2022年初三上学期圆知识点和典型基础例题复习

1、学习必备精品知识点第三章：圆一、圆的概念集合形式的概念： 1 、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线圆弧（简称：弧） ：圆上任意两点的部分弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径）如图所示，以a，b为端点的弧记做ab，读作： “圆弧 ab ”或者“弧ab ” ；线段 ab是o

2、的一条弦，弦cd是o的一条直径；【典型例题】例 1有下列四个命题：直径是弦；经过三个点一定可以作圆；三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；半径相等的两个半圆是等弧其中正确的有（） a4 个 b 3个 c 2 个 d 1 个例 2点p到o上的最近距离为cm3，最远距离为cm5，则o的半径为cm二、点与圆的位置关系1、点在圆内dr点c在圆内；2、点在圆上dr点b在圆上；3、点在圆外dr点a在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离dr无交点；2、直线与圆相切dr有一个交点；3、直线与圆相交dr有两个交点；drd=rrdrddcbao精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -

3、- - - - - - - 第 1 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点四、圆与圆的位置关系考查形式： 考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对应，常以填空题或选择题的形式出现题目常与图案、方程、坐标等进行综合外离（图1）无交点drr；外切（图2）有一个交点drr；相交（图3）有两个交点rrdrr；内切（图4）有一个交点drr；内含（图5）无交点drr；图 1rrd图 3rrd例、 1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（）a. 5 b. 1 c. 1或 5 d. 1或 4 2、若两圆半径分别为r和r（rr） ，圆心距为d

4、，且r2d2r22rd，则两圆的位置关系是（）a. 内切 b. 外切 c. 内切或外切 d. 相交3. 若半径分别为6 和 4 的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是 _ 。【变式训练】1、o1和o2的半径分别为1 和 4，圆心距o1o2 5，那么两圆的位置关系是（）a. 外离 b. 内含 c. 外切 d. 外离或内含2、如果半径分别为1cm和 2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（）a. 2 个 b. 3个 c. 4个 d. 5个3、已知： o1和 o2的半径是方程x25x60 的两个根， 且两圆的圆心距等于5 则 o1和 o2的位置关系是（）a. 相交 b. 外离

5、 c. 外切 d. 内切图 2rrd图4rrd图 5rrd精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点二、填空题4. o1和o2相切，o1的半径为4cm，圆心距为6cm，则o2的半径为 _; o1和o2相切，o1的半径为6cm，圆心距为4cm，则o2的半径为 _ 5. o1、o2和o3是三个半径为1 的等圆，且圆心在同一直线上，若o2分别与o1，o3相交，o1与o3不相交，则o1与o3圆心距d的取值范围是 _。五、垂径定理考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦

6、心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共 4 个定理， 简称 2 推 3 定理： 此定理中共5 个结论中， 只要知道其中2 个即可推出其它3 个结论，即：ab是直径abcdcede 弧bc弧bd 弧ac弧ad中任意 2 个条件推出其他3 个结论。推论 1：圆的两

7、条平行弦所夹的弧相等。即：在o中，abcd弧ac弧bd例 1、如图 23-10 ，ab是 o的直径，弦cd ab ，垂足为 e，如果 ab 10，cd 8，那么ae的长为 ( ) a2 b 3 c4 d5 例 2、如图，o的直径为10 厘米，弦ab的长为 6cm，m是弦ab上异于 a、b的一动点，则线段om的长的取值范围是（） a. 3om 5 b. 4 om5 c. 3om5 d. 4 om5 oedcbaocdaba b m o 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知

8、识点例 3、如图，在o中，有折线oabc，其中8oa，12ab，60ba，则弦bc的长为（） 。19161820【变式训练】1、 “圆材埋壁”是我国古代九章算术中的问题：“今有圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，间径几何”用数学语言可表述为如图，cd为 o的直径，弦abcd于点 e，ce1 寸， ab=10寸，则直径cd的长为（） a125 寸 b 13 寸 c 25 寸 d 26 寸2、在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16 所示， 如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度为_cm3、如图 23-14 ，o的直径为10，弦 ab 8，p是弦 ab

9、上一个动点，那么op的长的取值范围是_4、o的半径为 10cm ，弦 ab cd ，ab 12cm ，cd 16cm ，则 ab和 cd的距离为 ( ) a2cm b14cm c2cm或 14cm d 10cm或 20cm feocba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。此定理也称1 推 3 定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1 个相等，则可以推出其它的3 个结论，即：a

