量子试题及习题

1、"cksn"u."wu；0fa.m.d":”ge.：P.o.tno”.：.on： cayoutt.“:-一 ：-"dhe. J.“.：丘"：”；：£"：壬03；":三量子力学习题第一章绪论1.1由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长F与温度T成反比，即mT=b(常量)；并近似计算b的数值，准确到二位有效数字。1.2在0K附近，钠的价电子能量约为3eV,求其德布罗意波长。1.3氦原子的动能是E=3kT/2( k为玻耳兹曼常数)，求T=1K时，氦原子的 德布罗意波长。1.4利用玻尔一索末菲

2、的量子化条件，求：(1) 一维谐振子的能量；(2) 在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。已知外磁场H=10特斯拉，玻尔磁子Mb=9X10-24焦耳/特斯拉，试计算动能 的量子化间隔AE,并与T=4K及T=100K的热运动能量相比较。1.5两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对。如果两光子的能量相 等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？第二章波函数和薛定谔方程2.1由下列两定态波函数计算几率流密度：(1)屮 1=ekr/r, 屮 2=e-lkr/r.从所得结果说明'-；1表示向外传播的球面波，'-2表示向内(即向原点)传播的球 面波。2.2 一粒子在一维势场x ：

3、 0U(x) = <0,0 兰 x 兰ax>a中运动，求粒子的能级和对应的波函数。2.3求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。2.4 一粒子在一维势阱U(x)U0,0,x >ax乞a中运动，求束缚态(0<E<U0)的能级所满足的方程。2.5对于一维无限深势阱(0<x<a)中的定态' n(x)，求x、x和厶x，并与经典-to;.:- ”_:,np":;”G:;.:"ol:_-":;:":"I":":;- ":""":":

4、：:-":?-": p.th.”“：一：-"：".dh：.-p.r.一：-"一力学结果比较2.6粒子在势场V(x)十V。,0 ： x ： a0,中运动,求存在束缚态(EvO)的条件(',m.a, Vo关系)以及能级方程。2.7求二维各向同性谐振子V= 2 k(x2+y2)的能级，并讨论各能级的简并度2.8粒子束以动能E=-2k2. 2m从左方入射，遇势垒V(x)，0,x _0求反射系数、透射系数E<V0及E>V0情形分别讨论2mR2 d22.9质量为m的粒子只能沿圆环(半径R)运动，能量算符为旋转角。求能级(En)及归一化本

5、征波函数'n()，讨论各能级的简并度第三章基本原理(x)二3.1一维谐振子处在基态，求:(1)势能的平均值动能的平均值2；动量的几率分布函数3.2设t=0时，粒子的状态为' (x)=Asin2kx+ 2 coskx，求此时粒子的平均动量和平均动能3.3在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a，如果粒子的状态由波函数(x)=Ax(a-x)"cksn"u."wu；0fa.m.d":”ge.：描写，A为归一化常数，求粒子能量的几率分布和能量的平均值。3.4证明：如归一化的波函数'(x)是实函数，贝U <x px>=i &

6、#39; /2 ； 如 =- (r)(与0，®无关),则 <r & >= 32 。3.5计算对易式x, Ly，pz, Lx，并写出类似的下标轮换式(X； y, y-；乙z)x)。3.6证明算符关系r L L r = 2rp L L p = 2i p3.7设F为非厄米算符(FF)，证明F可以表示成A+iB的形式，A、B为厄 米算符。求A、B与F、F+之关系。13.8 一维谐振子(V1= 2 kx2)处于基态。设势场突然变成 V2=kx2，即弹性力增 大一倍。求粒子在V2场中的能级以及此粒子在新势场的基态中出现的几率。3.9有线性算符L、M、K，L, M=1，K=LM

