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1、 第二章 第三节随机变量的函数及其分布本节讨论随机变量的函数及其分布问题。设为一给定的连续函数，已知随机变量的分布，其函数也是一随机变量。( )g xX()Yg X下面通过例题讨论如何通过已知随机变量的概率分布来求其函数的概率分布。X()Yg X例例1：设离散型随机变量的分布律为XX-1010.20.30.5ip求求（1）的分布律；（）的分布律；（2）的分布律。）的分布律。3YX2YX解:31110.2P YP XP X （1）的可能取值为1，0，1，显然有：3YX30000.3P YP XP X31110.5P YP XP X则的分布律为3YX3YX-1010.20.30.5ip（2）的可能

2、取值为0，1，且：2YX20000.3P YP XP X211110.7P YP XP XP X 则的分布律为2YX2YX010.30.7ip一般地，设离散型随机变量的分布律为XXiP Xx1x2xnx1p2pnp则的可能取值为()Yg X12( ), (), (),ng xg xg x如果的值全不相等，则的分布律为( )ig x()Yg X()Yg XP1( )g x2()g x()ng x1p2pnp如果的值中有些相等，则相应将其概率合并。( )ig x例例2：设连续型随机变量的概率密度函数为,X( )Xfx试求的概率密度函数。( )Yfy(0)YaXb a解解: 先求分布函数Y( )YF

3、y( )YFyP YyP aXbyP aXyb当时0a ( )( )dy baYXybFyP Xfxxa因此1( )( )YYXybfyFyfaa当时0a ( )1YybybFyP XP Xaa 因此1( )( )YYXybfyFyfaa 1( )dy baXfxx 将两个结果合起来可得:1( )YXybfyfaa一般地，对于连续型随机变量，有以下结论。定理定理2.3.1 设连续型随机变量的概率密度函数X为，又设是处处可导的单调函数( )Xfx( )yg x（即或），则是( )0g x( )0g x()Yg X连续型随机变量，且的概率密度函数为Y ( )( ) ,( )0,XYfh yh yyfy其他的最小值，是 的最大值。（证略）其中是 的反函数，是( )xh y( )yg x( )yg x( )yg x例例3：设连续型随机变量的概率密度函数为X1,11( )0,Xxxfx 其他求随机变量的分布函数与概率密度函数。21YX解解:X的取值范围为(1,1)，则的取值范围为Y1，2),当时，的分布函数12yY2( )1YFyP YyP Xy 11PyXy 11101d21dyyyxxxx2120(1)111yxy 10( )21dyY

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