10、obdoe；abde；ocof；弧ba弧de七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：aob和acb是弧ab所对的圆心角和圆周角2aobacb2、圆周角定理的推论：推论 1：在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；即：在o中，c、d都是所对的圆周角cd推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径（90的圆周角所对的弦是直径）；即：在o中，ab是直径或90c90cab是直径例 1、如图， a、b、c是 o上的三点，bac=30 则 boc的大小是（） a60b 45 c30d152、如图，在o中，已知 acb cdb

11、60， ac 3，则 abc的周长是 _. 【变式训练】cbaodcbaocbaofedcbao精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点1. 如图，在 o中，弦 ab=1.8m ，圆周角 acb=30，则 o的直径等于 _cm2. 如图， o内接四边形abcd 中， ab=cd 则图中和 1 相等的角有 _ 3. 用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形（）4. o的半径是5，ab 、cd为 o的两条弦，且ab cd ，

12、 ab=6 ，cd=8 ，求 ab 与 cd之间的距离八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。即：在o中，四边形abcd是内接四边形180cbad180bddaec例 1. 如图，四边形 abcd内接于 o，若 bod=100 ，则 dab的度数为（） a 50 b80 c100 d 130edcba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点2. 如图，四边形abcd 为 o的内接四边形，点e在 cd的延长线上，如果bod=120

13、 ，那么 bce等于（） a 30 b 60 c 90 d120九、切线的性质与判定定理考查形式：对切线的判定和性质的考查是圆中常见的题目类型，常以解答题的形式出现题目经常与翻折、旋转、平移等动态过程相结合，以探索的形式出现（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：mnoa且mn过半径oa外端mn是o的切线（2）性质定理：切线垂直于过切点的直径（如上图）推论 1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。推论 2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。例 1. 如图， pa

14、 、pb是 o的切线，切点分别为a 、b，点 c在o上如果 p50，那么 acb等于（） a 40 b 50 c 65d1302、如图， mp 切 o 于点 m，直线 po 交 o 于点 a、b，弦 ac mp，求证： mobc3、已知：如图，abc中， ac bc，以 bc为直径的 o交 ab于点 d，过点 d作de ac于点 e，交 bc的延长线于点f(10 分) 求证：（1）ad bd ；（2） df是 o的切线nmaofedcbao精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备

15、精品知识点课后习题：1. 已知一个圆的半径为3cm,另一个圆与它相切，且圆心距为2cm,则另一个圆的半径是（）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点图 7 图 8 图 4 o d a b c 图 5 图 6 a c d o b a 5cm b 1cm c 5cm或 1cm d 不能确定2. 下列说法不正确的是（）a 直径所对的圆周角是直角 b 圆的两条平行弦所夹的弧相等 c 相等的圆周角所对的弧相等 d 相等的弧所对的圆周角相等3. 已知 o1、 o2的半径分别是12

16、r、24r，若两圆相交，则圆心距o1o2可能取的值是（） a、2 b、4 c、6 d、8 4. 高速公路的隧道和桥梁最多如图3 是一个隧道的横截面，若它的形状是以o 为圆心的圆的一部分，路面ab=10 米，净高cd=7 米，则此圆的半径oa=（）a5 b7 c375d3775. 如图 5，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心o，则折痕ab的长为（）a2cmb3 cmc2 3cmd2 5 cm6. 已知o 的半径为 r，弦 ab的长也是r，则 aob的度数是 _7.如图 6，ab为 o 的直径，点cd，在 o 上，50bac，则adc8. 如图 7， o 中， oabc,aob60

17、,则 adc . 9. 如图 8， o 中， man的度数为320，则圆周角man _ 10如图 12，ab 为 o 的直径， d 是 o 上的一点，过o 点作 ab 的垂线交ad 于点e，交 bd 的延长线于点c，f 为 ce 上一点，且fd fe(1)请探究 fd 与 o 的位置关系，并说明理由；(2)若 o 的半径为2，bd 3 ，求 bc 的长11、如图，已知ab为 o的直径， cd是弦，且abcd于点 e。连接 ac 、oc 、bc 。（1）求证：aco=bcd 。（2）若 eb=8 ，cd=24 ，求 o的直径。abcdef图 12 oedbaoc精品学习资料 可选择p d f -

18、 - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点12. 如图， o的直径 ab=10 ，de ab于点 h，ah=2 （1）求 de的长；（2）延长 ed到 p，过 p作 o的切线，切点为c，若 pc=225，求 pd的长附加基础题：1下列五个命题: (1)两个端点能够重合的弧是等弧； (2)圆的任意一条弧必定把精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点圆分成劣弧和优弧两部分； (3)