7、。K的本征函数、本征值记为 宀、n (n=1,2,.)。证明：如函数Mr及U-n存在，则它们也是K的本征函数， 本征值为(n 1)。亠2 - 3.10证明：如H=P/2m+V(r)，则对于任何束缚态< P >=0。_ 23.11粒子在均匀电场中运动，已知 H= p /2m-q ；x。设t=0时x =0， px =po， 求x(t)，瓦述)。3.12粒子在均匀磁场B=(0, 0, B)中运动，已知H= p /2m - Lz，=qB/2mc 设 t=0 时< p >=(p°, 0, 0)，求 t>0 时< p >。3.13粒子在势场V(r )中运

8、动，V与粒子质量m无关。证明：如m增大，则 束缚态能级下降。第四章中心力场“.：丘"：”；:：£"：壬03；":三4.1nlmJe =sin证明氢原子中电子运动所产生的电流密度在球极坐标中的分量是Jer=JeK,4.2由上题可知，氢原子中的电流可以看作是由许多圆周电流组成的(1)求一圆周电流的磁矩。："-：“”；：；：” -：；：；：2.：.："-：.："：一-；._：_“：.；：""：'：."：；：:：。：.：；"：“'：.-：.：.；："：0；："

9、;；：；. 0"；：.："".；：；：“".：.：；："：h.”“：一：-"：".dh：.-p.r.一：-"一（2）证明氢原子磁矩为e'M =M(SI)e'(C G S2七原子磁矩与角动量之比为Lz(SI)(C G S这个比值，称为回转磁比率4.3设氢原子处于状态1J 3'-（r,二）=2只21（）丫10（）一于 R21（r）Y1（）,求氢原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。4.4利用测不准关系估计氢原子的基态能量4.5对于类氢离子的基态*1

10、00，求概然半径（最可几半径）及r, r4.6对于类氢离子的'-'nlm态，证明<T>= - 2 <V>= - En。4.7对于类氢离子的基态100，计算厶X, 巾x，验证不确定关系4.8x px 2单价原子中价电子（最外层电子）所受原子实（原子核及内层电子）的库仑作用势可以近似表示成V(r)=-e22 e a°0 ： ： ： 1试求价电子能级。与氢原子能级比较,列出主量子数n的修正数公式。提示:将V（r）中第二项与离心势合并，记成1（11） 2/2 卄2，计算（l _l）之值,.第五章表象理论5.1H?对易证明 < k n>=0设

11、'-；/；是厄米算符H?的本征态矢，相应于不同的本征值。算符F?与 . hemp；' n. no”.ntde .I5.2质量为"的粒子在势场 V（x）中作一维运动，设能级是离散的。证明能量表象中求和规则瓦（En-EQne%|k2J（为实数）。5.35.4设J为角动量,n为常矢量，证明J,-J =i5.5对于角动量J的jm态222（J , Jz共同本征态），计算Jx、Jy、Jx、Jy等平均值，以及厶Jx、厶Jy。5.6设n （单位矢量）与z轴的夹角为二，对于角动量J的jm态，计算<Jn>（即n J的平均值）5.7，Lz共同本征态矢。在1=1子空间中，取基矢为

12、11, 10,1-1,建立L2，Lz表象。试写出Lx及Ly的矩阵表示（3阶），并求其本征值及本征态矢（取Ji=1)x，*5.8x，第六章6.1对于谐振子相干态微扰理论(a=j.,:为实数），计算n，E，厶 E，如果类氢原子的核不是点电荷，而是半径为r0,电荷均匀分布的小球,对于一维谐振子的能量本征态 n，利用升、降算符计算T、V、.lx、：p0计算这种效应对类氢原子基态能量的一级修正6.2转动惯量为I、电偶极矩为D的空间转子在均匀电场；中，如果电场较小,用微扰法求转子基态能量的二级修正6.3设一体系未受微扰作用时只有两个能级E01及E02,现在受到微扰的作用。微扰矩阵元为H 12=H '

13、;1=a, H 11=H '2=b;a, b都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值6.4 一电荷为e的线性谐振子受恒定弱电场；作用，设电场沿正x方向:（1）用微扰法求能量至二级修正;_"-:：.：""：.：."：b：:：。：.：；"：“'：.-：.：.；.："：0；："；：；. "f："".；：；：'.”".：.：；："；：".三迈二：；：；0：三二；：。：；0三 '：.：；.二;：；.；.："：.：；"：；:：.

