弧长地公式、扇形面积公式及其应用

1、【本讲教育信息】一. 教学内容：弧长及扇形的面积圆锥的侧面积二. 教学要求1、了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会运用公式解决具体问题。2、了解圆锥的侧面积公式，并会应用公式解决问题。三. 重点及难点重点：1、弧长的公式、扇形面积公式及其应用。2、圆锥的侧面积展开图及圆锥的侧面积、全面积的计算。难点：1、弧长公式、扇形面积公式的推导。2、圆锥的侧面积、全面积的计算。知识要点知识点1、弧长公式因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长O 2jR,所以1°的圆心角所对的弧长是即兀R| _ nirR，于是可得半径为 R的圆中，n°的圆心角所对的弧长I的计算公式：丨；1

2、' 说明：(1)在弧长公式中，n表示1°的圆心角的倍数，n和180都不带单位“度”， 心丄 x20°*l(k 例如，圆的半径R= 10,计算20°的圆心角所对的弧长 I时，不要错写成(2)在弧长公式中，已知 I , n, R中的任意两个量，都可以求出第三个量。知识点2、扇形的面积如图所示，阴影部分的面积就是半径为是它所在圆的面积的因为圆心角是R,圆心角为n°的扇形面积，显然扇形的面积 360。的扇形面积等于圆面积：，所以圆心角为1 °的扇形面积是 ，由此得圆心角为I 顺R又因为扇形的弧长 1，扇形面积n°的扇形面积的计算公式是

3、所以又得到扇形面积的另一个计算公式:知识点3、弓形的面积(1) 弓形的定义：由弦及其所对的弧(包括劣弧、优弧、半圆)组成的图形叫做弓形。(2) 弓形的周长=弦长+弧长(3)弓形的面积如图所示，每个圆中的阴影部分的面积都是一个弓形的面积，从图中可以看出，只要把扇形OAmB勺面积和 AOB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积。1 所示，' 7 r _ -当弓形所含的弧是劣弧时，如图当弓形所含的弧是优弧时，如图当弓形所含的弧是半圆时，如图2所示,3所示,则图中阴影部分的面积是()(结果用:,表示)例：如图所示，O O的半径为2 ,/ ABC= 451分析：由图可知-.-、由圆周角定理可

4、知/ ABC=亠/ AOC所以/ AOC=2 / ABC= 90 °，所以 OAC是直角三角形，所以所以 二=- -注意：(1)圆周长、弧长、圆面积、扇形面积的计算公式。圆周长弧长圆面积扇形面积公 式C = 2RC = d沪n360S= nR.2s= 用360S= -IR2(2)扇形与弓形的联系与区别(2)扇形与弓形的联系与区别图 示 W4WmW面 积% =*印屯恳匚磁七比知识点4、圆锥的侧面积圆锥的侧面展开图是一个扇形，如图所示，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，陰=/ 2 =那么这个扇形的半径为I，扇形的弧长为2，圆锥的侧面积，圆锥的全面积=訥+册=肝（i +"说明

5、：（1）圆锥的侧面积与底面积之和称为圆锥的全面积。（2）研究有关圆锥的侧面积和全面积的计算问题，关键是理解圆锥的侧面积公式，并 明确圆锥全面积与侧面积之间的关系。知识点5、圆柱的侧面积圆柱的全面积圆柱的侧面积展开图是矩形， 如图所示，其两邻边分别为圆柱的高和圆柱底面圆的周长, 若圆柱的底面半径为r，高为h，则圆柱的侧面积_ r *，S金=+S慝 2 肝必+2 / = 2w（ft+r）知识小结：圆锥与圆柱的比较名称图形f1 I111 n1DhJ站C圆锥圆柱Dc图形的形成过程由一个直角三角形旋转得到 的，女口 Rt SOA绕直线SO旋 转一周。由一个矩形旋转得到的， 如矩形ABCD 绕直线AB旋转

6、一周。图形的组成 侧面展开图的特征一个底面和一个侧面两个底面和一个侧面面积计算方法扇形百初 7n l- S s + Sg. - ra-! + nr矩形-SQ +- Zrarh + 2血【典型例题】例1.（2003.辽宁）如图所示，在同心圆中，两圆的半径分别为2, 1，/ AOB= 120°,则阴影部分的面积是（）4JA一兀A.叮B打C. jD. r分析：阴影部分所在的两个扇形的圆心角为:汀_丁厂i二-240_240* o -k = S1 Si = it x 2 x x 1 = 2 jl所以''“_L_故答案为：B.例2. （2004 陕西）如图所示，点 C在以AB为直

7、径的半圆上，连接 AC, BC, AB= 10厘3米，tan / BAC=二，求阴影部分的面积。分析：本题考查的知识点有：（1）直径所对圆周角为90°,（ 2）解直角三角形的知识（3）组合图形面积的计算。解：因为AB为直径，所以/ ACB= 90°,3££在 Rt ABC中，AB= 10, tan / BAC= -，而 tan / BAC= J_设BC= 3k, AC= 4k,（ k不为0,且为正数）由勾股定理得 '-.“：S1ABC =1x6x8 = 24所以所以例3.BC= 6, AC= 8,，而I 二 ：2$右阴崑=S半囲叫啟 =丁 兀_