19、经过平面上任意三点可作一个圆；(4) 任意一个圆有且只有一个内接三角形； (5)三角形的外心到各顶点距离相等. 其中真命题有（） a 1 个 b 2 个 c 3 个 d 4 个2如图 1， o外接于 abc ， ad为 o的直径， abc=30 ，则 cad= （） a30 b 40 c 50 d 603o是 abc的外心，且abc+ acb=100 ，则 boc= （） a100b120c 130 d 1604如图 2， abc的三边分别切o于 d，e，f，若 a=50，则 def= （） a 65 b50 c 130 d 805rtabc中， c=90 ， ab=5 ，内切圆半径为1，则三

20、角形的周长为（） a 15 b12 c13 d14 6已知两圆的圆心距为3，两圆的半径分别是方程x2-4x+3=0 的两根，那么这两个圆的位置关系是（） a外离 b外切 c相交 d 内切7 o的半径为3cm ，点 m是 o外一点， om=4cm ，则以 m为圆心且与o? 相切的圆的半径一定是（） a1cm或 7cm b1cm c7cm d不确定8一个扇形半径30cm ，圆心角120，用它作一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为（） a5cm b 10cm c 20cm d 30cm 二、填空题1 o中，弦 mn把 o分成两条弧，它们的度数比为4：5，如果 t 为 mn中点，则 tmo=_ ，则弦 m

21、n所对的圆周角为_2 o到直线 l 的距离为 d， o的半径为 r， 当 d， r是方程 x2-4x+m=0的根，且 l?与 o相切时，m的值为 _3如图 3， abc三边与 o分别切于d，e，f，已知 ab=7cm ，ac=5cm ， ad=2cm ，则bc=_4已知两圆外离，圆心距d=12，大圆半径r=7，则小圆半径r?的所有可能的正整数值为 _十、切线长定理切线长定理：精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心

22、的连线平分两条切线的夹角。即：pa、pb是的两条切线papbpo平分bpa例 1、如图 2， abc的三边分别切o于 d，e ，f，若 a=50，则 def= （） a 65 b50 c 130 d 802、如图 3， abc三边与 o分别切于d，e，f，已知 ab=7cm ，ac=5cm ， ad=2cm ，则 bc=_ 【变式训练】3、如图，正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为（）a2 b32 c3 d3 4、如图，从点p向 o引两条切线pa ，pb ，切点为 a，b，ac为弦， bc为 o? 的直径，若 p=60， pb=2cm ，求 ac的长十一、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两

23、圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。bao1o2pbaobcapo精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点如图：12o o垂直平分ab。即：1o、2o相交于a、b两点12oo垂直平分ab十二、圆内正多边形的计算（1）正三角形在 o中 abc是 正 三 角 形 ， 有 关 计 算 在rt bod中 进 行 ：:1:3 :2odbd ob；（2）正四边形同理，四边形的有关计算在rt oae中进行，:1:1:2oeae oa：（3）正六边形同理，六边形的有关计算在r

24、t oab中进行，:1:3:2ab ob oa. 例 1、两等圆半径为5，圆心距为8，则公共弦长为_例 2、正六边形内接于圆，它的边所对的圆周角是（）a.60 b.120 c.60或 120 d.30 或 150例 3、如图 , o是等边三角形abc的外接圆，o的半径为2，则等边三角形abc的边长为（）a2 3b5c3d2 5【变式训练】1、半径分别为8 和 6 且圆心距为10 的公共弦长为_ 2、如果圆的内接正六边形的边长为6cm ，则其外接圆的半径为_. 3、如图 5， o的半径为3， abc是 o的内接等边三角形，将abc折叠，使点a落在 o上，折痕ef平行 bc ，则 ef长为 _ 十

25、三、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式（p132）ecbadobaodcbao（第 35题）a b c o 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点edcbaof考查形式：考查运用弧长公式（180rnl）以及扇形面积公式（3602rns和lrs21）进行有关的计算，常以填空题或选择题的形式进行考查1、扇形：（1）弧长公式：180n rl； （2）扇形面积公式：213602n rslrn：圆心角r：扇形多对应的圆的半径l：扇形弧长s：扇形面积2、圆柱：（1）圆柱侧面展开图2

