立体几何中的向量方法(一)

1、高三一轮复习学案-第七章：立体几何第七节 立体几何中的向量方法(一)证明空间中的位置关系1.直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量定义：向量a所在直线与l_平行或重合，则a叫做l的方向向量；确定：通常在直线l上任取两点构成的向量.(2)平面的法向量定义：与平面 垂直 的向量，称做平面的法向量；确定：设n是平面的法向量，在平面内找两个不共线向量a,b，由方程组 来确定.2.空间位置关系的向量表示位 置 关 系向 量 表 示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1l2n1n2n1=n2l1l2n1n2n1·n2=0直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmn·m

2、=0lnmn·m=0平面,的法向量分别为n,mnmn=mnmn·m=0判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“×”).(1)直线的方向向量是唯一确定的.( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的.( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.( )【解析】(1)错误.与直线平行的任意非零向量都是该直线的方向向量.(2)错误.由于法向量的方向不同，所以平面的单位法向量不唯一.(3)正确.由平面平行的转化定理可知.(4)正确.由直线平行的转化定理可知其逆否命题正确，根据等价命题可知.答案：(1)× (2

3、)× (3) (4) 1.若直线l的方向向量为a=(1,0,2)，平面的法向量为u=(-2,0,-4),则( )(A)l (B)l(C)l (D)l与斜交【解析】选B.a=(1,0,2),u=(-2,0,-4), u=-2a,即ua,l.2.若直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，能使l的是( )(A)a(1,0,0)，n(2,0,0) (B)a(1,3,5)，n(1,0,1)(C)a(0,2,1)，n(1,0，1) (D)a(1，1,3)，n(0,3,1)【解析】选D.若l，则a·n=0.经验证知，D满足条件. 3.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),

4、b=(-6,9,6),则直线l1,l2的位置关系是_【解析】由a·b=2×(-6)+4×9+(-4)×6=0得ab，从而l1l2 答案：l1l24.若平面，的法向量分别为a=(-2,y,8),b=(-10,-1,-2),且，则y=_.【解析】,a·b=0, 即20-y-16=0, y=4. 答案：45.若A(0,2, ),B(1,-1, ),C(-2,1, )是平面内的三点，设平面的法向量n=(x,y,z)，则xyz=_.【解析】由题知 =(1，-3，- )， =(-2,-1,- ).所以xyz=( y)y(- y)=23(-4) 答案：23(

5、-4) 考向 1 空间中的点共线、点共面问题 【典例1】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD边AB,BC,CD,DA的中点,用向量法证明：(1)E，F，G,H四点共面.(2)BD平面EFGH.【思路点拨】(1)证明 根据共面向量定理即可得到结论；或证明FGEH，即可得到FG,EH确定一平面，故得四点共面(2)证明 共线，然后根据线面平行的判定定理解题即可.【规范解答】(1)方法一：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边的中点，E,F,G,H四点共面方法二：E,F,G,H分别是空间四边形ABCD各边的中点， FGEH且FG=EH，四边形EFGH为平行四边形 故E,F,G,H四点共面【拓

6、展提升】1.证明点共线的方法证明点共线的问题可转化为证明向量共线的问题，如证明A,B,C三点共线，即证明 共线，亦即证明 2.证明点共面的方法 证明点共面问题可转化为证明向量共面问题，如要证明P,A,B,C四点共面，只要能证明 或对空间任一点O，有 即可共面向量定理实际上也是三个非零向量所在直线共面的充要条件【变式训练】如图所示，已知ABCD是平行四边形，P点是平面ABCD外一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为PAB，PBC，PCD，PDA的重心.(1)试用向量法证明E，F，G，H四点共面.(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量法证明你的判断.【解析】

7、(1)分别连接PE,PF,PG,PH并延长交对边于M,N,Q,R点.因为E,F,G,H分别是所在三角形的重心,所以M,N,Q,R分别为所在边的中点，连接MN,NQ,QR,RM得到的四边形为平行四边形，且有：连接MQ，EG，因为四边形MNQR是平行四边形，所以 由共面向量定理知E,F,G,H四点共面(2)平行.理由如下：由(1)得又因为EGË平面ABCD，MQ平面ABCD，所以EG平面ABCD.因为所以MNEF.又因为EFË平面ABCD，MN平面ABCD，所以EF平面ABCD.由于EG与EF交于E点，所以平面EFGH平面ABCD.考向 2 利用空间向量证明平行关系 【典例2】

8、在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA12AB2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点.求证：CE平面C1E1F. 【思路点拨】要证明CE平面C1E1F，可证明向量 与平面C1E1F的法向量垂直.【规范解答】以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC1，则C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，F(1，1，1)，E1(1， ，2).设平面C1E1F的一个法向量n=(x,y,z).【互动探究】在本例条件下，判断平面C1E1F与平面CEF是否垂直，并给出证明.【拓展提升】利用向量处理平行问题的常用方法(1)证明两条直线

9、平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量.(2)证明线面平行的方法：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；利用共面向量定理，即证明直线的方向向量可用平面内不共线的两个向量线性表示.(3)证明面面平行：证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；转化为线面平行、线线平行问题.考向 3 利用空间向量证明垂直关系 【典例3】(2013·长沙模拟)如图，在三棱锥P-ABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上.已知BC8，PO4，AO3，OD2. (1)证明：APBC.(2)在线段AP上是否存在点M，使得平面A

10、MC平面BMC？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.【思路点拨】对(1)问线线垂直的证明易入手，利用两非零向量的数量积为0即可进行证明.对(2)问，平面AMC平面BMC，即平面AMC的法向量与平面BMC的法向量垂直，因此可建立适当的空间直角坐标系求解.因为M在线段AP上，故可利用A，M，P三点共线设出M点的坐标.拓展提升】向量方法证明空间垂直关系的基本途径(1)线线垂直：只要证明两直线的方向向量垂直.(2)线面垂直：用线面垂直的定义，证明直线的方向向量与平面内的任意一条直线的方向向量垂直；用线面垂直的判定定理，证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直；证明直线的方向向量与

11、平面的法向量平行.(3)面面垂直：平面与平面的垂直，除了用面面垂直的判定定理转化为线面垂直外，还可证明两平面的法向量垂直.【变式训练】在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PDDC，E，F分别是AB，PB的中点.(1)求证：EFCD.(2)在平面PAD内求一点G，使GF平面PCB，并证明你的结论.1.(2013·邵阳模拟)已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)三点，n=(1,1,1)，则以n为方向向量的直线l与平面ABC的关系是( )(A)垂直 (B)不垂直 (C)平行 (D)以上都有可能【解析】选A.由题意知， =(-1，1，0)， =(

12、0，-1，1)，n· =0,n· =0, 以n为方向向量的直线l与平面ABC垂直.2.(2013·益阳模拟)如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB ，AF1，M在EF上且AM平面BDE，则M点的坐标为( )3.(2013·怀化模拟)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a,M，N分别为A1B和AC上的点，A1MAN 则MN与平面BB1C1C的位置关系是( )(A)斜交 (B)平行 (C)垂直 (D)不能确定4.(2013·青岛模拟)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PA底面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，PAa，二面角P-CD-B为45°.求证：(1)AF平面PCE.(2)平面PCE平面PCD.1.如图，在四棱锥P-A