成人高考—三角函数

1、成人高考成人高考第二部分 三角 三角函数及其相关概念1 三角函数式的变换2 三解函数的图像和性质3 解三角形45276任意角三角函数的定义：任意角三角函数的定义：角角的终边上任意一点的终边上任意一点P P（x,yx,y），），它与原点的距离是它与原点的距离是r(r0)r(r0)，那么角，那么角的正弦、余弦、正切分别是的正弦、余弦、正切分别是p(x,y)rarya sinrxsa coxya tan特殊角角度与弧度的换算特殊角角度与弧度的换算 03045609018027036006432322单位换算：单位换算： 3602180 0度数度数030456090180270360010-1010-

2、101010042sincostan63221222323222133323 特殊角的正弦、余弦和正切值如下表所示：特殊角的正弦、余弦和正切值如下表所示： 正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：1yx-1O32423sinyx，xR1yx-1o3242cosyxxRyx1-1/2-/2 3/2-3/2-0tan2kk ,Z 正弦函数的图象和性质 x6yo-12345-2-3-41y=sinx (xy=sinx (x R)R) 定义域：定义域：值值 域：域：周期性：周期性：x x R Ry y -1,1-1,1T = 2T = 2 单调性

3、单调性奇偶性：奇偶性：奇函数奇函数( (关于原点对称）关于原点对称） 余弦函数的图象和性质 定义域：定义域：值值 域：域：周期性：周期性：x x R Ry y -1,1-1,1T = 2T = 2 单调性单调性奇偶性：奇偶性： 偶函数偶函数( (关于关于y y轴对称）轴对称）1yx-1o3242cosyxxRyx1-1/2-/23/2-3/2-0定义域定义域值域值域周期性周期性奇偶性奇偶性单调性单调性 R RT= T= 奇函数奇函数 函数函数y=tanxy=tanx增函数增函数正切函数x2xkk ,Z三角函数周期性公式： （W为x的系数）1sin2yx（1）函数 的最小正周期？（2） 函数 的

4、最小正周期？（3）函数 的最小正周期？（4）函数 的最小正周期？sin2yxcos3xy 12sin26yx 正弦、余弦函数的图像和性质正弦、余弦函数的图像和性质 f(x)=sinx (x R) x6yo-12345-2-3-41x6o-12345-2-3-41y f(x)=cosx (x R) 定义域定义域值值 域域周期性周期性x Ry - 1, 1 T = 2 正弦、余弦函数的奇偶性？正弦、余弦函数的奇偶性？ 正弦、余弦函数的奇偶性正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)= - sinx (x R) y=sinx (x R)x6yo-12345-2-3-41是是奇函数奇函数x6o-12345-

5、2-3-41ycos(-x)= cosx (x R) y=cosx (x R) 是是偶函数偶函数（定义域关于原点对称）（定义域关于原点对称）f(x)=sinx (x R) f(x)=cosx (x R) （定义域关于（定义域关于y轴对称）轴对称） 探究正弦函数的单调性探究正弦函数的单调性 y=sinx (x R)增区间为增区间为 ， 2 2 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 减区间为减区间为 ， 2 23 +2k , +2k ,k Z22 +2k , +2k ,k Z2 23 余弦函数的单调性余弦函数的单调性 y=cosx (x R)增区间为增区间为 +2k ,

6、2k , k Z 减区间为减区间为 ，2k , 2k + , k Zyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 正弦函数的最值正弦函数的最值 xyo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 最大值最大值y=1最小值最小值y=-1正弦函数当且仅当正弦函数当且仅当 x=_时取得时取得最大值最大值1,当且仅当当且仅当x=_时取得时取得最小值最小值-1;22kkZ22kkZ(4)(4)最大值与最小值最大值与最小值 y=sinx (x R)余弦函数当且仅当余弦函数当且仅当 x=_时取时取得最大值得最大值1,当且仅当当且仅当x=_时时取得最小值取得最小值-1.2kkZ2

