轨迹方程的求法及典型例题含答案

1、轨迹方程的求法一、知识复习轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习例1:点P （-3, 0）是圆x2+y2-6x-55=0内的定点，动M与已知圆相切，且过点P,求圆心M的轨迹方程。例2、如图所示，已知P(4, 0)是圆#+戸=36内的一点，A.於是圆上两动点，且满足Z加=90° ,求矩形血的顶点0的轨迹方程.解：设初的中点为亿坐标为(x,力，则在RtAABP中，| ARPR.又因为R是弦初的中点，依垂径定理：在Rt伽中，|AR2=AO2- OR2=36- (+/) )又

2、|曲| = |丹|=厶-4尸+)，所以有(X4)2+戶36 (/+y),即 4x10=0因此点斤在一个圆上，而当斤在此圆上运动时，0点即在所求的轨迹上运动. 设Q(x,力，R(xi,yi),因为*是F0的中点，所以&二节总，儿=話2 代入方程H+戸一4 一10=0,得(字).宁-10=0整理得：+/=56,这就是所求的轨迹方程.例3、如图，直线Li和L2相交于点M, 4 L2,点N Ll以A, B为端点的曲线段C上的任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形，|AM|= , |AN| =3,且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.解法一：如图建立坐标系，以厶

3、为无轴，的垂直平分线为y轴，点0为坐标原点。依题意知：曲线段醍以点川为焦点，以厶为准线的抛物线的一段，其中儿分别为個端点。设曲线段邙勺方程为>?2 = 2PUP > °），（心< x <心,V > °）,其中xa.xb分别为，的横坐标,P=|MN|o 所以M （彳,0）,2（彳,0）由 AM= y17, AN = 3得（心+少+2心=17（1）（xa - y） + 2卩心=9（2）4由，两式联立解得P °再将其代入式并由p>0解得心或XA = 1£因为AMN是锐角三角形，所以>XA> =2,故舍去I心=2由

4、点在曲线段C上，得心斗3N| = 4。综上得曲线段倘方程为r=8x(l<x<4,y>0) 解法二：如图建立坐标系，分别以11、12为 轴，於为坐标原点。作AE丄1,AD丄"，BF丄I?垂足分别为仅D、F设 A(xa, %)、B(xb, yB) x N(xn, 0)=| ME |= DA 冃 AN |=3=| DM |= yj AM2 + DA 2 = 20由于AAMN为锐角三角形故有xn=ME + EN=| ME | +yjAM2 +AE = 4=| BE 冃 NB |= 6设点P(x,y)是曲线段C上任一点则由题意矢IP屈于集合 (x,y)(x-xN)2 + y2

5、 =x2,xa <x<xB,y>0 故曲线段C的方程y2 =8(x-2)(3<x<6,y >0)例4、巳知两点P(-2,2),0(0,2)以及一条直线心y=x9设长为血的线段曲在直线久上移动, 求直线刃和游交点"的轨迹方程.解：刃和仞的交点"O, y)随力、0的移动而变化，故可设A(y),B(r+l,r+l),t1则 y-2 = (x+2)(t-2),QB: y-2 = x(t -1).f+2t+1消去焉得X2-y2 +2x-2y + S = 0.当i=-2,或=一1时，刃与仞的交点坐标也满足上式，所以点"的轨迹方程是x2 -

6、y2 + 2x-2x-2y + S = 0.例5、设点力和为抛物线/=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知0A丄OB, 0M1AB, 求点"的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.解法一：设"(x,力，直线妙的方程为尸上r" 由 OMYAB,得 k=-y由 y-px 及 y=kxifb9 消去 y,得及£ + (2kb4p) a+A2=0所以xix2= ,乃府字，kk由0A丄OS,得乃乃=石屁所以平=纭，b=_4kpk k-故 y=kb=k (x 4p),得 y+/4px=0 (占 0)故动点"的轨迹方程为x+y 4pA=0 (jtO),