26、sss侧表底=222rhr（2）圆柱的体积：2vr h3、圆锥：（2）圆锥侧面展开图（1）sss侧表底=2rrr（2）圆锥的体积：213vr h例 1、已知扇形的圆心角为120，弧长等于半径为5 的圆的周长，则扇形的面积为（）a、75 2 b 、752 c、150 2 d、 1502 例 2、底面面积为8，高为 3 的圆柱的表面积和体积分别为：_ 例 3、圆锥的母线长5cm,底面半径长3cm,那么它的侧面展开图的圆心角是( ) a.180 b.200 c.225 d.216例 4、ab 为 o 的直径，点c 在 o 上，过点c 作 o 的切线交ab 的延长线于点d，已知 d30 . 求 a 的

27、度数；若弦 cfab，垂足为e，且 cf34，求图中阴影部分的面积.（15 分）【变式训练】slbao母线长底面圆周长c1d1dcbab1rrcbao精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点1、方格纸中4 个小正方形的边长均为1，则图中阴影部分三个小扇形的面积和为（结果保留） 2、已知 o的半径为8cm ，点 a为半径 ob的延长线上一点，射线ac切 o于点 c，弧 bc的长为38 cm ，求线段ab的长。综合复习题：1下列命题中，正确命题的个数为（）. 平分弦的直径

28、垂直于弦；圆周角的度数等于圆心角度数的一半；90的圆周角所对的弦是直；圆周角相等，则它们所对的弧相等a1 个 b2 个 c 3 个 d 4 个2如图， abc内接于 o，ac是 o的直径， acb 500，点 d 是弧 bac上一点，则 d的度数 _. 3、如图 1，四个边长为2 的小正方形拼成一个大正方形，a、b、o 是小正方形顶点，o 的半径为2，p 是 o 上的点，且位于右上方的小正方形内，则apb 等于（）a30b45c60d 90、一条弦把半径为8 的圆分成长度为1 2 的两条弧，则这条弦长为（）a、34 b、38 c、8 d、16 、如图，以ab 为直径的半圆o 上有两点d、e，e

29、d 与 ba 的延长线交于点 c，且有 dc=oe ，若 c=20，则 eob 的度数是（）a.40 b.50c.60d.80、在半径为1 的圆中，弦ab 、ac分别是3 和2 ，则 bac的度数为dbcapobaedcbaoa d b c o 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点_7、如图， cd是 o的直径，弦ab cd ，连接 oa ，ob ，bd，若 aob 100，则 abd度8、如图， ab是 o的直径， cd ab于点 e，交 o于点 d，of ac

30、于点 f. d30， bc 1，求圆中阴影部分的面积为：_9、如图， ab 为半 o 的直径， c 为半圆弧的三等分点，过b，c 两点的半 o 的切线交于点p，若 ab 的长是 2a，则 p a 的长10、如图，pa，pb切o于a，b两点，cd切o于点e，分别交pa、pb与 点c、d， 若pa，pb的 长 是 关 于 关 于x的 一 元 二 次 方 程0)1(2mmxx的两个根，求pcd的周长11、如图，在 m中，弧 ab所对的圆心角为1200，已知圆的半径为2cm ，并建立如图所示的直角坐标系，点c是 y 轴与弧 ab的交点。（1）求圆心m的坐标；（2）若点 d是弦 ab所对优弧上一动点，求

31、四边形acbd 的最大面积课后习题：cdabomyxoedcbap精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 页，共 19 页 - - - - - - - - -学习必备精品知识点一、选择题：1、下列说法正确的是( ) a.垂直于半径的直线是圆的切线 b.经过三点一定可以作圆c.圆的切线垂直于圆的半径 d.每个三角形都有一个内切圆2、两个半径不等的圆相切，圆心距为6cm，且大圆半径是小圆半径的2 倍，则小圆的半径为（）a.3b.4c.2或4d.2或63、已知圆锥的底面半径为3，高为 4，则圆锥的侧面积为（） 。 10 b 12 15 204

32、、已知圆锥的侧面展开图的面积是15cm2，母线长是5cm ，则圆锥的底面半径为（）acm23 b3cm c4cm d 6cm 5、一个正多边形的内角和是720，则这个多边形是正边形（）a.四 b.五 c.六 d.七6、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（）a.1 23 b.123 c.321 d.321 二、填空题：第 7 题图第 8 题图第 9 题图第 10 题图7、在 abc中， ab是 o的直径， b60， c70，则 bod 的度数是 _8、如图，以点o为圆心的两个同心圆中，大圆的弦ab是小圆的切线，点p为切点，且4ab，2op，连结oa交小圆于点e，则扇形oep的面积为9、如图 a， b， c两两不相交，且它们的半径都是0.5cm，则图中三个扇形的面积之和为（）a212cm b28cm c26cm d24cm10、如图，已