2018-2019学年湖南省益阳市高二上学期期末数学(文)试题(解析版)

1、2018-2019学年湖南省益阳市高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1 .不等式X2 3x 4 0的解集为（）A. x| 4 X 1 B. x| 4 X 1 C. x|x 4或 X 1 D.【答案】A【解析】根据一元二次不等式的解法，求得不等式的解集【详解】2依题意x3x 4 x 4 x 10,解得 4 x 1 ,所以不等式的解集为x| 4 x 1 .故选：A【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题2 .设命题p : x R, x2 1 0 ,则 p为（）22A.xOR, x01 0B.xR, x1022C.x0R, x010D.x0R, x010【答案】D【解析】 分析：根

2、据全称命题的否定解答 .2详解：由全称命题的否7E得P为：x0 R,x0 1 0,故答案为D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.（2）全称命题P ： x M,p（x），全称命题P的否定（P）： x M , p（x）.2 23 .双曲线1的焦点坐标是169A. （ J7,0）B. （0, 6C.（ 5，0）D. （0, 5【答案】C【解析】分析：由题意求出a,b,则c 丁，可得焦点坐标22详解：由双曲线1,可得a 4,b 3, c Va2 b2 5，16922故双曲线士 L 1的焦点坐标是（5,0）169选C.点睛：本题考查双曲线的焦点坐标的求法，属基础题

3、4 .如图，在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域 ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）.若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是B.A . 1 一42C.D.第13页共14页【解析】 试题分析：由图形知，无信号的区域面积以由几何概型知，所求事件概率【考点】几何概型.y5.已知实数x、y满足yx2x2x则目标函数z x 2 y的最小值是（）B. 15C. 0D. -10A时，z有最小值,y 2x,由, 解得A（3,6）,所以Zmin 3 129 ,故选A.x 36 .阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序

4、，则输出 S的值为（）A . - 1B. 0C. 1D. 3【答案】B【解析】运行程序，根据循环结构计算出输出的S的值.【详解】运行程序，S 1,i 1, S 3,i 2,判断否，S 4,i 3,判断否，S 1,i 4,判断否否，S 0,i 5,判断是，输出S 0.故选：B【点睛】本小题主要考查根据循环结构程序框图计算输出结果，属于基础题7 .函数f （x） =Asin （cox+（j）（其中A>0, w>0, | （M ）的部分图象如图所示，则函数f （x）的解析式为（）【解析】sin2x 6由图观察出解：由图可知:代入点（一，1）得16sin(2x故选:A.本题考查了由8.已知

5、r由2ar2aB. y sinD. y sin3T 11sin(2y Asin(r2, b1,12x C.12sin 2x 一 34x 一 6可得2,进而得到解析式.）,2kZ,）的部分图象确定其表达式，属基础题.与b的夹角为一，则2a 3b利用平方再开方的方法，结合向量数量积的运算，求得r 23br3bD. 4r r2a 3b的值.r2r r r24a 12a b 9b 16 12 2 1 cos 9 313 ,所以故选:本小题主要考查平面向量模的运算、数量积的运算，考查化归与转化的数学思想方法, 属于基础题.9.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如表：广告费用x（万元）2345销售额y

6、（力兀）26394954根据表中可得线性回归方程y bx a中的$为9.4,据此模型预报广告费用为7万元时销售额为（A. 73.6万元B. 73.8万元C.74.9万元D. 75.1万元【解析】根据回归直线方程过样本中心点列方程,解方程求得$的值,进而求得预报值.依题意x2 3 4 5 3.5, y426 39 49454 1684bx a中的$为9.4,即 $9.4x $，代入 x,y的 42 9.4 3.5 $，解得 $ 9.19 9.4x9.1,当 x 7时，$9.4 7 9.1 74.9 万元.故选：C本小题主要考查回归直线方程过样本中心点,考查用回归直线方程进行预测,属于基础10.设

