2022年初三锐角三角函数知识点与典型例题

1、锐角三角函数：例 1如图所示，在rt abc 中， c90第 1 题图斜边)(sin a_，斜边)(sinb_；斜边)(cosa_，斜边)(cosb_；的邻边aa)(tan_，)(tan的对边bb_例 2. 锐角三角函数求值：在 rtabc 中， c 90，若 a9，b12，则 c_，sina _，cosa_，tana _，sinb _，cosb_，tanb _例 3已知：如图，rttnm 中， tmn90， mrtn 于 r 点， tn4，mn3求： sin tmr、costmr、tan tmr典型例题：类型一：直角三角形求值1已知 rtabc 中，,12,43tan,90bcac求 ac、

2、ab 和 cosb2已知：如图，o 的半径 oa16cm，ocab 于 c 点，43sinaoc求： ab 及 oc 的长3已知： o 中， ocab 于 c 点， ab16cm，53sinaoc(1)求 o 的半径 oa 的长及弦心距oc；(2)求 cosaoc 及 tanaoc4. 已知a是锐角，178sin a，求acos，atan的值对应训练：3在 rtabc 中， c 90 ，若 bc1， ab=5，则 tana 的值为a55b2 55c12d2 5在abc 中， c=90 ，sina=53，那么 tana 的值等于（）. a35b. 45c. 34d. 43类型二 . 利用角度转化

3、求值：1已知：如图，rtabc 中， c90 d 是 ac 边上一点， deab 于 e 点de ae12求： sinb、cosb、tanb2 如图，直径为10 的 a经过点(0 5)c，和点(0 0)o，与 x 轴的正半轴交于点d，b是 y轴右侧圆弧上一点，精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - -则 cos obc 的值为（）a12b32c

4、35d453.如图，角的顶点为 o，它的一边在x 轴的正半轴上，另一边oa 上有一点 p （ 3，4） ，则sin4.如图，菱形abcd 的边长为10cm，deab，3sin5a，则这个菱形的面积= cm25.如图，o是abc的外接圆，ad是o的直径，若o的半径为32，2ac，则sin b的值是（）a23b32c34d436. 如图4，沿ae折叠矩形纸片abcd，使点d落在bc边的点f处已知8ab，10bc，ab=8,则tanefc的值为 ( ) 34433545adecbf7. 如图6，在等腰直角三角形abc中，90c，6ac，d为ac上一点，若1tan5dba，则ad的长为 ( ) a2

5、b2c 1 d2 28. 如图 6，在 rtabc 中， c=90， ac=8， a 的平分线ad=3316求b 的度数及边bc、ab的长 . 图 6类型三 . 化斜三角形为直角三角形例 1 如图，在 abc 中， a=30 ， b=45 ，ac=23，求 ab 的长例 2已知：如图，abc 中， ac12cm，ab16cm，31sin a(1)求 ab 边上的高cd；(2)求 abc 的面积 s；(3)求 tanb例 3已知：如图，在abc 中， bac120， ab10， ac5求： sinabc 的值精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

6、第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - -对应训练1如图，在rt abc 中， bac=90，点 d 在 bc 边上，且 abd 是等边三角形若ab=2 ，求 abc 的周长（结果保留根号）2已知：如图，abc 中， ab9， bc6， abc 的面积等于9，求 sinb3. abc 中， a=60， ab=6 cm，ac=4 cm，则 abc 的面积是a.23cm2b.43cm2 c.63cm2d.12 cm2 类型四：利用网格

7、构造直角三角形例 1 如图所示，abc 的顶点是正方形网格的格点，则sina 的值为（）a12b55c1010d2 55对应练习：1如图， abc 的顶点都在方格纸的格点上，则sin a =_. 2如图， a、b、c 三点在正方形网络线的交点处，若将abc绕着点 a 逆时针旋转得到bac，则tanb 的值为a.41b. 31c.21d.13正方形网格中，aob如图放置，则tanaob的值是（）a5 5b. 25 5c.12d. 2 特殊角的三角函数值当时，正弦和正切值随着角度的增大而余弦值随着角度的增大而例 1求下列各式的值算：60tan45sin230cos21 ） . 计30cos245s

8、in60tan2. 2）计算：计算： 31+(2 1)033tan30 tan45 4计算：030tan2345sin60cos2215计算：tan45sin301cos60；例 2求适合下列条件的锐角(1)21cos(2)33tan(3)222sin(4)33)16cos(6锐角304560sincostancbaa b o 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - -

9、- - - - - - -（5）已知为锐角，且3)30tan(0，求tan的值（ ）在abc中，若0)22(sin21cos2ba，ba，都是锐角，求c的度数例 3. 三角函数的增减性1已知 a 为锐角，且sin a 21，那么 a 的取值范围是a. 0 a 30b. 30 a 60c. 60 a 90d. 30 a 902. 已知 a 为锐角，且030sincosa，则（）a. 0 a 60b. 30 a 60c. 60 a 90d. 30 a 90例 4. 三角函数在几何中的应用1已知：如图，在菱形abcd 中， deab 于 e，be16cm，1312sin a求此菱形的周长2已知：如图