14、；：-："-：“”；：；：”C：；：；：2：.：."C：.："：-.n -v._.:"cksn"u."wu；0fa.m.d":”ge.： P.:h.”“：一：-"：".一：-"一(2)求能量的准确值，并和(1)所得结果比较6.5设在t=0时，氢原子处于基态，以后由于受到单色光的照射而电离。设单色光的电场可以近似地表示为；sin t，；及均为常量；电离后电子的波函数近似地以平面波表示。求这单色光的最小频率和在时刻t跃迁到电离态的几率“.口：丘"：”；：£"：壬03；&

15、quot;:三0,6.6基态氢原子处于平行板电场中，若电场是均匀的且随时间按指数下降,t<0;t _0 0求经过长时间后氢原子处在2p态的几率6.7计算氢原子由第一激发态到基态的自发发射几率。6.8求线性谐振子偶极跃迁的选择定则6.9粒子(质量)在无限深势阱0<x<a中运动，处于能量本征态 "(x)。后受到微扰作用,H'=x,(a)求跃迁选择定律(屮己屮n, n'n=?)；(b)利用定态微扰论，求能级En的一级修正6.10用变分法求氢原子(V=-e2/r)或三维各向同性谐振子(V= 2丄厲2)的基态能量近似值(二者选一)(a)取试探波函数为'

16、 (-, r)=Aexp(- r);(b)取试探波函数为-(, r)=Bexp(-6.11质量为的粒子在势场V(x)=kx4 (k>0)中作一维运动。试用变分法求基态能量近似值。建议取试探波函数' (, r)=Aexp(- - 2r2)6.12某量子力学体系处于基态 r(x)。t>0后受到微扰作用,H' x；t)=F(x)e_t/，试证明:F n1/(En -曰)22/ 2第七章自旋7.1(Sz)7.2求在自旋态中,Sy的测不准关系:长时间后(r)该体系处于激发态'- n(x)的几率为(Sx 2 ©Sy 2 = ?7.32'J0丿的本征值和

17、所属的本征函数。7.4求自旋角动量在(cos，cos：，cos )方向的投影£ 二 Seos：SycoscosOsaxw"：:.*d"：ngddt”u；j.g；gfg "ras.p.dupp yg"“pacnfpv:vcud：i:.x4gSKdr"amvigove”-”畑ww.g r-”D.*:*me“wg.*-Sfcru-rcen.wm"i*-h；g*:”*hac.：:*.o:：y：.畑.；：".”*.“"：2*."：uv.g”.*0=”=* .”:ms"d：;：Y.wnt"

18、;oner;:s："：y"一=“5：曲：*.“.i*i.o“-；*ot”:e：u“rf；rw;.:dp.'：*y:a“ds：.“.“.“c-o;a."uyizymu-fefausWdWFg:.-”:.*-:*：,的本征值和所属的本征函数。在这些本征态中，测量S?z有哪些可能值?这些可能值各以多大的几率出现？Sz的平均值是多少?7.5设氢原子的状态是1尹20110R2i(r)Yo(Y )o(1)求轨道角动量z分量Lz和自旋角动量z分量S?z的平均值;(2)求总磁矩M?二(SI)的z分量的平均值(用玻尔磁子表示)7.6求电子的总角动量算符J2，Jz的共同本征函

