2022年函数单调性和奇偶性专题

1、精品资料欢迎下载函数单调性和奇偶性专题一学问点精讲：一、单调性1.函数的单调性定义：一、函数单调性的定义及性质（1） 定义对于给定区间i 上的函数 yfx，假如对任意x1 , x2i ，当 x1x2 ，都有fx1fx2，那么就称 yfx在区间 i 上是增函数； 当 x1x2 ，都有fx1fx2，那么就称 yfx在区间 i 上是减函数 与之相等价的定义：fx1 x1fx2 x20 ，或都有fx1 x1fx2 x20 就说f x 在这个区间上是增函数（或减函数） ；其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点x1,fx1, x2 , fx2连线的斜率都大于（或小于） 0；（2） 函数的单调区间假如函

2、数 yfx 在某个区间上是增函数 （或减函数） ，就说f x在这一区间上具有 （严格的） 单调性， 这一区间叫做该函数的单调区间；如函数是增函数就称区间为增区间，如函数为减函数就称区间为减区间；单调性反映函数的局部性质；一个函数f x在区间i1, i1 上都是增函数，但它在区间i 2i 2 上不肯定是增函数；（3） 判定单调函数的方法：定义法，其步骤为：在该区间上任取x1x2 ，作差fx1fx2、化积、定号；互为反函数的两个函数具有相同的单调性；奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上却有相反的单调性；复合函数单调性的依据：设yfu, ugx, xa,b, um,n

3、 都是单调函数，就yfgx在a, b 上也是单调函数， 其单调性是f 与 g 单调性相同就yfg x是增函数，单调性相反就yfgx是减函数； 几个与函数单调性相关的结论：（）增函数 +增函数 =增函数；减函数 +减函数 =减函数；（）增函数减函数=增函数；减函数增函数=减函数；假如 yfx 在某个区间 d 上是增函数（或减函数） ，那么 . yfx .在区间 d 的任意一个子区间上也是增函数（或减函数）；（4） 常见一些函数的单调性：一次函数ykxbk0 ，当 k0 时，在,上是增函数；当k0 时，在,上是减函数反比例函数 ykk0 x，当 k0 时，在,0和 0,上都是减函数； 当 k0 时

4、，在,0和 0,上都是增函数二次函数yax2bxca0，当 a0 ，在,b上是减函数， 在b , 2a2a上是增函数；当a 0 ，在,b 上是增函数，在x2ab ,上是减函数x2a当 a1 时， ya和 ylog a x 在其定义域内为增函数，当0a1 ， ya和ylog a x 在其定义域内为减函数；二、奇偶性 对 于 函 数f x的 定 义 域 内 任 意 一 个x ， 都 有f xf x 或f xf x0 ，就称f x为奇函数 . 奇函数的图象关于原点对称； 对 于 函 数f x的 定 义 域 内 任 意 一 个x ， 都 有f xf x 或f xf x0 ，就称f x为偶函数 . 偶函

5、数的图象关于y 轴对称；通常采纳图像或定义判定函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数， 其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）二经典例题剖析： （不带答案版） 单调性:例 1（ 1）函数 fx |x2|x 的单调减区间是.（2）函数f x2的单调区间；x1变式：（ 1）函数y1的单调区间为x1（2）设函数 fx1, x0， gx x0, x01, x02f x 1，就函数 gx的递减区间是例 2：（ 1）函数2f x2x m1x1 在 ,1 上单调递减，就实数m 的范畴；（2）函数 yxa a x0 在 2, 上单调递增，就实数a 的范畴；变式：（ 1

6、）已知函数 fx x2 2ax 3 在区间 1,2 上具有单调性，就实数a 的取值范畴为 （2）函数 y=log a（2 ax）在 0， 1上是减函数，就a 的取值范畴是.例 3设函数 fx定义在实数集上， 它的图象关于直线x 1 对称， 且当 x1时，fx 3x1，就 f1, f 33, f223之间的大小关系是 .例 4 定义新运算：当ab 时， a b a；当 a<b 时， a b b2 ，就函数 fx 1 xx 2x，x 2,2的最大值等于.例 5： （ 1）用定义证明f x3xaar在 , 上是减函数；变式： 用定义证明函数f xxkk x0在 0, 上的单调性；例 6：已知函

