高等数学第9章试题

1、文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.高等数学院系 _学号 _班级 _姓名 _得分 _题号选择题填空题计算题证明题其 它 题总 分型题分2020202020核分人得分复查人一、选择题（共20小题， 20 分）1、设是由 z及 x2+y2 +z2 1所确定的区域，用不等号表达I1，I2，I3 三者大小关系是A.I>I>I;B.I>I>I ;C.I>I>I;D. I>I>I.123132213321答 ()2、设 f(x,y)为连续函数，则积分可交换积分次序为答 ()3、设 是由曲面z=x2+y2,y=x,y=0,z=1

2、 所围第一卦限部分的有界闭区域，且f( x,y,z)在上连续，则等于(A)(B)(C)(D)答 ()4、设 u=f(t)是 ( ,+ )上严格单调减少的奇函数，是立方体： |x| 1;|y| 1;|z| 1.I=a,b,c 为常数，则(A)I>0(B)I <01文档来源为 :从网络收集整理 .word 版本可编辑 .欢迎下载支持 .(C)I=0(D) I 的符号由 a,b,c 确定答 ()5、设 为正方体 0 x 1;0 y 1;0 z 1.f(x,y,z)为 上有界函数。若，则(A) f(x,y,z)在 上可积(B) f(x,y,z)在上不一定可积(C)因为 f 有界，所以 I=

3、0(D) f( x,y,z)在 上必不可积答 ()6、由 x2+y2+z22z,z x2+y2 所确定的立体的体积是(A)(B)(C)(D)答 ()7、设 为球体 x2+y2+z21,f( x,y,z)在 上连续， I=x2yzf(x,y2,z3),则 I=(A) 4x2yzf(x,y2z3)dv(B) 4x2yzf(x,y2,z3 )dv(C) 2x2yzf(x,y2,z3)dv(D)0答 ()8、函数 f(x,y)在有界闭域D 上有界是二重积分存在的(A) 充分必要条件；(B) 充分条件，但非必要条件；(C) 必要条件，但非充分条件；(D) 既非分条件，也非必要条件。答 ()9、设 是由

4、3x2+y2=z,z=1 x2 所围的有界闭区域，且f(x,y,z)在 上连续，则等于(A)(B)(C)(D)答 ()2文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.10、设 f(x,y)是连续函数，交换二次积分的积分次序后的结果为答 ()11、设 1, 2 是空间有界闭区域，3= 1 2, 4= 1 2， f(x,y,z)在 3 上可积，则的充要条件是(A) f(x,y,z)在 4 上是奇函数(B) f(x,y,z) 0,( x,y,z) 4(C)4= 空集(D)答 ()12、设 1:x2+y2+z2 R2 ;z 0.2:x2+y2+z2R2;x 0;y0;z0.则(A

5、)z99dv=4x99dv.(B)y99dv=4 z99dv .(C)x99dv=4y99dv.(D)(xyz) 99dv=4 (xyz)99dv.答 ()13、设 为正方体 0 x 1;0 y 1;0 z 1.f(x,y,z)在 上可积，试问下面各式中哪一式为f(x,y,z)在 上的三重积分的值。(B) limn(A)i 1niii1f ( ,n,)nnn(C)(D)答 ()14、设，则 I 满足答 ()15、函数 f(x,y)在有界闭域D 上连续是二重积分存在的(A) 充分必要条件；(B) 充分条件，但非必要条件；(C) 必要条件，但非充分条件；(D) 既非充分条件，又非必要条件。答 ()

6、3文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.16、若区域D 为 |x| 1,|y| 1,则(A) e;(B) e 1;(C) 0;(D) .答 ()17、二重积分(其中 D： 0 yx2 ,0 x 1)的值为答 ()18、设有界闭域 D1 与 D2 关于 oy 轴对称，且 D1 D 2= ,f(x,y) 是定义在 D1 D2 上的连续函数，则二重积分答 ()19、设 为单位球体 x2 +y2+z2 1,1 是 位于 z 0 部分的半球体， I= (x+y+z)f(x2+y2+z2)dv,则(A)I>0(B)I<0(C)I=0(D) I=2(x+y+z)f(

