典型信号的傅里叶变换

1、矩形脉冲矩形脉冲单边指数信号单边指数信号直流信号直流信号符号函数符号函数升余弦脉冲信号升余弦脉冲信号一矩形脉冲信号 22jde tEFt22jej tEj2ee.22j2j E22sin E 2Sa E 2Sa EF幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： , 2 , 1 , 022212212240 nnnnn EO tft2 2 12 fBB或或频谱图 2Sa EF幅度频谱幅度频谱相位频谱相位频谱频宽：频宽： F E 2O 4 2 20 4 2 F E 2O 4 2 ttuEtfFttdee)(j F 0 000ettEtft 二单边指数信号 jde0 j EtEt tfOtE频谱图 22

2、 EF 0, 0 FEF arctan 2,2,0, 0 幅度频谱：幅度频谱：相位频谱：相位频谱： FO E O 2 2 tEtf,)(三直流信号不满足绝对可积不满足绝对可积条件，不能直接条件，不能直接用定义求用定义求 FtO tf1 E EE2tO tfE推导 tEFtdejlim jejlimtE jeejjlim E sin2lim E sin2lim E E2 O E2 F EE2 )(Salim 时域无限宽，频带无限窄时域无限宽，频带无限窄t11 )sgn(tO 0, 10, 1sgn)(ttttf四符号函数处理方法：处理方法： 0j0j1deedeettFtttt 222jj1j1

3、 j22j22010limlim FFte te 。求极限得到求极限得到，求，求 FFttft11esgn 做一个双边函数做一个双边函数不满足绝对不满足绝对可积条件可积条件 2je22jj2sgn t频谱图 是是偶偶函函数数 F 是奇函数是奇函数 O 22 2 )( FO 222F 0,20 ,202arctan 五升余弦脉冲信号 ttEtf0 cos12OtE tf 2E2 2 ttfFtdej t tEtdecos12j tEtEtEtttttdee4dee4de2jjjjj Sa2Sa2SaEEE频谱图 221Sa1sin EEF其频谱比矩形脉冲更集中。其频谱比矩形脉冲更集中。 O F

4、E 2 E 2 3 4 B 冲激函数和阶跃函数冲激函数冲激函数冲激偶冲激偶单位阶跃函数单位阶跃函数 ttFtde)(j 一冲激函数 Bt,01时时的的矩矩形形脉脉冲冲，看看作作冲激函数积分是冲激函数积分是有限值有限值，可以用公式求。而，可以用公式求。而u(t)不不满足满足绝对可积绝对可积条件，不能用定义求。条件，不能用定义求。 tO 1 tf F1 O1 比较1)(t 21)( tO 1 tf F1 OO 1 F t tf21O二冲激偶的傅里叶变换 0dftttf jj e de0jj ttttttF 21 j1sgn21t三单位阶跃函数Ot1 tu ttusgn2121 Ot21Ot2121

5、 tsgn21O O O F j1)( tu周期信号：周期信号：非周期信号：非周期信号：周期信号的傅里叶变换如何求？周期信号的傅里叶变换如何求？与傅里叶级数的关系？与傅里叶级数的关系？ 离散谱离散谱傅里叶级数傅里叶级数 1 nFtf 连续谱连续谱傅里叶变换傅里叶变换 Ftf 叶叶变变换换统统一一的的分分析析方方法法：傅傅里里非非周周期期周周期期 tf由由欧拉公式欧拉公式由频移性质由频移性质一正弦信号的傅里叶变换 tttttt0000jj0jj0eej21sinee21cos 21 0j0j2e12e100 tt 000002221cos t同理同理 000jjsin t已知已知 )()(cos

6、000 t 000jjsin t0 0 F O频谱图:cos0频谱图频谱图t :sin0频谱图频谱图t 0 0 F o 0 0 2 2 o由傅里叶级数的指数形式出发：由傅里叶级数的指数形式出发：其傅氏变换其傅氏变换(用定义用定义)二一般周期信号的傅里叶变换112: T设设信信号号周周期期 ntjnnFtf1e1T tntnFnFnFFtfFF11j1j1TTee 112 nnF 112 nnF ; 1T的频谱由冲激序列组成的频谱由冲激序列组成tf 谐波频率谐波频率位置位置 :1 n 离散谱离散谱成正比成正比与与强度强度 , )( 2:11 nFnF几点认识 表示的是频谱密度。表示的是频谱密度。

7、因为因为谱线的幅度不是有限值谱线的幅度不是有限值 F, 2 ,1处处只存在于只存在于周期信号的周期信号的 nF 。幅度为幅度为频率范围无限小频率范围无限小 , 11T2 nnFF 三如何由 求 的关系的关系的谱系数的谱系数与周期信号与周期信号即单个脉冲的即单个脉冲的1T0 nFtfF tf0t2T 2T tfTT Ttoo 00 Ftf设设 )1(de22j00 TTtttfF 0F 1 nF 22j11j1)2(de1e11TTtnTntnTttfTnFnFtf 比较式比较式(1),(2) 22jT11j1T)2(de1e11TTtnntnttfTnFnFtf tftfnT01 相同相同与与

8、内内在在tftfTTT02,2 10111 nFTnF 所以所以 1T0 nFtfF的谱系数的谱系数求周期函数求周期函数可由可由 )1( de22j00 TTtttfF nnTtt1T ntnntnTnFt11j1j1Te1e 所以所以四周期单位冲激序列的傅里叶变换t tT 1 1 1 1 1 1T1T 12T12T o 1 t 因因为为 的傅氏级数谱系数的傅氏级数谱系数所以所以tT 111TnF 1 nF11T1 12 1 12 o 1 1 1 1 1 12 1 1 12 Fo 。强强度度和和间间隔隔都都是是激激序序列列的的频频谱谱密密度度函函数数仍仍是是冲冲1T, t频谱 ntnFTtFF1j1Te1 nnT112 nnT1121 nn11五周期矩形脉冲序列的傅氏变换 tf1Tto1T 2 2 E方法方法1 1)()()(10 FnFF 2Sa)(0 EF 10111 nFTnF 所以所以 112)( nnFFn 1112Sa nnEn 1112Sa2 nnTEn )()()(T0