10、，rtabc 中， c90，3bcac，作 dac 30，ad 交 cb 于 d 点，求：(1) bad；(2)sin bad、cosbad 和 tanbad3. 已知：如图 abc 中， d 为 bc 中点，且 bad90，31tanb，求： sincad、coscad 、tancad4. 如图，在rtabc 中， c=90 ，53sin b，点 d 在 bc 边上， dc= ac = 6 ，求 tan bad 的值5. 如图， abc中 ，a=30 ，3tan2b，4 3ac求 ab 的长 . 解直角三角形：1在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在 rtabc 中，

11、 c90， ac b，bca，abc，三边之间的等量关系：_ 两锐角之间的关系：_ 边与角之间的关系：bacossin_；basincos_；batan1tan_；batantan1_直角三角形中成比例的线段(如图所示 )在 rtabc 中， c90， cdab 于 dcd2_ ； ac2_ ；bc2_ ；acbc_ dcbaacb精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 -

12、- - - - - - - -类型一例 1在 rtabc 中， c90(1)已知： a35，235c，求 a、 b，b；(2)已知：32a，2b，求 a、 b，c；(3)已知：32sin a，6c，求 a、b；(4)已知：,9,23tanbb求 a、 c；(5)已知： a60， abc 的面积,312s求 a、b、c 及 b例 2已知：如图，abc 中， a30， b60， ac 10cm求 ab 及 bc的长例 3已知：如图，rtabc 中， d90， b45， acd 60 bc10cm求 ad 的长例 4已知：如图，abc 中， a30， b135， ac10cm求 ab 及 bc 的长

13、类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例 1（2012?福州） 如图，从热气球c 处测得地面a、b 两点的俯角分别是30 、 45 ，如果此时热气球c处的高度 cd 为 100 米，点 a、 d、 b 在同一直线上，则ab 两点的距离是（）a200 米b200米c220米d 100（）米例 2已知：如图，在两面墙之间有一个底端在a点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在b 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在d 点已知 bac60， dae 45点 d 到地面的垂直距离m23de，求点 b 到地面的垂直距离bc例 3 如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高bd=30m从水平面上一

14、点c 测得风力发电装置的顶端a 的仰角 dca=60，测得山顶b 的仰角 dcb=30，求风力发电装置的高ab 的长高 ， 已 知 小例 4 .如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树聪和树都与地面垂直，且相距3 3米，小聪身高ab 为 1.7 米，求这 棵 树 的 高度. 例 5已知：如图，河旁有一座小山，从山顶a 处测得河对岸点c的俯角为30，测得岸边点d 的俯角为45，又知河宽cd 为 50m现需从山顶 a 到河对岸点c 拉一条笔直的缆绳ac，求山的高度及缆绳ac 的长 (答案可带根号)例 5（2012?泰安）如图，为测量某物体ab 的高度，在d 点测得 a 点的仰角为30 ，

15、朝物体 ab 方向前进 20 米，到达点c，再次测得点a 的仰角为 60 ，则物体ab 的高度为（）a10米b10 米c20米d米例 6（ 2012?益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速如图，观测点设在a 处，离益阳大道的距离（ac）为 30 米这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从b 处行驶到c 处所用的时间为8 秒， bac=75 （1）求 b、 c 两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60 千米 /小时的限制速度？abcde精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5

16、 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - -（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75 0.9659， cos750.2588，tan753.732，31.732 ，60 千米 /小时 16.7 米 /秒）类型四 . 坡度与坡角例如图，某水库堤坝横断面迎水坡ab 的坡比是1：3，堤坝高bc=50m ，则应水坡面ab 的长度是（）a 100m b 1003m c150m d503m 类型五 . 方位角1已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，

17、在点a 处测得灯塔m 在北偏西30，货轮以每小时20 海里的速度航行， 1 小时后到达b 处，测得灯塔m 在北偏西45，问该货轮继续向北航行时，与灯塔m 之间的最短距离是多少 ?(精确到 0.1 海里，732.13) 2新闻链接，据侨报网讯 外国炮艇在南海追袭中国渔船被中国渔政逼退2012 年 5 月 18 日，某国3 艘炮艇追袭 5 条中国渔船刚刚完成黄岩岛护渔任务的“ 中国渔政310” 船人船未歇立即追往北纬11 度 22 分、东经110度 45 分附近海域护渔，保护100 多名中国渔民免受财产损失和人身伤害某国炮艇发现中国目前最先进的渔政船正在疾速驰救中国渔船，立即掉头离去（见图1）解决