7、x2+y2+z2 )dv答 ()20、设 为一空间有界闭区域，f(x,y,z)是一全空间的连续函数，由中值定理而 V 为的体积，则：(A) 若 f(x,y,z)分别关于 x,y,z 为奇函数时 f(, ,)=0(B) 必 f(, ) 0(C) 若 为球体 x2+y2 +z21 时 f( ,)= f(0,0,0)(D) f(,)的正负与 x,y,z 的奇偶性无必然联系答 ()二、填空题（共20小题， 20 分）1、根据二重积分的几何意义=_.其中 D ： x2+y2 1.2、设 是一空间有界闭区域，其上各点体密度为该点到平面Ax+By+Cz=D 的距离平方。则质量的三重积分公式为_.3、设 D：

8、 x2+y2 2x,由二重积分的几何意义知=_.4文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.4、设函数 f(x,y)在有界闭区域D 上连续，且 f(x,y) 0,则的几何意义是_.5、二次积分f(x,y)dy 在极坐标系下先对r 积分的二次积分为_.6、设积分区域 D 的面积为 S,(r ,e)为 D 中点的极坐标，则_.7、根据二重积分的几何意义其中 D： x2+y2 a2,y 0,a 0.8、设函数 f(x,y)在有界闭区域D 上有界，把 D 任意分成几个小区域 i,n)，在每(i=1,2,一 个 小 区 域 i 上 任 取 一 点 ( i, i), 如 果 极

9、限存在(其中入是_) ，则称此极限值为函数 f(x,y) 在 D上的二重积分，记作9、设积分区域D 的面积为 S，则10、设 f(t) 为连续函数，则由平面z=0，柱面 x2+y2=1 和曲面 z= f(xy) 2 所围立体的体积可用二重积分表示为 _.11、设 f(x,y,z)在有界闭区域 上可积， =1 2,，则I= f(x,y,z)dv=f(x,y,z)dv+_ _ 。12、设 为空间有界闭区域，其上各点的体密度为该点到平面Ax+By+Cz+D=0 的距离。则关于直线的转动惯量的三重积分公式为_.13、设 D： x2+y2 4,y 0,则二重积分14、设 1:x2+y2+z2 R2,2:

10、x2+y2+z2 R2;x 0;y 0;z0.u=f( t)是 ( ,+ )上的偶函数， 且在(0， + )上严格单调增加，则(A)xf(x)dv=4xf( x)dv(B)f(x+z)dv=4f(x+z)dv(C)f(x+y)dv=4f(x+y)dv(D)f(xyz)dv=4f(xyz)dv答（）15、二次积分f(x,y)dy 在极坐标系下先对r 积分的二次积分为_.16、=_ 。17、设平面薄片占有平面区域D ，其上点 (x,y)处的面密度为 (x,y)，如果 (x,y)在 D 上连续，则薄片的质量m=_.5文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.18、设区域 D

11、 是 x2+y2 1 与 x2+y2 2x 的公共部分， 试写出在极坐标系下先对 r 积分的累次积分 _.19、设 为一有界闭区域，其上各点的体密度为(x,y,z).设 M 为其质量，而( x , y ,z)为其重心， 关于 xoy 平面的静矩定义为：Mxy= x M, Mxy 的三重积分计算式为_.i20、设函数 f( x,y)在有界闭区域D 上有界， 把 D 任意分成n 个小区域,n),在每一( i=1,2,个小区域 iii任意选取一点 (), 如果极限,(其中入是 i (i=1,2, ,n) 的 最 大 直 径 ) 存 在 ， 则称 此 极 限 值 为_的二重积分。三、计算题（共20小题

12、， 20 分）1、计算二重积分其中2、设 是由 x=0,y=0,z=0,x=1 y2 及所围的有界闭区域。计算I=.3、设 D 是由直线 x+y=a,x+y=b,y=x,y=x 所围的有界闭区域(0< a<b;0<<),试计算2e(x y) d x d y.D4、设 是由x2+y2=R2;z=0;z=1; y=x;y=所围恰好位于第一卦限部分的一立体。试求积分I=.5、设 是由曲面x2+y2=1,z=0,z=1 所围的有界闭区域，计算.6、设 是由 bz x2+y2+z2 az(a>b>0) 所确定的闭区域。试计算7、计算二重积分其中 D： 0 y sinx

13、,.8、计算二重积分其中 D 是由抛物线y2=2px 和直线 x=p( p>0) 所围成的区域。9、设 是由曲面z=x2+y2,z=2( x2+y2 ),xy=1,xy=2,y=2x 及 x=2y 所围位于x 0 及 y 0部分的闭区域。试计算I=10、计算三重积分I=，其中 是由所围位于部分的立体6文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.11、设 是由a2 x2+y2 2a2(a>0) ， y 0， z 0 以及所确定的闭区域。试计算12、计算二重积分其中 D ：x2+y2 1.13、由二重积分的几何意义，求14、计算二重积分其中积分区域D 是 x2+