7、数f xxa x x0 ，常数 ar ）如函数f x 在 x2 ， 上为增函数，22求 a 的取值范畴变式： 已知函数f xx2 a1 x2 在区间 4,上是增函数，求实数a 的范畴；例 7： 设函数f xxa abxb0 ，判定f x在其定义域上的单调性；2例 8： 求2f xlog a 3 x5 x2 （ a0 且 a1）的单调区间；例 9： 设 a 为实数，函数f xx| xa |1 ， xr ，求f x的最小值奇偶性例 1： 判定以下函数的奇偶性：（1）f xx31x（2）f x| x1| x1|（3）23f xxx（ 4）f xx22x, x02x2 x, x0（5）f xx x45

8、52x223变式： 判定函数的奇偶性 y1 , x0 x yx1 yxx y2x f x1x2x22 f xx111x f xxx 22x2x2 x3, x03, x0例 2： 已知f x 是偶函数， x0 时，2f x2 x4 x ，求 x0 时 f x的解析式 .变式： 已知f x是奇函数，g x 是偶函数，且f xg x1，求x1f x 、gx .例 3： 如f x 是偶函数，且在 ,0 上增函数，又f 30 ，求f x0 的解集；x例 4：（ 1）定义在 1,1上的奇函数f x 是减函数， 解关于 a 的不等式：f 1af 1a 0 ；2（2）定义在 2,2 上的偶函数f x在0,2

9、上单调递减， 且f 1mf m 成立， 求 m 的取2值范畴；2变式：（ 1）定义在 1,1上的偶函数， （ 0,1 ）上为增函数，且求 a 的取值范畴；f a2f 4a 0 成立，（ 2）定义在 1,1上的奇函数f x 是减函数，且f a2f 4a 0 成立，求 a 的取值范畴；例 5：已知函数f x 对任意m,nr 都有f mnf mf n1 ，并且当 x0 时， f x1 ；2（1） 求证： f x 在 r 上是增函数；（2） 如f 34 ,求满意条件f aa52 的实数 a 的取值范畴；变式：（ 1）设函数f x 是定义在 r上的奇函数， 且在区间 ,0 上是减函数； 试判定函数f x

10、在区间 0, 上的单调性，并赐予证明；（2）已知定义在 r 上的函数 fx满意 f x f x 0，且在 ， 0上单调递增，假如x1x2<0 且 x1x2<0，就 fx1fx2的取值范畴是.例 6： 已知函数 f（ x）=x+ p +m（ p0）是奇函数，当 x 1，2时，求 f（ x）的最大值和 x最小值 .变式： 设 a 为实数，函数fxxxa1xr；2（1） 争论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值三经典例题剖析： （部分带答案版） 单调性:例 1（ 1）函数 fx |x2|x 的单调减区间是.2x解 由于 fx|x 2|x2x, x2结合图象可知函数的单调减区间是1,2 2

11、xx2 , x2（2） 函数f x2的单调区间；x1【分析】对函数f x2，是由y2向右平移1 个单位得到，由反比例函数性质得，x1x函数在,1和1,上单调递增，特殊留意：单调区间不能写成,11,，可举反例说明；【解】,1和1,上单调递增；变式：（ 1）函数y1的单调区间为x1（2）设函数 fx1, x0， gx x0, x01, x02f x 1，就函数 gx的递减区间是【解析】由题意知gx2x , x10, x1函数图象如下列图，其递减区间是0,1 2x , x1例 2：（ 1）函数f x2x m1x1 在 ,1 上单调递减，就实数m 的范畴；2【分析】关于二次函数的单调性，留意看两个方面

12、，即开口方向和对称轴，留意结合二次函数的图像解题 .问题（ 1）中给定了函数在,1 上单调递减，而图象开口向上，因此对称轴xm1 应在,1 的右边，从而4m11m3 ；4（2）函数 yxa a x0 在 2, 上单调递增，就实数a 的范畴；【分析】函数yxa a x0 ，由图象可知函数在x0 的范畴内，当 x0,a递减，当xa,递增，由题意在2,上单调递增得a20a4 ；变式：（ 1）已知函数 fx x2 2ax 3 在区间 1,2 上具有单调性，就实数a 的取值范畴为 【解析】 函数 fx x2 2ax3 的图象开口向上， 对称轴为直线 xa，画出草图如下列图 由图象可知，函数在 ，a 和

