选修4_4坐标系与参数方程_知识点总结

1、专业word可编辑坐标系与参数方程知识点（一）坐标系1 平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点在变换二:；°0）的作用下点PS对应到点P（x；y）,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 ，简称伸缩变换2.极坐标系的概念（1）极坐标系MR円）如图所示，在平面内取一个定点 0,叫做极点，自极点0引一条射线Ox,叫做极轴；再选定一个长度单位, 一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向）,这样就建立了一个极坐标系注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景，而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景；平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系

2、，而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.（2）极坐标设M是平面内一点，极点0与点M的距离|0M|叫做点M的极径，记为:以极轴0灿始边射线0M为 终边的角 X0M叫做点M的极角记为有序数对（匚旳叫做点M的极坐标，记作M （匸门）.一般地，不作特殊说明时，我们认为r -0可取任意实数特别地，当点M在极点时，它的极坐标为（0,二）（二 R）.和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无数 种表示如果规定 t O 0 "宀：:2二，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（门）表示侗时，极坐标（门）表示的点也是唯一确定的3. 极坐标和直角坐标的互化（1）互化背景：把直角坐标

3、系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，如图所示：（2）互化公式：设M是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x, y）,极坐标是（A R_ 0）,于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：点M直角坐标（x，y）极坐标（P,0）x = P cos0P2 = x2 + y2互化公式y = Psi nBJytan日=丄（xh 0）L.x在一般情况下，由tanr确定角时，可根据点M所在的象限最小正角4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆CP = r（0E0 £2兀）圆心为（r,0）半径为r的圆°Q） 5jijiP = 2r

4、cos （_兰日 <）22兀圆心为（r,）,半径为r的圆2OJP = 2rsin日（0乞日c兀）兀圆心为（r,，）,半径为r的圆3OJP = 2rsin日（0兰日£兀）过极点，倾斜角为口的直线t/X?/ 1日=a（PE R）或日=兀+。严 R）（2）日=c（P >0）和+ o（P 兰0）过点（a,0），与极轴垂直的直线()JTJTPcos日=a(<0 <)22过点（a, 乂），与极轴平行的直线2'0*iPsin日=a(0<兀)注:由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即（：、宀）,（2二",（一凡二北,（一几一二 v）,都表示同一点的坐

5、标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少有一个能满足极坐标方程即可.例如对于极坐标方程? - 点M厂）可以表示为4 4il+i 1+i 1+i 1+il-f il-f5 :（,''2二、或（一,2：二、或（-,）等多种形式，其中，只有（一,）的极坐标满足方程：二二.4 44 4444 45. 圆与直线一般极坐标方程（1）圆的极坐标方程若圆的圆心为 M（0，r0），半径为r，求圆的极坐标方程设P（'，R为圆上任意一点，由余弦定理，得PM2 = OM 2 +OP 2 - 20M OPcosZ POM ,则圆的极坐标方程是：&

6、quot;需- 2 cos 二（2 ）直线的极坐标方程若直线I经过点M（，oJo）,且极轴到此直线的角为 a ,求直线I 的极坐标方程。0)9ap(pM( p, G)设直线I上任意一点的坐标为P（p, 0,由正弦定理，得：?0专业word可编辑XOPOMsin ZOMP = sin /OPM整理得直线I的极坐标方程为'sin 6、圆相对于极坐标系的几种不同的位置方程的形式分别为(a 0):a- 2acos- -2a cos-：二 2asin -：二-2a sin -：'二 2a cos(F专业word可编辑MP图6；二 2acos(v -:)6、直线相对于极坐标系的几种不同的位

7、置方程的形式分别为0sin八acost - -aP =cos（日一申）：0/eOsinp =cosQ -)(二)、参数方程1. 参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x, y都是某个变数t的函数x = f (t)，并ly=g(t)且对于t的每一个允许值，由方程组 所确定的点M(x, y)都在这条曲线上，那么方程 就叫做这条曲线的 参数方程,联系变数x, y的变数t叫做参变数,简称参数,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方 程叫做普通方程2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到

8、普通方程(2) 如果知道变数x, y中的一个与参数t的关系，例如x = f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参X 一 f (t)数的关系y=g(t),那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取j = g(t)值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3. 圆的参数如图所示,设圆0的半径为r,点M从初始位置 M0出发，按逆时针方向在圆0上作匀速圆周运lx = r cost动，设M (x,y)，则.(二为参数)。=r sin这就是圆