7、 a20,b 0,若£是3a与32b的等比中项，则-1 ，-的最小值为（ bB. 6C. 7D. 8区是3a与32b的等比中项,3a32 b3a3,2b(a2 1叫b)4b a2.4b a4b8 ,当且仅当 a时等号成立.D.已知数列an的前n项和为Sn,若Sn=1+2an(n 2),且 a1二2,则 S20=(219 1B. 221 - 2C. 219+1D. 221+2【答案】C【解析】根据已知条件，求得数列an的通项公式，根据等比数列前n项和公式求得S20.【详解】当 n 1 时，a12；当 n 2时，S2 1 2a2,a a2 1 2a2,a2 1当n 2时，Sn 1 2an

8、,&1 1 2an 1,两式相减并化简得 an 1 2an,所以数列an是首项为2,第二项为1,从第二项起是公比为 2的等比数列，所以2,n 1a2 1 219anon2。.所以S20a1 221912191.2 ,n 220 f 1 2故选：C【点睛】根据递推关系求数列的通项公式，考查数列求和，属于基础题12 .设函数f'x0是偶函数f(x)(x C R)的导函数，f(2)=0 ,当x>0时,xf' X) - f(x)<0 ,则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A. ( 8, 2)U(0, 2)B. (一 £ - 2) U (2, +

9、8)C. (-2, 0) U (2, +oo)D. (-2, 0) U (0, 2)【答案】Df xL '【解析】构造函数F x ,利用导函数F x ,结合已知条件，判断出F x的单调性，结合f x为偶函数，以及f 20判断出F x的大致图像，由此求得f x 0的解集.【详解】f x, xf x f x构造函数F x ,则当x 0时，F x 2 0,即当x 0时，xxF x单调递减，而f x是偶函数，故F x为奇函数，在 ,0上递f 2减.F 2 0, F 2 F 20.画出F x的大致图像如下图所示，由图2可知，当x 0时，f x 0则F x0,则x 0,2 ；当x 0时，f x 0

10、 ,则F x 0,则x2,0 .所以使f x 0成立的x的取值范围是 2,0 U 0,2 .故选：D【点睛】本小题主要考查构造函数法解不等式，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题二、填空题, 一 rir. H r r .13 .已知向量 a2,1 ,b4,m ,右 a/b，则 m=.【答案】-2【解析】根据两个向量共线的坐标表示列方程，解方程求得m的值.【详解】，一 r r -, _由于a/b，所以 2m 4 0，解得m 2.故答案为：2【点睛】本小题主要考查两个向量平行的坐标表示，属于基础题14 .函数历x在点处的切线方程为.【答案】【解析】括X，三，沁尸4)=。所以丫。=&-1)

11、,受YY=O,故答案为 武尸=日【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：(1)求出丫 = 在黑局处的导数，即¥ = 在点p出的切线斜率(当曲线丫=口中在P处的切线与¥轴平行时，在处导数不存在，切线方程为其 = <); (2) 由点斜式求得切线方程y-V0 =加小-乂出15 .已知 cos a , cos( or 3 )短，且 0< 3 < a ,贝U sin 3 =.7142【答案】立2【解析】利用同角三角函数的基本关系式求得sin ,sin的值，由sin sin的值.【详解】依题意0，则02- 4 J3sin

12、 靖 cos ， sin7sin sinsin4 .3 13 1 3_.349 3714 7147 14故答案为：_3 23,所以0万，所以1 cos2迤,所以14coscos sin本小题主要考查同角三角函数的基本关系式,考查两角差的正弦公式， 考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.16 .过抛物线C：y2=4x的焦点F的直线l与抛物线相交于 P, Q两点，与抛物线的准线相交于点L uuuuM，且 FMuuu3FP，则4OMP与4OMQ的面积之比SvOMPSvOMQ-1【答案】13【解析】利用抛物线的定义进行作图，结合uuuu uurFM3FP和相似三角形，求得3 PMQM ,由此求得S