7、kkZyxo-1234-2-312 23 25 27 2 23 25 最小值最小值y=-1最大值最大值y=1 余弦函数的最值余弦函数的最值 y=cosx (x R)三角函数式的变换根据三角函数的定义：根据三角函数的定义：根据勾股定理：根据勾股定理： 22222sincos1sin1coscos1sinraaaa sintancosyx三角函数式的变换开平方运算，开平方运算，必须要明确必须要明确角所在象限角所在象限1yx-1o3242cosyxxR诱导公式（一）sin(2)sincos(2)costan(2)tankkkkZ 其中 1yx-1O32423sinyx，xRyx1-1/2-/2 3/

8、2-3/2 -0tan2kk ,Z公式二、三、四sin(+)=sincos(+)=costan(+)=tan1yx-1O324 23sinyx，xR1yx-1o32 4 2cosyxxRyxtan2kk ,Zsin()=sincos()=costan()=tansin(-)=sincos(-)=costan(-)=tan例1.利用公式求下列三角函数值: 11161 cos225 ; 2 sin; 3 sin; 4 cos2040.33 21 cos225cos45cos452 1132 sinsin 4sin3332 161633 sinsinsin 5sin33332 4 cos2040co

9、s2040cos 6 3601201 cos1202 sincos ,2cossin .2公式五1yx-1O324 23sinyx，xR1yx-1o32 4 2cosyxxRsincos ,2cossin .2 例3 证明 : 31 sinsin22 31 sincos2 sin2sin2 cos 32 coscos22cos2 sin 例3 证明 : 32 cossin2. 两角和与差的三角函数公式两角和与差的三角函数公式bababasincoscossin)sin(bababasinsincoscos)(cosbababatantan1tantan)(tanbababasincoscoss

10、in)sin(bababasinsincoscos)(cos倍角公式倍角公式aaacossin22sinaaaaa2222sin211cos2sincos2cosaaa2tan1tan22tan22222sincos1sin1coscos1sinraaaa sin(2)sincos(2)costan(2)tankkkkZ 其中 sin(+)=sincos(+)=costan(+)=tansin()=sincos()=costan()=tansin(-)=sincos(-)=costan(-)=tansincos ,2cossin .2sincos,2cossin.2 公式1公式5公式4公式3公

11、式2诱导公式诱导公式)(2sinsinsin外接圆的半径为其中ABCRRCcBbAaCabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222 )(21)1(边边上上的的高高表表示示ahahSaa AbcBacCabSsin21sin21sin21)2( 1.正弦定理正弦定理2.余弦定理余弦定理3.三角形三角形面积面积 公式公式知识点梳理知识点梳理; sin2 , sin2 sin2 (1)CRcBRbARa，; 2sin , 2sinB , 2sin )3(RcCRbRaA; sin:sin:sin: )2(CBAcba;sinsin ,sinsin ,sinsin )4

12、(AaCcCcBbBbAa)(2sinsinsin外接圆的半径为其中ABCRRCcBbAa1.正弦定理正弦定理正弦定理的变形：正弦定理的变形：ABCabc2R.2acosC ;2cosB ;2cos222222222abcbacbcabcacbA CabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222 2.余弦定理余弦定理余弦定理的变形：余弦定理的变形：222222222 ; ;baccabcba当当A、B、C分别为分别为90时，上面的关系式分别化为：时，上面的关系式分别化为：3.三角形面积公式三角形面积公式)(21)1(边边上上的的高高表表示示ahahSaa AbcB

13、acCabSsin21sin21sin21)2( RabcS4)4( )(21)3(为为内内切切圆圆半半径径rcbarS 4.三角形中的常见结论三角形中的常见结论 CBA) 1 (2cot2tan ;2sin2cos;2cos2sin ;tan)tan(;cos)cos( ;sin)sin(CBACBACBACBACBACBA (2)在三角形中大边对大角，大角对大在三角形中大边对大角，大角对大边边.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数式有关三角形内角的三角函数式CBACBAABCtantantantan