18、问题如图 2，已知 “ 中国渔政310” 船（a）接到陆地指挥中心（b）命令时，渔船（c）位于陆地指挥中心正南方向，位于 “ 中国渔政310” 船西南方向， “ 中国渔政 310” 船位于陆地指挥中心南偏东60 方向， ab=海里， “ 中国渔政 310” 船最大航速20 海里 /时根据以上信息，请你求出“ 中国渔政310” 船赶往出事地点需要多少时间综合题：三角函数与四边形：1如图，四边形abcd 中， bad= 135 ， bcd= 90 ，ab=bc= 2，tanbdc= 63(1) 求 bd 的长；(2) 求 ad 的长 2如图，在平行四边形abcd中，过点a 分别作 aebc 于点

19、e，af cd 于点 f（1）求证： bae=daf ；（2）若 ae=4，af=245，3sin5bae，求 cf 的长三角函数与圆：1 如图，直径为10的 a 经过点(0 5)c，和点(0 0)o，与x 轴的正半轴交于点 d，b 是 y 轴右侧圆弧上一点，则cosobc 的值为（）a12b32c35d4519. 已知：在 o 中,ab 是直径， cb 是 o 的切线，连接ac 与 o 交于点 d,(1)求证： aod= 2c dboac精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习

20、资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - -cba(2)若 ad=8 ，tanc=34，求 o 的半径。21.如图， de 是 o 的直径， ce 与 o 相切， e 为切点 .连接 cd 交 o 于点 b，在 ec 上取一个点f，使 ef=bf. （1）求证 :bf 是 o 的切线 ;（2）若54ccos, de=9，求 bf 的长作业：1已知21sin a，则锐角a 的度数是a75b60c45d30ab=5，则tana 的2 在rtabc中 ， c 90 ， 若bc 1 ，值为a55b2 55c

21、12d2 3在abc 中， c=90 ，sina=53，那么 tana 的值等于（）. a35b. 45c. 34d. 434. 若sin32，则锐角. 1如图，在rtabc 中， c90， bc3，ac=2， 则 tanb 的值是a23b32c2 55d2 13135将 放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan 的值是a21b2c25d5525. abc 在正方形网格纸中的位置如图所示，则sin的值是a. 35b. 34c. 43d. 454如图，在直角三角形abc中，斜边ab的长为m，40bo，则直角边bc的长是（）asin 40mobcos40moctan40modtan40mo1如

22、图，已知p 是射线 ob 上的任意一点，pm oa 于 m，且 om : op=4 : 5，则 cos的值等于（）cfdobe第1题图ompba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - -a34b43c45d353cos5bod，6如图， ab 为 o 的弦，半径ocab 于点d，若ob 长为 10，则 ab 的长是a . 20 b. 16 c.

23、 12 d. 8 7.在 rtabc 中， c=90 ，如果 cosa=54，那么 tana 的值是a53b35c43d3411如图，在 abc 中， acb= adc= 90 ，若 sina=35，则 cos bcd 的值为13.计算：60tan45sin230cos213计算45tan30tan345cos260sin2. 13计算：22sin604cos 30 +sin 45tan60oooo已 知 小 聪 和14.如图，小聪用一块有一个锐角为30的直角三角板测量树高，树都与地面垂直，且相距3 3米，小聪身高ab 为 1.7 米，求这棵树的高度 . 15已知在rtabc 中， c90 ，

24、a=64，b=212.解这个直角三角形20. 如图，在 rtabc 中， cab=90 ，ad 是 cab 的平分线， tanb=21，求cdbd的值19. 已知：在 o 中,ab 是直径， cb 是 o 的切线，连接ac 与 o 交于点 d,求证： aod= 2c 若 ad=8 ，tanc=34，求 o 的半径。19如图，某同学在楼房的a处测得荷塘的一端b处的俯角为30，荷塘另一端d处c、b在同一条直线上，已知32ac米，16cd米，求荷塘宽bd为多少米？ （结果保留根号）18.如图，在 abc 中，点 o 在 ab 上，以 o 为圆心的圆经过 a，c 两点，交ab 于点 d，已知 2 a

25、+ b =90（1）求证： bc 是 o 的切线；（2）若 oa=6，bc=8，求 bd 的长（1）证明：（2）解：15如图，在rtabc 中， c=90 ，点 d 在 ac 边上若db=6，ad=12cd，sincbd=23，求 ad 的长和tana 的值dboacdcbaabcded第18题图ocba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - - - - -

26、-18如图，一艘海轮位于灯塔p 的南偏东45 方向，距离灯塔100 海里的 a 处，它 计划沿正北方向航行，去往位于灯塔p 的北偏东30 方向上的b 处. （1） b 处距离灯塔p 有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于pb 的延长线上，距离灯塔200 海里的 o 处已知圆形暗礁区域的半径为50 海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险 请判断若海轮到达 b 处是否有触礁的危险，并说明理由精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - -精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - -22已知，如图，在adc中，90adc，以 dc 为直径作半圆oe，交边 ac 于点 f，点 b 在 cd 的延长线上，连接bf，交 ad 于点 e，2bed