高等数学上册课件：5-6 定积分的近似计算

1、第六节一、一、矩形法矩形法二、二、 梯形法梯形法三、三、 抛物线法抛物线法定积分的近似计算 第五五章 牛顿莱布尼茨公式使定积分计算方便了很多，先要找到被积函数的原函数.但首却不易求得，甚至不能用初等函数表示，而很多初等函数的原函数例如积分 10sindxxx210edxx另外，许多实际问题通常会归结为复杂的数学模型，这些模型的解析解一般很难求得，在多数情况下也不需要知道解析解, 因此, 用数值方法求定积分的近似值是解决这个问题的一个有效途径. 随着计算机运算能力的快速提高，近似计算越来越受到关注.一、矩形法一、矩形法, ,)(baCxf设,d)(存在则baxxf根据定积分定义可得如下近似计算方

2、法:), 1 ,0(nixiaxi,nabx), 1 ,0()(niyxfii记baxxfd)(xyxyxyn110 011()1b annyyy 将 a , b 分成 n 等份: Oabxyix1ix1. 取小矩形 12()1b annyyy baxxfd)(xyxyxyn212. 取小矩形1iyx则有公式iyxabxOyix1ixbaxxfd)(xyyii211 0111()()22nnbayyyy n11ni二、二、 梯形法梯形法梯形近似公式实际上是矩形公式(1)(也称为左矩形公式)和公式(1)(也称为右矩形公式)的平均值，一般比矩形公式更精确一些.例例1. 用矩形法和梯形法计算定积分2

3、10edxx解解: :的近似值(取 n = 10）.ixiyi00.01.0000010.10.9900520.20.9607930.30.9139340.40.8521450.50.7788060.60.6976870.70.6126380.80.5272990.90.44486101.00.36788由公式 (1) 得210edxx由公式 (1) 得210edxx求上面两式得平均值，得梯形公式2101ed(0.777820.714 61)2xx0.777820.714 610.746 21.0191()10yyy12101()10yyy计算yi(见右表)设11,2,2iiixxxin则10

4、1( )d( ) (3)niif xxxf x 定理定理1. 设 ( , )xa b时,( )fx 存在用TE和ME分别表示梯形公式和矩形中点公式的绝对误差限，32()()12TTfbaEn32()()24MMfbaEn如果在矩形公式中不是用端点函数值作为矩形的高，而是用小区间的中点作为小区间的高，可以证明误差的绝对值约小一半.用泰勒公式可得(其中f 的二阶导数各在(a,b)上某未知的点取值)210ed .xx22222210.050.150.250.350.4501ed(eeeee10 xx0.1 (0.997 50+0.977 75+0.939 41+0.884 71+0.816 690.

5、73897+0.655 41+0.569 78+0.48554+0.40556)222e42 e, 01,xxxx22042 e2.xx 322(1 0)0.0008324 10ME322(1 0)0.0016712 10TE下面用中点公式计算222220.550.650.750.850.95eeeee)0.74713于是注:该定积分精确到五位有效数字的值为0.746824baxxfd)(10221211426mmmiiiibayyyym四、四、 抛物线法抛物线法是m等分的梯形法的面积与矩形中点法面积的2倍的和除以3:(从两者的误差表达式可见这种组合,误差可以抵消些)( )dbaf xxxyy

6、yiii2)4(6121222)4(621222iiiyyymab1()miimiimimyyyymab211121202466bam222124iiiyyyayObx12 ixix222 ixmx20 x 这种方法实际是用2次或2次以下多项式近似表示 f 的各段曲边用抛物线近似公式计算 210ed(210)xx nm解解: 根据公式(4), 有210edxx135794()yyyyy1(1.367882 3.037 904 3.740 27)30010246812()3 10yyyyyy0.74683.例例2. 定理定理2. 设 ( , )xa b时,(4)f存在用SE表示抛物线公式的绝对误差限，(4)54()()180sSfbaEnn=2m, 根据分部积分方法及积分中值定理,可得:注：注：定积分时， 甚至都不必知道被积函数的表达式， 道在一系列等距离点上的函数值即可