴趣，而Q作为权系数，则反映了对不同时刻逼近的重视程度，Q对纯滞后部分控制作用无能为力，应舍其为0。P的大小对控制的稳定性和快速性有较大的影响，P太小：快速但是稳定性和鲁棒性差P太大：稳定性好，但是响应缓慢。P大计算量存储量也增大，一般可取阶跃响应达到稳态值所需过渡时间的一半时间。6.3 控制时域M物理上应在P已确定的情况下：M越小，越难保证输出在各采样点