13、vompSVOMQ如图，过点P作准线的垂线交于点 H,设|PF=|PH|=m,过点Q作准线的垂线交于点 E,uuuu则 |EQ|=|QF|, FMuuu _，一、_一,r3FP ,|PM|=2m,根据PHMsqem,可得PHPMqe|QM1 一一 一一 一 一 一 一，2|EQ|=|QM|=|EQ|+3m.，|EQ|=|3m,故 3PM|=|QM|,则 4OMP 与 2 OMQ的面积之比OMPSVOMQ- -1故答案为：-3【点睛】本小题主要考查抛物线的定义,考查抛物线中三角形面积比的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题 三、解答题17 .某年级100名学生期中考试数学成绩（单位：分）

14、的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是50, 60）, 60, 70）, 70, 80）, 80, 90）, 90, 100.利!率（1）求图中a的值，并根据频率分布直方图估计这100名学生数学成绩的平均分；（2）从70, 80）和80, 90）分数段内采用分层抽样的方法抽取5名学生，求在这两个分数段各抽取的人数；（3）现从第（2）问中抽取的5名同学中任选2名参加某项公益活动，求选出的两名同学均来自70, 80）分数段内的概率.3【答案】（1） 0.03, 73 （分）（2） 3人和2人（3） P 10【解析】（1）利用频率之和为1列方程，解方程求得 a的值.用每组中点值乘以对应组的 频

15、率，然后相加，求得平均分的估计值.（2）根据分层抽样的知识和频率比，求得分别抽取的人数(3)利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率【详解】(1)依题意得10X(2 >0.005+0.02+a+0.04)=1 ,解得a=0.03,这100名学生的数学平均分为：55 0.05+65X0.4+75X0.3+85X0.2+95X0.05=73 (分)(2)由(1)可知，成绩在70, 80)和80, 90)中的学生人数比为 3:2, 用分层抽样方 法抽取成绩在70, 80)和80, 90)中的学生人数分别为 3人和2人.(3)设成绩在70, 80)中的学生为a1，a2, a3,成绩在

16、80, 90)中的学生为b1, b2,则 从5人中选取2人的所有结果为:,a2),a3),(a2,a3),(b1,b2),(a1, b)，(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b)(a3,b2),共10个结果，其中符合条件的共3个结果,，选出的两名同学均来自70, 80)分数段内的概率为 P .10【点睛】本小题主要考查补全频率分布直方图，考查分层抽样，考查古典概型的计算，考查数据 分析与处理的能力，属于基础题.18 .已知函数 f(x) Y3 sin2x+cos2x. 2(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；(2)求函数f(x)的单调递增区间.3【答案】(1) T=兀，

17、取大值一(2) k , k ,k Z2 36【解析】 利用降次公式和辅助角公式化简f x表达式，(1)根据f x表达式求得f x的最小正周期和最大值.(2)根据三角函数单调区间的求法，求得f x的单调递增区间f(x)32sin 2x cos x2.3一 sin 2x1 cos2x2311sin 2x一cos2x一sin 2x一2226(1)所以f x的最小正周期T22(2)令一2k22x 2k62x k , k Z ,所以6Tn=2(11=2(1 77)2n2n2n+1- 2.n 1f x的单调递增区间为一k , k ,k Z .3 6【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式、辅助角公式，考查三

18、角函数最小正周期、最值和单调区间的求法，属于基础题 .19.已知等差数列an的前n项和为Sn,且a2=2, S5=15.(1)求数列an的通项公式及前 n项和Sn；,、1 (2)设bn 2 ,求数列bn的前n项和Tn. Sn【答案】(1) an=n, Sn 1o L - )+(2+4+ +2) n n 1n(n+1) (2) Tn=-2 2n+1 - 2. 2n 1【解析】(1)利用基本量的思想，将已知条件转为a1,d的形式，由此解得a1,d ,进而求得数列 an的通项公式和前n项和.(2)利用裂项求和法、分组求和法求得Tn .(1)等差数列an的公差设为d,前n项和为Sn,且a2=2,S5=