9、心在原点 0 ,半径为r的圆的参数方程，其中二的几何意义是 0M。转过的角度。（y -b）圆心为（a,b）,半径为r的圆的普通方程是（x_a）2x = a + r cosO它的参数方程为：（二为参数）。y = b +r si n 日4 椭圆的参数方程以坐标原点0为中心，焦点在X轴上的椭圆的标准方程2X+2ab2（a 0），其参数方程为x - a cos 1 -（9为参数），其中参数®称为离心角；y 二bsin焦点在y轴上的椭圆的标准方程是2 =1（a b 0）,其参数方程为a2 bbC0S （为参数）,y = asin 其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为 0 , 2二）。注：椭

10、圆的参数方程中参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角 :-区分开来，除了在四个顶点处,离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2二的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。JIg 兀但当0时，相应地也有0,在其他象限内类似。2 25 .双曲线的参数方程以坐标原点0为中心，焦点在X轴上的双曲线的标准议程为b2（a 0，b 0），其参数方程为xpsec（:为参数）,其中0,2 二）且 J焦点在y轴上的双曲线的标准方程是2y2ay =bta n22x2 = 1（a0,b0）,其参数方程为b21 x = b cot :x.（为参数，其中（0,2 二）e&二y = ac

11、sc以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6 .抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线2y = 2 px( p .0)的参数方程为；鳥（t为参数）.7 .直线的参数方程经过点 Mo(xo, yo),兀倾斜角为C =）的直线I的普通方程是y - y0 = tan （x-沧），而过x = x0 tcos：” 厶，Mo（Xo, yo）,倾斜角为:-的直线I的参数方程为（t为参数）。y = yo +tsi net注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点Mo（x。，y。），倾斜角为:的直线I的参数方程为X =沟 tcos： y 二 yo tsin :-（t为参数），其中t表示直线I上以定点M

12、o为起点，任一点M （x, y）为终点的有向线段MoM的数量，当点M在Mo上方时，t > o;当点M在M o下方时，t v o;当点M与M o重合时，t =o。我们也可以把参数 t理解为以Mo为原点，直线I向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同其中参数t是以定点P （Xo, yo）为起点，对应于t点M （x，y）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P与点M间的有向距离.根据t的几何意义，有以下结论.设A、B是直线上任意两点，它们对应的参数分别为tA和to，贝U AB = tB -tA =,（tB _tA）" 4tA tB .线段AB的

13、中点所对应的参数值等于三）例题鉴赏例1 （2oi2湖北）（23）（本小题满分io分）选修4-4 :坐标系与参数方程2 2 2 2在直角坐标xOy中，圆Ci : x y 4，圆C?: （x -2） y 4。（I）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆Ci,C2的极坐标方程，并求出圆Ci,C2的交点坐标（用极坐标表示）；（n）求出Ci与C2的公共弦的参数方程。C23 ）（ 1胳翻氏的极空标方程为# = 2*剧G 的极坐标方稈 p 4 cos& .:tosa 得PC 几士P八 65)虫).】0分故圆G与圆q交点的坐标为（2, 少"（2, 一与” 注*极坐标系F点的表

14、示不唯一.< D ） C解法一X = peasff, 捋圆&与Q交点的直角坐标分别为（C1 y p sin ©故週G与。的公共弦的参数方理为 &二;-V3CV3（或參数方程写成：二;-V3yV3 ）解法二）将工=丄代入卩二”"此得pssB = l.夙而ly psin 0P = cosG '于是画G与G的公共弦的参数方程为-y </?<y ,10分例2 （坐标系与参数方程）直线2cosv-1与圆=2cos相交的弦长为 ；321解析：化极坐标为直角坐标得直线X二，圆（x -1）2 y2 =1,由勾股定理可得相交弦长为2例3 （陕西文17

15、）直角坐标系xOy中，以原点0为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A, B分别在曲线C:? =1 上,则| AB |的最小值为3 C0"（，为参数）和曲线C2 :y = si n分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程2 2 2 2解】曲线G的方程是（x-3） y =1 ,曲线C2的方程是x y =1,两圆外离，所以| AB |的最小值为、3202 -1 -1 =1 X = _1 +tcos°例4 （浙江理科）已知直线丨,（t为参数，。为I的倾斜角，且0 v兀）与曲线y =tsi n。x =呵2 cos甘C :丿（日为参数）相交于A、B两点，点F的坐标为（1,0）j =sin 日(1 )求 ABF的周长；(2)若点E(-1,0)恰为线段AB的三等分点，求 ABF的面积。2 解：(1)将曲线C消去二可得：y2 =1，直线丨过曲线C的左焦点F1,0),2由椭圆的定义可知 ABF 为 | AB| | AF | |BF F|AF|BF |AF| BF |=(| AF | | AF