14、y2 a2(a>0).15、设 是由以及 0 z sin(x+y)所确定的立体。试计算16、计算二次积分17、计算二重积分其中18、计算二重积分其中 D ：x y,0 x 1.19、设 是由,y=0,z=0 及所围的有界闭区域。试计算.20 、 计 算 二 重 积 分其 中D是 由 直 线x= 2,y=0,y=2及 左 半 圆x=所围成的区域。四、证明题（共20小题， 20 分）1、试证：在平面薄片关于所有平行于 oy 轴的轴的转动惯量中， 对于穿过重心的轴所得的转动惯量最小。2、设 f(t)是连续函数，证明3、锥面 x2+y2 z2=0 将闭区域 x2+y2+z2 2az (a>

15、0) 分割成两部分，试证其两部分体积的大小之比为 3：1.4、设函数f(x,y)在有界闭域D 上连续，且D 可以分为两个闭域D 1 和 D 2，证明7文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.5、设 f(u)为可微函数，且f(0)=0, 证明6、设函数 f(x,y)在有界闭域 D 上连续，且 M，m 分别是 f( x,y)在 D 上的最大值与最小值，证明：其中 是 D 的面积。7、设 为单位球体x2+y2+z2 1,试证可选择适当的坐标变换，使得(a2+b2+c2=1)8、设 f(x,y)为区域 D：上的连续函数，试证9、设函数f(x,y)和 g(x,y)在 D 上连

16、续，且f(x,y) g(x,y),(x,y)D ，利用二重积分定义证明：10、设 f(x) 是a,b 上的连续正值函数，试证不等式：其中 D ：a x b,a y b.11、设 f(u)为连续函数，试证12、设 是上半单位球体x2+y2=z2 1,z 0,f( x,y,z)在上连续，试利用球面坐标积分方法证明 (， ， )使得f (x, y, z) d v f ( , , ) ( 22)(222)2 .13、设 p(x)是 a,b上的非负连续函数，f(x),g(x)是 a,b 上的连续单增函数，证明14、设 f(x) 是0,1 上的连续单增函数，求证：15、设 为由1所确定的立体(0 a b

17、c)，其密度函数=(z)为关于 z 的偶函数。试证：对任意的 (x0 0 0)00 000 00 2,y ,z，关于 (x,y ,z )的转动惯量满足I(x ,y ,z )=(x x ) +(y y0)2+(z z0 )2 (z)dv I(0,0,c).16、设 是由曲面 (a1x+b1y+c1z) 2+(a2x+b2y+c2z)2 +(a3x+b3y+c3z) 2=1 所围的有界闭区域，,f(x,y,z)在 上连续，试证：(， ， ) 满足8文档来源为 :从网络收集整理.word 版本可编辑 .欢迎下载支持.17、证明：其中 n 为大于 1 的自然数。18、设 f(x,y,z)在有界闭区域上

18、连续，若0 0 0的体积，试证：当f( x,y,z)dv=f( x ,y ,z )·V,V 为f(x0,y0,z0)取到 f(x,y,z)的最大值或最小值时f(x,y,z)在 必是一个常数。19、设2 221,P0000外的一点，试证：为区域 x +y +z(x ,y ,z )为。20、设 f(x) 是0,1 上的连续正值函数，且f(x)单调减少，证明不等式：五、其它题型（共20小题， 20 分）1、设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分的积分次序。2、按照三重积分的定义：.试问这里的i i,(,i )分别代表什么 ?3、设 f(x,y)是连续函数，交换积分的积分次序。4、设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分的积分次序。5、 是由 x2+y2+z2 2Rz (R>0) 所确定的立体，试将f ( xy) d 化成球面坐标下的三次积分式。6、在形状为 z=x2+y2 的容器内注入 k 立方单位的水， 问此时水平面高度为多少，并求出高度对 k 的变化率。7、设 f(x,y)为连续函数，交换二次积分的积分次序。8、试求由封闭曲面(x2+y2+z2) 2=az(x2+y2 ), (a>0)所围立体的体积。9、设 是由 z=x2+y2,x2+y2=1 以及 z=0 所围的有界闭区域，试将I=分别化成直角，柱面及球面坐标下的三次积分式。