向量的概念及其加减法运算

1、教学目标教学目标（一）知识目标（一）知识目标 1、 理解向量的概念，理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念的概念 2 2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律（二）能力目标（二）能力目标 在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明单的几何证明（三）情感目标（三）情感目标 通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个通过阐述向量

2、的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识教学重点教学重点 向量的加减法的运算法则及其应用向量的加减法的运算法则及其应用教学难点教学难点 向量的概念的理解以及运算法则的推导向量

3、的概念的理解以及运算法则的推导知识链接知识链接 在物理学中，研究物体在平面内的位置和运动规律时，一般忽略它的大小，把它看作一个质点，用点表示它在平面内的位置。如果一个质点从点a运动到点b，如果我们不考虑质点运动的路线，只考虑点b相对于点a的“方向”和“直线距离”，这时，我们就说质点在平面内作了一次位移。问题：位移和那些因素有关？如何确定位移？问题：位移和那些因素有关？如何确定位移？ab位移的概念位移的概念一、向量的概念一、向量的概念 既有大小又有方向的量叫向量既有大小又有方向的量叫向量注意：注意：（1）向量的两要素：大小和方向）向量的两要素：大小和方向请说出下列一些量那些是数量那些是向量请说出

4、下列一些量那些是数量那些是向量? 距离、位移、身高、力、质量、时间、距离、位移、身高、力、质量、时间、速度、加速度、面积速度、加速度、面积、电场强度电场强度、温度温度.课前预习课前预习（2）自由向量）自由向量 有些向量不仅有大小方向，还有作用点，有些向量不仅有大小方向，还有作用点，例如力；例如力；有些向量只有大小和方向，而无特定的位置，有些向量只有大小和方向，而无特定的位置，例如位移、速度等。例如位移、速度等。通常后一类向量叫做通常后一类向量叫做自由向量自由向量。以后我们学习的向量，无特别指明，指的都是以后我们学习的向量，无特别指明，指的都是自由向量。自由向量。（3）向量能否比较大小？）向量能

5、否比较大小？ 以以a a为起点、为起点、b b为终点的为终点的向量向量记作：记作：ab 有向线段的有向线段的长度长度表示向量的大小，表示向量的大小， 箭头所指的箭头所指的方向方向表示向量的方向表示向量的方向ab用一条有向线段来表示用一条有向线段来表示字母表示法字母表示法： 或用或用 、 、 等小写字母表示；等小写字母表示；二、向量的二、向量的表示方法：表示方法： 几何表示法：几何表示法：abca特殊向量：特殊向量：零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的.长度为的向量叫长度为的向量叫零向量零向量，记为，记为0长度为个单位的向量叫长度为个单位的向量叫单位向量单位向量三、向量的模：三、向量的模：

6、例如向量例如向量 的的长度长度记作：记作： ab| |ab向量的长度叫做向量的模。向量的长度叫做向量的模。四、两种特殊关系：四、两种特殊关系：相等向量相等向量: 长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相同的向量. 记作：记作： ba , 与它们起点位置无关与它们起点位置无关.ba共线向量共线向量: 通过有向线段的直线，叫做通过有向线段的直线，叫做向量的基线向量的基线如果向量的基线互相平行或者重合，则称这些如果向量的基线互相平行或者重合，则称这些向量共线向量共线或平行或平行。向量向量a平行于平行于b,记作记作ba/规定：零向量与任一向量平行规定：零向量与任一向量平行.五、用向量表示点的位置五、用

7、向量表示点的位置任给一定点任给一定点o和向量和向量a，过点，过点o作有向线段作有向线段 ，则点则点a相对于点相对于点o的位置被向量的位置被向量a所唯一确定，所唯一确定，这时向量这时向量 ，又常叫做点，又常叫做点a 相对于点相对于点o的的位置向量位置向量。oaoaoaa例如，例如，在谈到天津相对于北京的位置时，我们说，在谈到天津相对于北京的位置时，我们说，“天津位于北京东偏南天津位于北京东偏南50，114km”如图所示，如图所示，北京北京天津天津50点点o表示北京的位置，点表示北京的位置，点a表示天津的位置，表示天津的位置，那么向量就表示了天津相对于北京的位置。那么向量就表示了天津相对于北京的位

8、置。 例例1 1判断下列命题真假或给出问题的答案：判断下列命题真假或给出问题的答案： （1 1）平行向量的方向一定相同）平行向量的方向一定相同 （2 2）不相等的向量一定不平行）不相等的向量一定不平行 （3 3）与零向量相等的向量是什么向量？）与零向量相等的向量是什么向量？ （4 4）存在与任何向量都平行的向量吗？）存在与任何向量都平行的向量吗？ （5 5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定 是什么向量？是什么向量？ （6 6）两个非零向量相等的条件是什么？）两个非零向量相等的条件是什么？ （7 7）共线向量一定在同一直线上）共线向量一定在同一直

9、线上 零向量零向量零向量零向量平行向量（共线向量）平行向量（共线向量） 模相等且方向相同模相等且方向相同 例例21. 如图如图,设设o是正六边形是正六边形abcdef的中心的中心,分别写出分别写出 图中与向量图中与向量 、 、 相等的向量相等的向量.问题问题:(1) 与与 相等吗相等吗? (2) 与与 相等吗相等吗? (3) 与与 长度相等的向量有几个长度相等的向量有几个? (4) 与与 共线的向量有哪几个共线的向量有哪几个?oaoaoaoaobobocfeafbafedco例3 3. .把把所所有有相相等等的的向向量量平平移移到到同同一一起起点点后后，这这些些向向量量的的终终点点将将落落在在

