高等数学(上)重要知识点归纳(word文档物超所值)

1、1高等数学（上）重要知识点归纳第 1 章 函数、极限与连续1、极限的定义与性质1、定义（以数列为例）lim xna0, N , 当 nN 时， | xna |n2、性质(1) limf ( x) Af ( x)A(x) ，其中 ( x) 为某一个无穷小。x x0(2)(保号性）若 lim f (x)oA0 ，则0, 当 xU ( x0 , ) 时，x x0f (x)0 。(3)* 无穷小乘以有界函数仍为无穷小。2、求极限的主要方法与工具1、* 两个重要极限公式(1)lim sin1(2)lim (1 1 ) e02、两个准则(1)* 夹逼准则(2)单调有界准则3、* 等价无穷小替换法常用替换：

2、当0 时（1) sin （2） tan（3） arcsin（4) arctan（5） ln(1) （6） e1 （7）1 cos 1 2（8） n 11 n224、分子或分母有理化法5、分解因式法6 用定积分定义3、无穷小阶的比较 *高阶、同阶、等价4、连续与间断点的分类1、连续的定义 *f (x) 在 a 点连续limy0lim f ( x)f (a)f (a )f (a )f (a)x0xa可去型（极限存在）第一类跳跃型（左右极限存在但不相等）2、间断点的分类无穷型（极限为无穷大）第二类震荡型（来回波动）其他3、曲线的渐近线 *(1)水平渐近线：若 limf ( x)A, 则存在渐近线：

3、yAx(2)铅直渐近线：若 limf ( x),则存在渐近线： xax a5、闭区间连续函数性质1、最大值与最小值定理2、介值定理和零点定理3第 2 章 导数与微分1、导数的概念1、导数的定义 *y |x af (a)dy |x alimylim f (ax)f (a)limf (x)f (a)dxx 0xx 0xx axa2、左右导数左导数右导数f(a)limylimf ( x)f (a)x 0xx axaf(a)limylimf (x)f (a)x 0xx axa3、导数的几何意义 *y |x a曲线 f ( x)在点（ a, f (a)处的切线斜率 k4、导数的物理意义若运动方程： ss

4、(t)则s (t)v(t )(速度）,s (t)v (t)a(t) (加速度）5、可导与连续的关系 :可导连续，反之不然。2、导数的运算1、四则运算 (uv) uv(uv) u v uv(u )u v2uvvv2、复合函数求导设 yf (x) ，一定条件下 dydy duyu uxdxdu dx3、反函数求导设 yf ( x)和xf 1( y) 互为反函数，一定条件1下： yxxy44、求导基本公式 * （要熟记）5、隐函数求导 *方法：在 F ( x, y)0 两端同时对 x 求导，其中要注意到： y 是中间变量，然后再解出y6、参数方程确定函数的求导 *设 xx(t) ，一定条件下yy(t

5、)( yt )tdyytdyxxtyt xtyt xt（可以不记）yxdxxt , yxdxxt( xt )37、常用的高阶导数公式（1） sin( n) xsin( xn), (n0,1,2.)2（2） cos( n ) xcos(xn), ( n0,1,2.)2（3） ln ( n ) (1x)( 1)n1(n1)n! , (n12.)(1x)（4） ( 1 ) n(1)n nn!1 , (n0,1,2.)1x(1x)n（5）（莱布尼茨公式） (uv)( n)Cnku( n k ) v(k )k03、微分的概念与运算1、微分定义*若 y A x o( x) ，则 y f ( x)可微，记

6、dy A x Adx2、公式： dyf ( x)xf ( x)dx3、可微与可导的关系 *两者等价4、近似计算当 | x | 较小时， ydy ， f ( x)f ( xx)f ( x)x5第 3 章 导数的应用1、微分中值定理 *1、柯西中值定理 *(1) f ( x)、g( x)在 a,b上连续(2) f ( x)、 g( x)在(a,b)内可导（3） g( x) 0,则：（a, b), 使得：f ( )f (b)f (a)g ( )g(b)g( a)当取 g( x)x 时，定理演变成：2、拉格朗日中值定理 *（a, b), 使得： ff (b)f (a)( )f (b) f (a) f

7、( )(b a)ba当加上条件 f (a)f (b) 则演变成：3、罗尔定理 *（a, b), 使得： f ( ) 04、泰勒中值定理在一定条件下：f (x) f (x0 )f (x0 )(xx0 ) .f ( n ) (x0 ) (xx0 )nRn (x)n!其中 Rn ( x)f ( n 1) ( ) ( xx0 ) n 1o( x x0 )n ),介于 x0、x 之间 .( n1)!当公式中 n=0 时，定理演变成拉格朗日定理.当 x00 时，公式变成 :( n )f(0)5、麦克劳林公式f (x)f (0)f (0) x.xnRn ( x)66、常用麦克劳林展开式（1） ex1xx22