8、24（2003.福州）如图所示，已知扇形 AOB勺圆心角为直角，正方形 OCD吶接于扇形AOB点C, E, D分别在 OA OB及AB弧上，过点A作AF丄ED交ED的延长线于 F,垂足为F, 如果正方形的边长为 1,那么阴影部分的面积为（）分析： 连接 0D,由正方形性质可知/EOD=Z DOC= 45 °，在 Rt OED中，OA_2',因为正方形的边长为 1,所以OE= DE= 1,所以r ，设两部分阴影的面积中的一 部分为M,另一部分为N,则一y，阴影部分面积可求，但这种方法较麻烦，用割补法解此题较为简单，设一部分空白面积为P,因为/ BOD=Z DOC所以叶辭0D &

9、#176;所I】陋 + SiOED =卩十'-'LOCD* 所U弘购=-n0CD所以M= P,所以站蚤皿 + N = P + N = Smcaji)=Smoafe- S£oci)e = OE DA - OE 答案：l - o例 4.如图所示，直角梯形 ABCD中，/ B= 90°, AD/ BC, AB= 2, BC= 7, AD= 3,以 BC 为轴把直角梯形ABCD旋转一周，求所得几何体的表面积。分析：将直角梯形ABCD绕BC旋转一周所得的几何体是由相同底面的圆柱和圆锥组成的， 所得几何体的表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和底面积三者之和。解：作DHL

10、 BC于H,所以DH= AB= 2CH= BC- BH= BC- AD= 7-3= 4在厶CDH中,CD = a/dHCH3 二 JF+47-2厉所以：扌：；汽！-?F-' - : 3 _ - -z - , :j.-例5. (2003.宁波)已知扇形的圆心角为120°,面积为300平方厘米(1) 求扇形的弧长。(2) 若把此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积是多少？公式分析:口求得。(1)由扇形面积公式R,扇形的弧长可由弧长(2 )由此扇形卷成的圆锥如图所示，这个圆锥的轴截面为等腰三角形ABC ( 1)问中求得的弧长是这个圆锥的底面圆周长，而圆周长公式为C= 2ir,底

11、面圆半径r即CD的长可求，圆锥的高AD可在Rt ADC中求得，所以”可求。解：(1)设扇形的半径为 R,= iR2 300jc = nR2由二 ，得G ，解得R= 30.1n D 1201 如初1 = 一 iR =x30 = 20jt所以扇形的弧长 1-1；.（厘米）。（2）如图所示，在等腰三角形 ABC中, AB= AC= R= 30, BC= 2r,底面圆周长 C= 2 r, 因为底面圆周长即为扇形的弧长，所以一 T：上工上:在 Rt ADC中，高 AD= AC-CD2 =7302-102 =20/2$= 1aD*BC = 1x2072x20 = 20。返所以轴截面面积_二（平方厘米）。【

12、模拟试题】（答题时间：40分钟）、选择题1.2.若一个扇形的圆心角是A. 4B. 2 ''扇形的圆心角是60 ° ,145°，面积为2 j,则这个扇形的半径是（C. 47 jD. 2 J则扇形的面积是所在图面积的（1 1JI3.A. 1扇形的面积等于其半径的平方，则扇形的圆心角是（180°360°B. r.'C. .D二A. 90 °B. j.C.两同心圆的圆心是 O,大圆的半径是以 OA OB分别交小圆于点D.1804.是小圆半径的3倍，则扇形 OAB的面积是扇形 OMN勺面积的（A. 2倍B. 3倍C. 6倍D. 9

13、倍5. 半圆O的直径为6cm,/ BAC= 30°,则阴影部分的面积是（3开_ 2筋上楓2B.N .已知大圆半径A. (12托-9筋)沏C. -D.6用一个半径长为6cm的半圆围成一个圆锥的侧面，则此圆锥的底面半径为（A.2 cm4cm7.B.3cm)C.D. 6cm圆锥的全面积和侧面积之比是3 :A. 30°2,这个圆锥的轴截面的顶角是（）B. 60°C.90°8.1 : 2，则它们的高之比为（D. 120已知两个母线相等的圆锥的侧面展开图恰好能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为 ）A. 2 : 1 229.如图，在 侧面积为Si,以A. S i = S

14、2B. 3 : 2D. 5 :ABC中，/ C = Rt/, AC > BC,若以AC为底面圆半径，BC为高的圆锥的BC为底面圆半径，AC为高的圆锥的侧面积为 $,则（）B. S 1 > S 2C. S 1 < S 2 D. S 1、S2的大小关系不确定二、填空题1. 扇形的弧长是12刃cm,其圆心角是90°,则扇形的半径是cm ,扇形的面积是cm2.2. 扇形的半径是一个圆的半径的3倍，且扇形面积等于圆面积，则扇形的圆心角是23. 已知扇形面积是12cm，半径为8cm,则扇形周长为4在厶ABC中，AB= 3, AC= 4, / A= 90 ° ,把Rt

15、ABC绕直线AC旋转一周得到一个圆锥，其全面积为 S;把Rt ABC绕AB旋转一周得到另一个圆锥，其全面积为S,贝U Si： S25. 一个圆柱形容器的底面直径为2cm,要用一块圆心角为 240。的扇形铁板做一个圆锥形的盖子，做成的盖子要能盖住圆柱形容器，这个扇形的半径至少要有cm。A6. 如图，扇形AOB的圆心角为60°,半径为6cm, C, D分别是的三等分点，则阴影部分的面积是。7. 如图正方形的边长为2,分别以正方形的两个对角顶点为圆心，以2为半径画弧，则阴影部分面积为三、计算题A1. 如图，在 Rt ABC中，AC= BC，以A为圆心画弧，交AB于点D,交AC延长线于 点F,交BC于点E,若图中两个阴影部分的面积相等，求AC与AF的长度之比（貝取 3）。2. 一个等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）的侧面积是S,另一个圆锥的侧面积是 Sa,A如果圆锥和圆柱等