2022年分部积分法教案

1、学习必备欢迎下载分部积分法教学目的：使学生理解分部积分法，掌握分部积分法的一般步骤及其应用。重点：分部积分法及其应用难点：在分部积分法中，要恰当的选取u 和 v 教学方法：讲练法0 回顾上几节课我们学习了不定积分的求法，要求我们熟记基本初等函数积分公式表熟练、灵活的运用第一换元积分法（凑微法）熟练、灵活的运用第二换元积分法。凑微法：实质是在被积函数中凑出中间变量的微分；dxxxfdxxf)( )()()()(xdxf)(xu令duuf)(cxfcuf)()(第二换元积分法：关键是通过适当的变量替换)(tx，使得难求的积分易求dtttfdxxftx)( )()()(令cf(x)c )()()(t

2、ftdtf1 引入用我们已经掌握的方法求不定积分xdxx cos分析：被积函数为两函数的乘积不是基本的积分公式。凑微法失效。xxcos第二类换元积分法解：不妨设txtxarccoscos则原方程dtttt211arccos更为复杂所以凑微法和第二换元积分法都失效。反之考虑，两函数乘积的积分不会，但两函数乘积的求导我们会，比如：（假设 u、 v 为两个函数）已知：)(uvvuvu精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载对上式两边积分得：dxuvvdxuuv移项得：vdxuuv

3、dxuv观察上式发现被积函数也是两函数乘积的形式，注意：dxuv中 v 为导数形式。故，我们可以尝试来解一下上面的积分。cxxxxdxxxxdxxxxdxxcossinsinsin )(sincos形式一样先要化的和要求积分的真是：山重水复疑无路，柳暗花明又一村。通过上面的方法，我们顺利的解决两函数乘积的积分。其实上面的公式正是这一节课要讲述的“分部积分法”。2 公式2.1 定理设函数)(xuu和)(xvv及都具有连续的导数，则有分部积分公式：vdxuuvdxuv（或vduuvudv）说明：两函数的积分等于将其中一个放在d 里后，里外相乘减去换位的积分。内外积减去换位“积”。步骤： a、放 d

4、 中， b、套公式。2.2 例 1 求不定积分xdxx sin解: xdxx sincxxxxdxxxdxxdxdxxsincoscoscos)(cossin套公式中放3 vu、的选取问题例 2 求不定积分xdxex解：dxxeexdexexxdexdxexxxxxx2222221212121)21(精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载容易发现使用分部积分公式后，变得更加复杂了，是我们的公式用错了吗？不妨换个角度看问题：cexedxexedexxdxexxxxxx发现问

5、题解决了，问题出在哪里？观察发现，这两种做法的不同之处在于把谁放在d 里，换句话说就是则样选择 u 和 v 的问题，由上面的例看出运用分部积分公式时恰当的选择u 和 v 是十分重要的，选对了可以轻松解题，选错了，轻则解题复杂，重则解不出结果。那么应该如何选取u 和 v 的呢？我们来看一下公式vduuvudv，要把 v 放在 d 中首先要对v 积分，所以v 要便于积分；而u 要进行求导，所以u 便于求导；实际上关键是v，v 定了， u 怎然定了。所以vu、选取的原则是：v 便于积分，u 便于求导。例 3 求不定积分xdxxln分析：对于x 和 lnx 来说明显的x 便于积分，故选lnx 做 u

6、cxxxxdxxxxdxxxxxdxdxx22222241ln2121ln21ln21ln21)21(lnln实际上在选取v 时是相对的， 两个函数中更便于积分的做v，我们列出了一个积分从难到易顺序：反、对、幂、三、指；一般在做题的时候我们选取后面的做v. 4 例题讲解例 4 求不定积分xdxln分析：此为一个函数的积分，当然不能使用凑微法、换元法积分，可是不满足两函数乘积，能否用分部积分公式呢？其实只需要将被积函数看作xln1即可。解：cxxxxxdxxxdxxdxlnlnlnlnln结论：学习数学重要的是记忆、理解公式，更重要的是灵活应用。例 5 求不定积分dxexx2精品学习资料 可选择

7、p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - -学习必备欢迎下载解：cexeexdxexeexdexexdxexexdexdxexxxxxxxxxxxxx2)(222222222再次使用分部积分公式结论：分部积分公式是可以重复使用的。例 6 求不定积分xdxexsin解：xdxexexexdxexexdexdxexxxxxxxsincossincossinsinsin好像进入了死胡同，实则不然，令ixdxexsin,则上式变为：cxexeixexeiixexeixxxxxx)cossin(21cossin2cossin则问题得以解决。故要灵