19、15,可得a1+d=2,5a+10d=15,解得 a1=d=1,则 an=n, Sn gn(n+1)；1.an2 一 11 一 、，一(2) bn 2 2n=2( - )+2n,刖 n 项和Snn n 1n n 1第17页共14页本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式的基本量计算，考查裂项求和法与分组求和法，属于基础题20. 4ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,已知 2cosc(acosB+bcosA尸c.(1)求 cosC ；(2)若c 2J3, AABC的面积为2J3,求ABC的周长.由此求得cosC【答案】(1) 1.(2) 6+2 73 2【解析】(1

20、)利用正弦定理、两角和的正弦公式、诱导公式化简已知条件，的值.(2)利用三角形的面积列方程，求得ab的值，结合余弦定理求得 a b的值，进而求得三角形ABC的周长.【详解】(1) .1 2cosC(acosB+bcosA)=c, .由正弦定理可得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA尸sin C,可1得 2cosCsin(A+B尸sin C,可得 2sinCcosC=sinC,C 为二角形的内角，SinC>0, cosC 2(2) 由已知可得S ；absinC=2 J3 ,又sinC g ,，ab=8, .由已知及余弦定理可得 a2+b2- 2abcosC=12,，a2+b2=

21、20,从而(a+b)2=36,可得 a+b=6,. ABC 的周长 为 6+2,3 .【点睛】本小题主要考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，考查化归 与转化的数学思想方法，属于基础题 .21 .已知椭圆C:与 与 1(a>b>0)的右顶点为A(2, 0),离心率为 a b2(1)求椭圆C的方程；(2)设过点P(0, -2)的直线l与椭圆C相交于M, N两点，当4OMN的面积最大时(O为坐标原点)，求直线l的方程.【答案】(1) ± y2 1 (2) yx- 2.42【解析】(1)根据椭圆右顶点和离心率，结合 b2 a2 c2 ,求得a2,b2的值，由

22、此求 得椭圆方程.(2)设出直线l的方程，联立直线方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式求得MN ,利用点到直线的距离公式求得 d ,由此求得三角形 OMN的面积的表达式，利 用换元法，结合基本不等式，求得面积的最大值，以及此时直线l的斜率，进而求得直线l的方程.(1)由题意得：a=2, e c , b2=a2- c2,解得：a2=2, b2=1,所以椭圆的方程 a 2(2)由题意得直线1的斜率存在且不为零，设直线 1的方程：y=kx-2, M(x, y), N(x',y'),联立与椭圆的方程整理得:(1+4k2)x2 - 16kx+12=0, =(16k)24X12X(1

23、+4k2)>0,得k23一 ,x+x'416k,不，xx1 4k12 一一 -.一2,所以弦长 MN JTT2 |x-4k,x'|,1 k2x')2 4xx'4 .1k2J4k2 3 ,原点到直线1的距离1 4k2222-,所以.1 kSa omn MN?d24.1 k2 4k 31 4 k24A，1 4kt J4k2 3 (t>0)，所以 4k2=t2+3,4tT-121,当且仅当t=2时等号成73立，即k2 ,满足条件，解得k44J,2所以直线1的方程为：y万x2 .2【点睛】本小题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆中

24、三角形面积的有关计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.22.已知函数 f(x)=x2-alnx , a>0.(1)若f(x)在x=1处取得极值，求实数 a的值；(2)求f(x)在区间2, +8)上的最小值;4 g x(3)在(1)的条件下，若 g(x)=x2-f(x),求证：当1<x<e2,恒有x 4gx.a a a【答案】(1)2 (2)当0<aW8时，最小值为4-2ln2;当a>8时，最小值为 三 -ln- (3)2 22证明见解析i 一一一一' .一【解析】(1)利用f 10列方程，由此求得a的可能取值，验证后求得 a的值.(2)求得f x的定义域和导函数，根据 0 a 8,a 8两种情况进行分类讨论，结合函数f x的单调区间，求得 f x在区间2, 上的最小值.(3)求得g x 2ln x,判断出0gx 4,将要证明的不等式转化为2x 22x 2lnx 人上，构造函数(x) lnx ”上，利用导数证得(x)(1) 0,由此x 1x 1证得不等式成立.【详解】a(1)由 f(x)