10、a a. .同同一一个个圆圆上上b b. .同同一一个个点点上上c c. .同同一一条条直直线线上上d d. .以以上上都都有有可可能能b1.下列说法正确的是下列说法正确的是 ( ) a) 方向相同或相反的向量是平行向量方向相同或相反的向量是平行向量. b) 零向量是零向量是0 . c)长度相等的向量叫做相等向量长度相等的向量叫做相等向量. d) 共线向量是在一条直线上的向量共线向量是在一条直线上的向量.a2.已知已知a、b是任意两个向量是任意两个向量,下列条件下列条件: a=b; |a|=|b|; a与与b的方向相反的方向相反; a=0或或b=0; a与与b都是单位向量都是单位向量.其中是向

11、量其中是向量a与与b平行的有平行的有_.练习练习 由由于大陆和台湾没有直航，因此于大陆和台湾没有直航，因此20032003年年春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从香港到上海，这上海，这两次位两次位移移之和是什么？之和是什么？ 引例二：引例二：台北台北香港香港上海上海baaaaaabbcbaba+b作法：bbcaabac a + b(1) 同向(2)反向baacbaac又如何作出来?ba为共线向量时,b, a当向量ababcababcaa00a注：向量和的特点：向量和的特点：（1）两个向量的）两个向量的和和仍是仍是一个向量一个向量（2 2）当向量当向

12、量a a与向量与向量b b不共线时不共线时，a a+ +b b的方向与的方向与a a，b b都都不不 同向，且同向，且| |a a+ +b b|b|a|b|，则，则a+ba+b的方向与的方向与a a相同，且相同，且|a+b|=|a|-|b|a+b|=|a|-|b|；若若|a|b|a|b|，则，则a+ba+b的方向与的方向与b b相同，且相同，且|a+b|=|b|-|a|a+b|=|b|-|a| baba: ba 以以ab,adab,ad为邻边做为邻边做平行四边形平行四边形abcdabcdab)cb(ac)ba( : abc结合律结合律baaa a a a a a a abbbbbadacba+

13、b(1)(1)在平面内取一点在平面内取一点a a以点以点a a为起点以向量为起点以向量a a、b b为邻边作平行四为邻边作平行四边形边形 abcd.abcd.（3 3）则以点）则以点a a为起点的对角线为起点的对角线acaca+ba+b作法作法: :3、向量求和的多边形法则、向量求和的多边形法则 已知已知n n个向量，依次把这个向量，依次把这n n个向量首尾相连，异个向量首尾相连，异第一个向量的始点为始点，第第一个向量的始点为始点，第n n个向量的终点为个向量的终点为终点的向量叫做这终点的向量叫做这n n个向量的和向量个向量的和向量。abcdaebcdaedecdbcababc0cabcaba

14、bcdefo1(2)(3)oabcdefoa ocbcfeoa fe 已知 为正六边形的中心，作出下列向量3（）例 ：;1obocoa）解：（;2adfebc）（. 03 feoa）（例例4 4: : 求向量求向量 之和之和. a ab b + + d df f + + c cd d + + b bc c + + f fa a解解: : = = a ab b + + b bc c + + c cd d + + d df f + + f fa a = = a ac c+ +c cd d+ +d df f+ +f fa a = = a ad d + + d df f + + f fa a = =

15、a af f + + f fa a= = 0 0 ab+df+cd+bc+faa ab b + + d df f + + c cd d + + b bc c + + f fa a = = 0 0引例三引例三f2ff11f f 2f 已知：两个已知：两个力的合力为力的合力为求：另一个力求：另一个力 其中一个力为其中一个力为 相反向量及其性质相反向量及其性质 与与a长度相等长度相等,方向相反的向量方向相反的向量,叫做叫做a的的相反向量相反向量。 记作记作-a，a和和-a互为相反向量。互为相反向量。规定：规定：零向量的相反向量仍是零向量。零向量的相反向量仍是零向量。性质：性质：-(-a)=a;-(-

16、a)=a; a+(-a)=(-a)+a=0; a+(-a)=(-a)+a=0;若若a a、b b是互为相反的向量，则有是互为相反的向量，则有 a=-b,b=-a,a+b=0. a=-b,b=-a,a+b=0. 向量减法的定义：向量减法的定义： 向量向量a加上加上b相反向量，叫做相反向量，叫做a与与b的差的差.即：即：a b = a + ( b) 求两个向量差的运算叫做求两个向量差的运算叫做向量的减法向量的减法呢？作出根据减法的定义，如何已知baba,aboaabbbcdba, ,.a bbaab 方法：平移向量使它们起点相同，那么的终点指向 的终点的向量就是b=baoa o 即：baooaob

17、 由上述还可推知，一个向量等于它的终点相对于点 位置向量减去它的始点的位置向量，或简记“终点向量减始点向量”oaabbba如图，已知如图，已知a、b，求作求作a-b。例例5(1)ab(2)abab(3)ab(4)dbabadab acabadab 2、已知a、b是任意两个向量,下列条件: a=b; |a|=|b|; a与b的方向相反; a=0或b=0; a与b都是单位向量.能判定向量a与b共线的是_.1、下列说法正确的是 ( ) a) 方向相同或相反的向量是平行向量. b) 零向量是 . c)长度相等的向量叫做相等向量. d) 共线向量是在一条直线上的向量.0达标练习达标练习4、 化简化简 ( (a ab b- -c cdd) )- -( (a ac c- -b bd d) )3.已知已知oa=a, ob=b,若若|oa|=12,|ob|=5,且且 aob=90, 则则|ab|= . 5.5.一艘船以一艘船以 的速度和垂直于对岸的方向行驶，的速度和垂直