通项公式及其求和方法归纳

1、通项公式及其求和方法归纳【递推公式求通项式】已知数列的递推公式，求取其通项公式是数列中一类常见的题型，这类题 型如果单纯的看某一个具体的题目，它的求解方法灵活是灵活多变的，构造的 技巧性也很强，但是此类题目也有很强的规律性，存在着解决问题的通法，本 文就高中数学中常见的几类题型从解决通法上做一总结，方便于学生学习和老 师的教学，不涉及具体某一题目的独特解法与技巧。一、ani an f(n)型数列，(其中f(n)不是常值函数)此类数列解决的办法是累加法，具体做法是将通项变形为ani an f(n)，从而就有a2 ai f (1), a3 a? f (2), K , a. a. i f (n 1)

2、.将上述n 1个式子累加，变成an ai f (1) f(2) K f (n 1)，进而求解。 例 1.在数列a.中,a1 2,an 1 an 2n 1,求an.类似题型练习：已知an满足ai小小1an 1 an-、1，n(n 1)求an的通项公式ani an f(n)型数列，(其中f(n)不是常值函数)an 1an此类数列解决的办法是累积法，具体做法是将通项变形为f (n)，从而就有a3a2将上述n 1个式子累乘，变成色ai例2.已知数列an中ai丄，an3f(1),更 f(2), K K ,旦-an 1f(1)2n 32n 1f(n1)f(2) Kan i(nf(n1)，进而求解。2)，求

3、数列an的通项公式。精选类似题型练习：在数列an中,an >0, ai2,n a“2(n1)ani2an咼，求an.提示：依题意分解因式可得(n 1)an i nan(ani务)0,而an >0,所以(n 1)an i nan 0，即 。ann i三、an i pan q型数列此类数列解决的办法是将其构造成一个新的等比数列，再利用等比数列的性质进行求解，构造的办法有两种，一是待定系数法构造，设ani m p(an m)展开整理an i pan pm m，比较系数有pm man 是等比数列，公比为P，首项为 p ian i pan q ， an pan i公比为p的等比数列。例3.在

4、数列an中，aiq，两式相减有b aiP ian i anb，所以m ，所以P i二是用做差法直接构造,p(an an i)，所以 an i an是i，当n 2时，有an3an i 2，求an的通项公类似题型练习：已知数列an 满足 ai i,an i 2an i(n N ).求数列 a“ 的 通项公式.四.an 1 pan 1n型数列（p为常数）此类数列可变形为勺1勺fnn1，则勺可用累加法求出，由此求得PPPPan -例4已知数列an满足 a11,an 1 3an 2n 1,求 an.1例5.已知数列an满足ai 1当n 2时,a. -an 1 2n 1,求2类似题型练习：（1）已知 an

5、 满足 a12,an1 2a.2n 1，求 an。（2） 已知数列an , Sn表示其前n项和，若满足Sn an n2 3n 1，求数 列an的通项公式。提示：（2）中利用anSSnn 1Sn 1, n2,把已知条件转化成递推式Aanan ""-五、 Ban C型数列（A,B,C为非零常数）这种类型的解法是将式子两边同时取倒数，把数列的倒数看成是一个新数列，便可顺利地转化为an 1 pan q型数列。例6.已知数列an满足a1 2,am公匚，求 .an 2类似题型练习：数列an中，an 12n 1 a八严2，求a"的通项类似题型练习：已知数列an满足,2,an+

6、2=乩严2构造等比数2，求 an.六.an 2 pan 1 qan型数列(p, q为常数)这种类型的做法是用待定糸数法设an 2 am am an列。例 7.数列 an 中，ai 2,a2 3,且 2an an 1 an 1 n N ,n令bn an1 an，证明：bn是等比数列;(n)求aJ的通项公式数列通项求法2r七、对数变换法适用于an 1pan(其中p,r为常数)型p>0 ，an 0设正项数列an满足a1,an 2an 1 (n>2).求数列an的通项公式.an2n 1 122 1数列an中,2 22 n答案：an 2练习1 an2Wn1 (n>2),求数列an的通项

7、公式.2、对无穷递推数列例已知数列an满足a11,ana12a2 3as L (n 1応 1(n 2)，求an的通项公式。八：形如an 1a an bc an d分析：递归函数为f(x)c(1)若有两个相异的不动点x dp,q时,将递归关系式两边分别减去不动点p,q ,将两式相除得an 1an 1kJ ,其中k z ,an qa qcanq pq)kn 1 佝 p pq) p)kn 1 佝 q)(2)若有两个相同的不动点 p,则将递归关系式两边减去不动点p,然后用1除,an 1 pk，其中kan p2ca d例设数列an满足a12,an14'求数列的通项公式-4 3n 124 3n 1

8、1 .例 已知数列an满足an 121a24亠一,a1 4，求数列an的通项公式。4an 1练习1:已知an满足a12, an也二(n 2)，求an的通项an2an i 1答案：3n ( 1)n an3n ( 丫0练习2已知数列a.满足ai2, an 12an 1(n N*)，求数列an的通项a4a n 6答案:13 5nan 10n 6数列求和一、利用常用求和公式求和等差数列求和公式:Snn(aian)2nain(n 1)d2(q 1)2、等比数列求和公式:Sna1 (1nq )qanqOh1 q(q 1)Snk 11k n(n 1)、Snk2k 11n(n 1)(2 n 1)6二、错位相减

9、法求和 这种方法是在推导等比数列的前 nbn的前n项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列。项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列a n 例3求和:Sn 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由题可知，(2n 1)xn1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列 xn 1 的通项之积设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn (设制错位)一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn(错位相减)1 n 1再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x(2n 1)xn1 xSn(2n 1)xn 1 (2n 1)x

10、n (1 x)(1 x)2例4求数列2,_4笃，算 前n项的和.2 2 2 2 3 2 nn 22n i练习：求：S=1+5x+9x2+(4n -3)xn-1三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前 n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到 n个(ai an).例 5求证：C0 3C； 5C2(2n1)C； (n 1)2n证明：设 Sn C0 3c： 5C2(2n 1)C；.把式右边倒转过来得Sn(2n 1)C； (2n 1)C： 13c： C：(反序)又由cm C：m可得Sn(2n 1)C0(2n1)C：3C； 1C；. + 得2Sn (2n2)

11、(C0 C1C： 1C：)2(n 1) 2n(反序相加)Sn (n 1) 2n例 6求 sin21sin2 2 sin2 3sin2 88 sin2 89 的值例 12 求 cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° 的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可 分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可1 1 1例7求数列的前n项和：1 1,1 4,4 7,，讣3n 2，a aa1 1 1 1练习：求数列12,24,38,?,(

12、n 2?),?的前n项和。五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解(裂项)如：ann(n 1) n n 11例9 求数列,1V2 J2,的前n项和.1例10在数列an中，an1，又 bn22，求数列b nan an 1的前n项的和.练习例1:求下列数列的前n项和:(3)1,2,8，V1 1 1_91 5'3 7'5(2n 1) (2n3)1 1(5)1,1 2,1 24l,(1212* 11 数列an的前n项和为Sn，若 an2.an的通项an，则 S100一 n 1 一 n3.数列an满足:an ( 2)n 2n 1,求前 n 项和 Sn4、若函数X1f (x),求 f(1) f(2) L f(2008)f(1 x2001f(20o7 Lf(1) ?5. 10029929