13、a， 上都具有单调性，因此要使函数fx在区间 1,2 上具有单调性，只需a1或 a2，从而 a ， 1 2 ， （2）函数 y=log a（2 ax）在 0， 1上是减函数，就a 的取值范畴是.【解析】题中隐含a 0， 2 ax 在 0， 1上是减函数 . y=log au 应为增函数，且u=2aax 在 0，1上应恒大于零 .21,a0. 1 a 2.例 3设函数 fx定义在实数集上， 它的图象关于直线x 1 对称， 且当 x1时，fx 3x1，就 f1, f 33, f223之间的大小关系是 .【解析】 由题设知， 当 x<1 时， fx单调递减， 当 x1时， fx单调递增， 而

14、x 1 为对称轴， f1f3f2323例 4 定义新运算：当ab 时， a b a；当 a<b 时， a b b2 ，就函数 fx 1 xx 2x，x 2,2的最大值等于.【解析】f xx2,2x32,1x1,x2,fx在定义域内都为增函数，所以最大值6；例 5： 用定义证明f xxa ar在 , 上是减函数；3【证明】 设x1 , x2, ，且 x1x2 ，就333322f x1 f x2 x1ax2ax2x1 x2x1 x1x2x1x2 .由于 x 2x 2x x xx2 23 x20 ， xx0 ，24121 2122122就 f x f x xx xxx x 0 ，即 f x f

15、 x ，所以f x在,上1221121 212是减函数；变式： 用定义证明函数f xxkk x0在 0, 上的单调性；【证明】 设 x1 、x20, ，且 x1x2 ，就f x f x xk xk xx kk 1212x1x212x1x2x1x2 k x2x1 x1x2 k x1x2 x1x2 x1x2k ，又 0x1x1x2x2 ，所以 x1x20 ，x1x2x1 x20，x1x2当 x1 、 x20,k 时 x1 x2k0f x1 f x2 0 ，此时函数f x 为减函数；当 x1 、 x2k , 时 x1x2k0f x1 f x2 0 ，此时函数f x为增函数；综上函数f xkx kx0

16、 在区间 0,k 内为减函数；在区间 k , 内为增函数；注 由于x1 x2k 与 0 的大小关系 k0 不是明确的，因此要分段争论；争论的方法是令2x1 =x2 =x ，就 xk ，解得 xk ；例 6：已知函数2f xxa x x0 ，常数 ar ）如函数f x 在 x2 ， 上为增函数，求 a 的取值范畴2 x1x2，就2xa2a x1x2 【解析】设f x f x x x xx a，121x2x1x2x1x21 212要使函数f x 在 x2 ， 上为增函数，必需f x1 f x2 0 恒成立x1x 20， x x124 ，仍要x1x2 x1x2 a0 ，即ax1 x2 x1x2 恒成

17、立又x1x24 ，x1 x2 x1x2 16，所以 a 的取值范畴是 ，16 变式： 已知函数f xx2 a1 x2 在区间 4,上是增函数，求实数a 的范畴；2【答案】 a3以上例题都是用定义法判定函数单调性，基本方法是作差-化积定号；这种方法思路比较清楚，但通常过程比较繁琐，有时也可以利用函数单调性的性质来判定其他函数的单调性；例 7： 设函数f xxa abxb0 ，判定f x在其定义域上的单调性；【解析】 函数f xxa xb的定义域为 ,bb, .先判定f x 在 b, 内的单调性，由题可把f xxa xb转化为f x1ab ，又xbab0 故 ab0 ，1虽 x 的增大而减小，所以

18、xbf x 在 b, 上为减函数；同理可判定f x在 ,b 内也是减函数； 故函数f xxa 在 , xbb 和 b, 内2是减函数（此题f x在 ,bb,内也是减函数） ；变式： 已知f x82 xx，如g xf2x2，试确定g x 的单调区间和单调性；2函数性质法只能借助于我们熟识的单调函数去判定一些函数的单调性，因此第一把函数等价地转化成我们熟识的单调函数的四就混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判定，但有些函数不能化成简洁单调函数四就混合运算形式就不能采纳这种方法；2例 8： 求f xlog a 3 x5 x2 （ a0 且 a1）的单调区间；【 解 析 】 由 题 可 得 函