8、!（2） sin xxx33!（3） cosx1x22!1xn(n ).oxn!x5.( 1)n 1x2 n 1(x2n )5!( 2no1)!x4.(1)nx2no(x2 n 1 )4!(2n)!（4）ln(1x2x3( 1)n 1xn(n )x) x3.o x2n2、罗比达法则 *记住：法则仅能对 0 ,型直接用，对于 0,1 ,00, 0,转0化后用 .幂指函数恒等式 * f geg ln f3、单调性判别 *1、 y0y,y0y2、单调区间分界点：驻点和不可导点.4、极值求法 *1、极值点来自：驻点或不可导点（可疑点）.2、求出可疑点后再加以判别.3、第一判别法：左右导数要异号，由正变

9、负为极大，由负变正为极小 .4、第二判别法：一阶导等于0，二阶导不为 0 时，是极值点.正为极小，负为极大 . 5、闭区间最值求法 *7找出区间内所有驻点、不可导点、区间端点，比较大小.6、凹凸性与拐点 *1、 y0y,y0y2、拐点：曲线上凹凸分界点( x0 , y0 ) .横坐标 x0 不外乎 f (x0 )0,或f (x0 )不存在 ，找到后再加以判别x0 附近的二阶导数是否变号.7、曲率与曲率半径1、曲率公式2、曲率半径K| y |3(1y 2 ) 21RK8第 4章不定积分1、不定积分的概念 *若在区间 I 上， F (x)f ( x), 亦dF (x)f ( x)dx ，则称 F

10、( x)为f ( x)的原函数 .称全体原函数 F(x)+c 为 f(x) 的不定积分，记为f ( x)dx .2、微分与积分的互逆关系1、f ( x)dxf ( x)d f ( x) dxf ( x)dx2、f( x)dxf ( x) cdf ( x)f ( x) c3、积分法 *1、凑微分法 *2、第二类换元法3、分部积分法 *udvuvvdu4、常用的基本积分公式 (要熟记 ).第5章定积分bn1、定积分的定义af ( x) dx limf ( i ) xix 0i 12、可积的必要条件有界 .3、可积的充分条件连续或只有有限个第一类间断点或单调.4、几何意义定积分等于面积的代数和.95

11、、主要性质 *1、可加性bcbaacb2、估值 在a,b 上， m(ba)af ( x)dxM (ba)3、积分中值定理 *当 f(x)在a,b 上连续时：baf ( x)dxf ( )(ba), a, bbf ( x) dx4、函数平均值：aba6、变上限积分函数 *1、 若 f ( x)在 a,b连续，则 F (x)xxa f (t )dt可导，且 a2、 若 f ( x)在 a,b连续， ( x)可导，则： a（ x）f (t )dt f (t )dt f ( x)f (x)( x)7、牛 -莱公式 *bf ( x)dx f ( x)dx |bF (b) F ( a)若 f ( x)在

12、a, b连续，则aa8、定积分的积分法 *1、换元法牢记：换元同时要换限2、分部积分法3、特殊积分bba udvuv |baa vdu（1）a0,当 f ( x)为奇函数时a f ( x)dxa2 f ( x) dx,当f ( x)为偶函数时0（2）当 f(x)为周期为 T 的周期函数时：a nTTaf ( x) dxn 0 f ( x)dx, nZ（3）一定条件下 :xf (sin x) dxf (sin x)dx02010(n 1)!，n是正奇数时（4）02 sinnxdx02 cosn xdxn!(n 1)! ， 是正偶数时！nn !2（5）0 sin nxdx2 02 sin n xd

13、x9、反常积分 *1、无穷区间上f ( x)dxlimxf (t )dtF ( x) |aF ()F (a)其他类似aax2、p 积分： a1dx(a0) :p1时收敛x pp时发散13、瑕积分：若 a 为瑕点：blimb( )() |b()()则( )dxdtxa其他类似处理a f xxaxf tFaF bF第六章定积分应用1、几何应用1、面积Aby上 - y下） dx（a（1）bA（ax右 - x左） dy（2）C:xx(t ) , (t), 则 A| y(t ) x (t ) | dtyy(t )C :( ),与，（)围成图形面积（3）12A2（ ）d2、体积 *（1）旋转体体积 * Vxbdbay2 dxVycx2 dy或 Vy 2 a xy dx（2）截面面积为 AA(x) 的立体体积为bVa A( x)dx113、弧长b（1） s a1 y 2 dx( a x b)（2） sx 2 (t )y 2 (t )dt ,(t)（3） s22)d ,(二、物理应用1、变力作功一般地：先求功元素： dwF (