7、它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.h2 = 4/F解法二：设 AUi, yi),B(x2. jz) ,Mx, y)依题意，有'=4胳儿一)乙=y-比%! -X2 X _ X©IX，得yf 乃2二16卫比及代入上式有代入，得二=4=二所以 儿 + ）工 y入4p心，以2p为半径的圆,一得（乃一乃）（乃+乃）=4卩（石一卫）若亦2,则有21工=乂“-勺 儿+ >*2yij=16p2代入，得 =-+ 儿 ）4" _4p(y-yJ儿 + 为 4/zv-y/即4pxyf=y(yi+乃)一乃2_乃乃 、代入上式，得H+#4pr=0(xH0)当x产

8、屍时，ABLx轴，易得M4p,0）仍满足方程.故点的轨迹方程为074防0（占0）它表示以（2p,0）为 去掉坐标原点.轨迹方程（练习1）1. （08、山东文22）已知曲线q：巴+屮= ib>0）所围成的封闭图形的面积为a b运动时，求点M的轨迹方程；若M是厶与椭圆C,的交点，求的面积的最小值.解:仃)由题意得 ab 2y/5 =>«2 =5, b，=4=椭圆方程:<4=i.(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设AB所在直线万程为y = kx(kHO), A(兀”厂丄r _i由T+T = 1 y =匕20三_ 20/4 + 5R' ' "4

9、+ 5R2=>|0对=尤+必=20(1 + /)4+5R'设 M(x, y),由 |M0| = Aj0A|a 0)=>|M0|2= X20k2 x2 + y2 = A2 20(1 + ).4 + 5L因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为丫=代入上式有:ky当k存在且kO时，木磊，以=20疋4 + 5T20(1+ 巧4 + 5R'JJ二+匚1 由门：n对=20k25 + 4k2205 +4k2n|OM |2=20(1+ Q5 +4k21111_ 9=> d1|OA|2 |OM 20(1 + /)20(l + Q 204 + 5k25 + 4k220(1

10、+為x2 + y2 = ArL =4 + 5x 二)rAr 20( -, 由亍 + y，工 o n 5x2 + 4y2 = 20才，4y +当k = 0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为工+才=才，(入工0)45网爲命+审嗚n网x|o0罟Smmb = x2xOAxOB = OAxOB-,当且仅当4 + 5k2=5 + 4k2时，即1<=±1时等号成立.当 k = 0, Swb = x2怎x2 = 2>/5 > ;当A不存在时，S“ a仿=斗x巧x 4 = 2>/5 >善综上所述，AAMB的面积的最小值为空.92. (07、江西理21)设动

11、点P到点4(-1,0)和3(1,0)的距离分别为必和ZAPB = 28,且存 在常数几(0 V/1 <1),使得dd1 sin2 0 = A使丽 ON =09(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程;(2)过点B作直线与双曲线C的右支于M, N两点，试确定/I的范其中点O为坐标原点.解：(1)在中，|AB = 2 ,即 l2=d; + dl-2d,d2 cos2<9, 4 = a- dJ + 4仏 sin2 0 ,即陆_= J4_4仏 suf 8 = 2Jl_2 <2 (常数)，点P的轨迹C是以A B为焦点、,实轴长2f/ = 2>/n 的双曲线，方程为：-

12、= 1. 1 /t X-(2)设Mg, y) , Ng, y2)当MN垂直于x轴时，MN的方程为x = l,N(l,-1)在双曲线上.因为所以卡当MN不垂直于X轴时，y = k(x-l).丿=心一1)_(1 _2)-+ 2(1 -2)Z:2x-(1 -A)(k2 + A) = 0 ,由题意知：2 (1兄)0F+轡誥务占喘磐3yi>2 = 2Ui-1)(2-i) =k222-(l-2X2由丽顾=0,且M, N在双曲线右支上,V2 + yy2 = 0亡=所以< 兀+兀2 >0=><xLx2 > 0k2 >2(1-2)2z+2-l1-2W 刃 > =&

13、gt;<22+2-l1-2 =>U2+A-l>05/5-12由知W3. （09、海南）巳知椭圆c的中心为直角坐标系xo）的原点，焦点在x轴上，它的一个 顶点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点, M为过P且垂直于x轴的直线上的点，H = （e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.式代入愛+寻=1并整理得:） =±半（4K4）所以点M的轨迹是两条平行于x解：（I ）设椭圆长半轴长及分别为a, C.由已知得f "C = !7a=4, c = 3n椭圆C的方 a + c = l程为lo /（2）设 M