19、数f xl oa gx 3x 5是2由外 函 数 ylogau 和 内 函 数2u3x5x2符 合 而 成 ； 由 题 知 函 数f x的 定 义 域 是,21 ,3 ； 内 函 数2u3x5x 1 , 内为增函数，在 ,2 内为减函数；2 在3如 a1，外函数 ylog au 为增函数，由同增异减法就，故函数f x 在 1,3 上是增函数；函数f x在,2 上是减函数；如 0a1 ，外函数 ylog au 为减函数，由同增异减法就，故函数f x 在 1 上,3是减函数；函数f x在,2 上是增函数；小结： 判定复合函数 yf g x 的单调性的一般步骤：合理地分解成两个基本初等函数yf u

20、,ugx ；分别解出两个基本初等函数的定义域；分别确定单调区间；如两个基本初等函数在对应区间上的单调性相同，就yf g x 为增函数，如为一增一减，就 yf gx 为减函数（同增异减） ；求出相应区间的交集，即是复合函数yf g x 的单调区间；一分二求三定四交同增异减确定区间例 9： 设 a 为实数，函数f xx| xa |1 ， xr ，求f x的最小值2【解析】 当 xa 时，函数f x2xxa1 x1 2a3 ，24如 a12，就函数f x在 , a 上单调递减，函数f x在 ,a 上的最小值为2f aa1 ；如 a12，函数f x在 , a 上的最小值为13f 241a ，且f 2f

21、 a 当 xa 时，函数f xx2xa1x1 2a3 ，241如 a，就函数f x 在 a, 上的最小值为f 1 31a ，且 f f a ；2如 a12，就函数f x在 a,24上单调递增，函数f x2在 a,上的最小值2f aa1 综上，当 a1 时，函数f x 的最小值是3a ，当1a1 时，函数f x 的最小2值是 a1 ，当 a21 ，函数2f x4223的最小值是 a4奇偶性例 1： 判定以下函数的奇偶性：（1）f xx3123x（2）f x| x1| x1|（3）f xxx（ 4）f xx2x, x022x2 x, x0（5）f xx x455x2223变式： 判定函数的奇偶性

22、y1 , x0 x yx1 yxx y2x f x1x2x22 f xx111x f xxx22xx 22x3, x03, x0例 2： 已知f x 是偶函数， x0 时，2f x2 x4 x ，求 x0 时 f x的解析式 .变式： 已知f x是奇函数，g x 是偶函数，且f xg x1，求x1f x 、gx .例 3： 如f x 是偶函数，且在 ,0 上增函数，又f 30 ，求f x0 的解集；x【解析】 3,03, ；例 4：（ 1）定义在 1,1上的奇函数f x 是减函数， 解关于 a 的不等式：f 1af 12a 0 ；【解析】不等式可化简为f 1af 12a 由于函数是奇函数因此f

23、 1a2f a111a就有11a 211 , 解得2a02a0 或 0a2 ， 即 1a01aa 211a2 不等式 f 1 a f 1 a2<0 的解集是 a| -1< a<0（2）定义在 2,2 上的偶函数f x在0,2 上单调递减， 且f 1mf m 成立， 求 m 的取值范畴；【答案】1m12变式：（ 1）定义在 1,1上的偶函数， （ 0,1 ）上为增函数，且求 a 的取值范畴；f a2f 4a 0 成立，22【答案】3a2 或 2a5（ 2）定义在 1,1上的奇函数范畴；f x 是减函数，且f a2f 4a 0 成立，求 a 的取值点评：函数的单调性和奇偶性结合应

24、用是此类习题的一般解法，但在应用时要特殊留意函数的定义域；例 5：已知函数f x 对任意m,nr 都有f mnf mf n1 ，并且当 x0 时， f x1 ；2（1） 求证： f x 在 r 上是增函数；（2） 如f 34 ,求满意条件f aa52 的实数 a 的取值范畴；【解析】（1 ）设x1x2， 由x2x10 ， 得f x2x1 1 ；又 f x2 f x2x1x1 f x2x1 f x1 1f x1 ，故函数 f x在r 上是增函数；（ 2）f 3f 2f 11f 1f 11f 113 f 122f 34,3 f 124, f 12 ；2由 f aa52 ，得f aa5f 1 ；依据 f x在 r 上是增函数，可得2aa51 ，解得3a2 ；变式（1）设函数f x 是定义在 r 上的奇函数， 且在区间 ,0 上是减函数； 试判定函数f x在区间 0, 上的单调性，并赐予证明；（2）已知定义在 r 上的函数