19、数。7.7在Sz表象中，证明2九0e7.8对于电子的L，S，J ,证明(取一 =1)(2S L 1)2(匚 J)(匚 J -1) - J7.9电子的总磁矩算符是2mec(L 2S)对于电子角动量的I j j态(mj=j)计算码的平均值(结果用量子数j表示出来)第八章多粒子体系8.1 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有 两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波 函数构成？丄8.2设两电子在弹性辏力场中运动，每个电子的势能是U(r)= 2丄厲2。如果电子之间的库仑能和U(r)相比可以忽略，求当一个电子处在基态，另一个电子处 于沿x方向的第一

20、激发态时，两电子组成体系的波函数。8.3某体系由两个全同粒子组成，单粒子自旋量子数为s。求体系总自旋态中对称态与反对称态的数目。8.4某体系由三个粒子组成，单粒子状态为',.,写出体系波函数的 可能类型(忽略粒子间相互作用)。(a)全同玻色子；(b)全同费密子；(c)不同粒子。量子力学考试题(共五题，每题20分)1、扼要说明：(a) 束缚定态的主要性质。(b) 单价原子自发能级跃迁过程的选择定则及其理论根据。A AAA A A A2、设力学量算符(厄米算符)F，G不对易，令K = i ( FG-GF )， 试证明：(a) K的本征值是实数。(b) 对于F的任何本征态，K的平均值为0。(

21、C)在任何态中F2 +G2 > K3、自旋/2的定域电子(不考虑“轨道”运动)受到磁场作用，已 知其能量算符为H? n y ：SH = ' Sz + v Sx( ，v >0, ? v )(a) 求能级的精确值。(b) 视v Sx项为微扰，用微扰论公式求能级。4、质量为m的粒子在无限深势阱(0<x<a)中运动，处于基态。写 出能级和波函数，并计算平均值x，pZ，云5、某物理体系由两个粒子组成，粒子间相互作用微弱，可以忽略。WE：；"壬.:：.”""；：'：."："：'-：'n.：”"

22、;：'：:"：.-n：.w”：.；：-：:：'；：n；：”'.："”：”：."".：；I:-%':三二门:.:0p.o.t h.p：. . no”.ntde .I d.e.pl.已知单粒子“轨道”态只有3种:(r).(r),（r ）,试分别就=02V+ v."ub'.以下两种情况，求体系的可能（独立）状态数目（i ）无自旋全同粒子。（ii ）自旋/2的全同粒子（例如电子）量子力学考试评分标准1、（a），（b）各 10分(a)能量有确定值力学量（不显含t)的可能测值及概率不随时间改变(b)(n I m ms

23、)(n' Im) m选择定则：=ims2、(a)(a)根据：电矩m矩阵元6分（b） 7分K是厄米算符，-er n' I(c) 7 分-0所以其本征值必为实数。(b)KN)(c), - ,-，- 2 2(F+i G)( F -iG )=F +G -KA.(F+i G)( F-i?；=(F-i2<F +G2-K > A 0，即卩 F +G3、(a),(b)各10分Sx-1-co令E=0,=.2-VE1(1+ 2)1/2(1+2 2 )_"i：.：""：'：."i.：b.：。-：0n.C：；"：i"：e.

24、-n：e.：.；0：-d.:O；：in；：；o. 0"；：p：.：e""g.；：t：；：'n”f.：.：；："：d：”三三:三三:-：；0：三二:：。：；0三 '：-：."；.二；。：o：o.；.："：c：.：；.：.t:：0：.；：；-.“”；：；：”C：；：；：2.："C：.："：-.n -._:. (b) Hp.t"cksn"u."wu；0fa.m.d":”ge.：一：-"一一：-"：".h.”“：dh：.：“.-P.：.ElSz +本征值为Sx =H o+H+ 2：.-.Ei（o）SzSxE2（o）相当本征函数（Sz表象）（o）（o）=0则H之矩阵元（Sz表象）为H 11=0H 22 =0 ,1221221E1 = E1(0)+ H 11 + E1(0)-E(0)+0-12E2= E2(0)+