2022年函数的单调性-知识点与题型归纳

1、名师总结精品知识点1. 单调函数的定义2.单调性、单调区间的定义若函数 f(x)在区间 d 上是增函数或减函数 ，则称函数 f(x)在这一区间上具有 (严格的 )单调性， 区间 d 叫做 f(x)的单调区间 .注意：关于函数单调性的定义应注意哪些问题？(1)定义中 x1，x2具有任意性 ，不能是规定的特定值(2)函数的 单调区间必须是定义域的子集；(3)定义的两种变式 ：设任意 x1，x2a，b且 x10? f(x)在a，b上是增函数；(x1x2)f(x1)f(x2)0? f(x)在a，b上是减函数单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分

2、别写，不能用并集符号“ ” 联结，也不能用 “ 或” 联结知识点二单调性的 证明 方法： 定义法及导数法(1) 定义法 : 利用定义证明函数单调性的一般步骤是：任取 x1、x2d，且 x10，则f(x)在区间 d 内为增函数；如果f (x)0，则1fx为减(增)函数，fx 为增 (减)函数3互为反函数的两个函数有相同的单调性4yfg(x)是定义在 m 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则其复合函数 fg(x)为增函数；若 f(x)、g(x)的单调性相反，则其复合函数 fg(x)为减函数简称” 同增异减 ”5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；偶函数在关于原点对称的两

3、个区间上的单调性相反二、例题分析：（一)函数单调性的判断与证明精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点判断下列说法是否正确(1)函数 f(x)2x1 在( ，) 上是增函数 () (2)函数 f(x)1x在其定义域上是减函数() (3)已知 f(x)x，g(x)2x，则 yf(x)g(x)在定义域上是增函数 () 答案： 例 1. (2014 北京卷 )下列函数中，在区间 (0，) 上为增函数的是() ayx1 by(x1)2cy2xdylog0.5(x1) 答案： a

4、. 例 2. 判断函数 f(x)axx1在(1，) 上的单调性，并证明法一：定义法设 1x1x2，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点则 f(x1)f(x2)ax1x11ax2x21ax1x2ax2x1x1x2ax1x2x1x2 1x1x2，x1x20，x210. 当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)，函数 yf(x)在(1，) 上单调递增同理当 a0，即 f(x1)f(x2)，函数 yf(x)在(1，) 上单调递减法二：导数法1.判断函数

5、的单调性应先求定义域；2.用定义法判断 (或证明 )函数单调性的一般步骤为：取值作差变形判号定论，其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、 配方法等；3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视（二）求复合函数、分段函数的单调性区间例 1 求函数 yx|1x|的单调增区间精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点yx|1x|1，x1 ，2x1，x0.则 x3. 函数 ylog13(x24x3)的定义域为( ，1)(3，) 精品学习资料 可选择p d f - - -

6、 - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点又 ux24x3 的图象的对称轴为x2，且开口向上，ux24x3 在( ，1)上是减函数，在(3，) 上是增函数而函数 ylog13u 在(0，) 上是减函数，ylog13(x24x3)的单调递减区间为 (3，) ，单调递增区间为 ( ，1)注意：求函数的单调区间的常用方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义(3)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直

7、观性写出它的单调区间(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间例 2.（2）( 补充 )21122log4logyxx答案：增区间：1,4；减区间：10,4精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点练习:222loglogyxx答案：增区间：2,；减区间：0, 2（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小已知函数 f(x)log2x11x，若 x1(1,2)，x2(2，) ，则() af(x1)0，f(x2)0 bf(x1)0 cf(x1)0，f(x2)0，f(x2)0

8、 【规范解答】函数 f(x)log2x11x在(1，) 上为增函数，且 f(2)0，当 x1(1,2)时，f(x1)f(2)0，即 f(x1)0. 例 1. （2）已知函数 f(x)x24x3，x0 ，x22x3，x0，则不等式f(a24)f(3a)的解集为 () 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点a(2,6) b(1,4) c(1,4) d(3,5) 【规范解答】 作出函数 f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在 r 上是单调递减的由f(a24)f(3a)，

9、可得 a243a，整理得 a23a40，即(a1)(a4)0，解得 1a4，所以不等式的解集为 (1,4)注意: 本例分段函数的单调区间可以并!（四）已知单调性求参数的值或取值范围例 1. 已知函数2,211,22xax xfxx满足对任意的实数 x1 x2，都有1212()()0f xf xxx成立，则实数 a 的取值范围为 () a( ，2) b. ，138c( ，2 d.138，2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点【规范解答】 函数 f(x)是 r 上的减函

10、数，于是有a20，a1221，由此解得 a138，即实数 a 的取值范围是 ，138. 例 2.(1)（补充） 如果函数 f(x)ax22x3 在区间( ，4)上单调递增，则实数a 的取值范围是 _答案14，0 解析(1)当 a0 时，f(x)2x3，在定义域 r 上单调递增，故在 ( ，4)上单调递增；(2)当 a0 时，二次函数 f(x)的对称轴为直线x1a，因为 f(x)在( ，4)上单调递增，所以 a0，且1a4 ，解精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点得

11、14 a0，则由 f (x)0 得 x 2a，当 x2a时，f (x)0， f(x)单调增，当2ax2a时，f(x)单调减，f(x)的单调减区间为 (2a，2a)，从而2a2，a2. 变式： 若 f(x)x36ax 在区间 (2,2)单调递减，则 a 的取值范围是？精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点点评 f(x)的单调递减区间是 (2,2) 和 f(x)在(2，2)上单调递减是不同的， 应加以区分本例亦可用 x 2 是方程 f (x)3x26a0 的两根解得 a

12、2. 例 2.(3) （补充）若函数)2, 3()(log)(321在axxxf上单调递减，则实数a的取值范围是（）a9，12 b4，12 c4，27 d9，27 答案： a 温故知新 p23 第 9 题若函数212log3fxxaxa在区间2,上单调递减，则实数a的取值范围是8、设函数12axfxxa在区间2,上是增函数 , 那么a的取值范围是精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点答案: 1,10、设函数xfxxaxa（2）若0a且fx在区间1,内单调递减 , 求

13、a的取值范围 . 答案: 1,（五）抽象函数的单调性例 1.（补充） 已知 f(x)为 r 上的减函数，那么满足f(|1x|)f(1)的实数 x 的取值范围是 ( )a(1,1) b(0,1) c(1,0)(0,1) d(， 1)(1， ) 答案： c 解析：因为 f(x)为减函数，f(|1x|)1， 则|x|1且 x0 ，即 x(1,0)(0,1)精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 15 页 - - - - - - - - -名师总结精品知识点练习：()yfx是定义在1,1上的增函数，解不等式2(1)(1)fxfx答案：0,1注意：解抽象函数的不等式通常立足单调性定义或借助图像求解例 2.函数( )fx的定义域为0,，且对一切0,0 xy都有()( )xff xfyy，当1x时，有( )0fx。（1） 求(1)f的值；（2） 判断( )fx的单调性并加以证明；（3） 若(4)2f，求( )fx在1,16上的值域 .答案: 单调增 ;0,4注意： 有关抽象函数单调性的证明通常立足定义精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 15 页 - -