14、tantan)5( 中中，在在ABCabc.sinsin)8(BAbaBAABC 中中，在在 是三角形的内角则有是三角形的内角则有、若若或或 sinsin)9(（6） 中，中，A、B、C成等差数列的充要条件成等差数列的充要条件 是是B=60ABC （7） 为正三角形的充要条件是为正三角形的充要条件是A、B、C成等成等差数列，差数列，a、b、c成等比数列成等比数列.ABC 23=30ABCABBCBABC例1、已知中， ，求的面积。=3,2a BCcAB解： 1sin2ABCSacBABCabc30B 3213 2 sin302 46=120ABCACBCCABC例2、已知中， ，求的面积。=6

15、,4a BCbAC解： 1sin2ABCSabCABCabc120C 6 316 4 sin1202 260ABCACBCAABC例3、已知中， ，求的面积。2,ACBC解：1sin2ABCSabCABCabc60A 2 312 2 sin602 60606060C 4260ABCBCBAB例4、已知的面积为 ， ，求。2,aBC解：142sin602c ABCabc60B 8 33cAB60？1sin2ABCSacB 一、正余弦定理推论的应用一、正余弦定理推论的应用). (sinsinsin , 2, 1,41cos . 1 CBAcbacbAABC则则中，已知中，已知在在例例15158si

16、n sinsinsin 415cos1sin 2cos2222 AaCBAcbaAAAbccba解解：由由余余弦弦定定理理得得二、三角形解的个数的确定二、三角形解的个数的确定已知条件已知条件应用定理应用定理一般解法一般解法一边和两角一边和两角(如如a，B、C)正弦正弦由由A+B+C=180求出角求出角A；根据正弦定理；根据正弦定理求出求出b与与c;在有解时只有一解在有解时只有一解两边和夹角两边和夹角(如如a、b，C)余弦正弦余弦正弦由余弦定理求出由余弦定理求出c；由正弦定理求出；由正弦定理求出A、B；在有解时只有一解；在有解时只有一解三边三边 (a、b、c)余弦定理余弦定理由余弦定理分别求出由

17、余弦定理分别求出A、B；由内角和；由内角和是是180求出求出C;有解时只有一解有解时只有一解两边和其中一两边和其中一边的对角边的对角(如如a、b，A)正弦定理正弦定理由正弦定理求出由正弦定理求出B；由内角和为；由内角和为180求求出出C；由正弦定理求出；由正弦定理求出c;可有两解，一可有两解，一解或无解解或无解解斜三角形有下表所示的四种情况：解斜三角形有下表所示的四种情况：., 32, 4,21. 1AhBCbcCBAcbaABC求角边上高且所对的边，又、分别为角、中，在锐角三角形例523 2 3 BCaCDBDACDABD定定理理可可得得中中，分分别别由由勾勾股股和和解解：在在BCADbch

18、 1421arccos 1421214254)21(2cos222222 AbcacbA法法一一：由由余余弦弦定定理理得得求三角形的角求三角形的角1475arcsin1475sinsin sinsin 3 23432sin AcCaACcAaCACADCACD由由正正弦弦定定理理中中在在法法二二： 1475arcsin 1475sin 35sin212sin212sin21S 353252121 AAAAAbcahS又又法法三三：由由三三角角形形的的面面积积BCADbch.,45,2, 3 . 7cBbaABC求边中，已知在例求三角形的边求三角形的边ABCabc226 016 45cos3232 cos2 22222ccccBaccab解之，得即用余弦定理方法求三角形的面积求三角形的面积. 63,31cos,3tan. 8的的面面积积求求，中中，已已知知在在例例ABCACCBABC 3826sin21 3263322213123sincoscossin)sin(sin82332263sinsin322cos1sin 21cos,23sin60,3tan2AbcSCBCBCBABCbcCCBBBBbacCABCABABC由正弦定理得又，得、的长分别为、解：设四、判断三角形形状四、判断三角形形状判定三角形形状通常有