14、 （x, y）, P （,儿）.>r其中心 W 4, 4, x0=x.有 +4 = 1167OMx- + y16故16（尤+）£） = 9（亍+尸）【下面是寻找关系式xQ=f （x, y）,九= 的过程】0 =牙.又 ,112-7X2兀=轴的线段.轨迹方程（练习2）4. （09、重庆理）巳知以原点。为中心的椭圆的一条准线方程为）芈，离心率e = , M是椭圆上的动点.（1）若C、D的坐标分别是（0, J3）、（0, -V3）,求MC - MD的最大值;（2）如图，点A的坐标为（1, 0）,点B是圆x2 + /=l上的点，点N是点M（椭圆上的点）在x轴上的射影，点Q满足求线段QB

15、的中点P的轨迹方程.条件：OQ = OM +ON 9 QA BA=0=动点P的方程为：（兀一*）'=1.解：设椭圆方程为：二+占= l（a>b>0）.准线方程），=喫3 =乞， = f =£=>g = 2,c，=3二>b = l=> cr3 c 2 a椭圆方程为：X +書- = 1.所以：C、D是椭圆亍+宁=1的两个焦点=>|MC| + |MD|=4. MC|MQ|W （|MC 一也1）2=4,当且仅当|MC| = |MD|,即点M的坐标为（±1,0）时上式取等号二>|MC|MD|的最大值 为4.设 M（x,”,儿J,B（x

16、b,儿），0%）, N（xw,0）=4尤+元=4,对+）丐=1.由 OQ OM + ON=玮 + £=（2兀）+£=4=>（1一勺，一）1） （1_心,_）怯）=（1_%）（1_心）+ 九儿=0=>% 心+ 九几=xQ+xB-l记P点的坐标为儿），因为P是的中点=> 2xP =xQ + xB , 2）m + *二>心+丹=（一-）+（一-）=才（花+兀+兀+齐+2/+2凡九）113=-5 + 2（x +xB-l） = -（5 + 4» _2） n对 + y; = - + »444rnr5-（°9、安徽）巳知椭吟+计=】（

17、宀。）的离心率为亍以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆 与直线y=x+2相切.（1）求a与b的值;（2）设该椭圆的左，右焦点分别为仟和F一直线厶过耳且与x轴垂直，动道线厶与y轴垂直，厶交厶于点p.求线段PF、的垂直平分线与直线L2的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型b2 2又圆心(0, 0)到直线y=x+2的距离d=半径b= ,：.夕=2,宀3.寸+宁"(2)耳(-1, 0)、F2 (1, 0),由题意可设P (1, t) (tHO).那么线段戶耳的中点为N (0, i).厶的方程为：y=t,设M(心，)j)是所求轨迹上的任意点.【下面求直线MN的方程，然后与直线厶的方程联立，求交点

18、M的轨迹方程】直线PF、的斜率k= * ,线段PF,的中垂线MN的斜率=一 |. 所以：直线MN的方程为：消去参数t得：此=即:y2=-4x9其轨迹为抛物线(除原点).又解：由于顾=(-x, f-y),两=,i-y). VW.=0,消参数t得：y2 = -4x (xHO),其轨迹为抛物线(除原点).y = t6. (07湖南理20)巳知双曲线<-r = 2的左、右焦点分别为人，F,过点厶的动直线与双曲线相交于A B两 点.直接法求轨迹】_ _ _ _(1) 若动点M满足Fl = FA+FB+Ffl (其中。为坐标原点)，求点M的轨迹方程；(2) 在x轴上長否存在定点C,便C4CB为常数若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由.解:由条件知片(-2,0),代(2,0),设4(“ y) , Bg, M(x, y),则斥M = (x+2, y),Ffi = (x, + 2, yj,斥O = (2,0),x+2 = x1 + xz + 6.)'=)1 + 儿x_4 y由斥M =斤4 +片3 +存0=><x. + 乙=x-41 -二>43的中点坐标为+ 儿=FlA = (xl+2f y)、_ 、 -0 .当AB不与兀轴垂直时，上二上=丄召一兀 兀-4£x-8"1即 一儿=匕(兀一丕)又因为A B两点在双