【高考】数学圆锥曲线的经典性质50条

1、文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑,欢迎下载支持.1文档收集于互联网，已整理，word版本可编辑.【高考】数学锥曲线的经典性质50条1. 点P处的切线PT平分PFF?在点P处的外角.2. PT平分PFR在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PFi为直径的网必与以长轴为直径的圆内切. 225 .若凡（闻，见）在椭圆匚十二=1上，则过外的椭圆的切线方程是上 +久已=1. cr b-cr b-226.若凡（x0,v。）在椭圆二十1=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为Pl、P2,

2、则切点弦PR的直线方程是 W + W = L cr lra Zr227 .椭圆 J +二=1 （a>b>0）的左右焦点分别为R, F2,点P为椭圆上任意一点NPF, =7,则椭圆的焦点角形的面枳为=b2 tan. cr lr-1 22x2 y28 . 椭圆r + K = l（a>b>0）的焦半径公式： cr rIM" 1= a + ex0,1MF21= a-ex0（Fl（一c,0） , F,（c,0） A/（x0,y0）.9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MFJ_N

3、F.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q.Ai、Az为椭圆长轴上的顶点,AF和A?Q交于点M, A2P和AQ交于点N,则MRLNF.V2 V2b211 . AB是椭网 +不=1的不平行于对称轴的弦，M（Xo»o）为AB的中点，则%枷38=一不，222212 .若外（N）, 1yo ）在椭圆-7 +工7 = 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是一“丁 +。；=一=十 -T" - cr b-cr b- cr lr222213 .若/（与，儿）在椭圆 二十1=1内，则过P。的弦中点的轨迹方程是工 +1=2 +*工 cr b-b- cr lr双曲线1 .点P处的切线P

4、T平分PFF?在点P处的内角.2 . PT平分PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PR为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支：外切：P在左支） 225 .若此（%,光）在双曲线匚一二=1 （a>0.b>0） ±.则过凡的双曲线的切线方程是野一卑 =1. cr b-6 .若月（小，/）在双曲线二一二=1（a>0.b>0）外，则过P。作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦PR的直线方程是 乂一H = l. crcr /r

5、227 .双曲线=一 3 = 1 （a>0,b>o）的左右焦点分别为R, F一点P为双曲线上任意一点=/，则双曲线的焦点角形的面积为 crS"严,=""马X2 V28 . 双曲线二二=1（a>0,b>o）的焦半径公式：（耳（一。,0）,居（c,0） cr lr当用（入0，儿）在右支上时，IMG 1=3）+。/知入当 M（Z）,%）在左支上时，I1= 一 + a/MFz 1= 一% 一。9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则 MF1NF.10

6、.过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q.Ah A?为双曲线实轴上的顶点，AP和A?Q交于点M, A2P和AQ交于点N,则MF_LNF.x2 V2 /、即2超11 . AB是双曲线二一一=1 （a>0.b>0）的不平行于对称轴的弦，M（Xo，y。）为AB的中点，则K八鸟=，即长力=-。222212 .若< （x y ）在双曲线二一二=1 （a>0.b>0）内,则被Po所平分的中点弦的方程是E 芈=上一工.cr b-cr b- cr b'13 .若玲（X0,3'o）在双曲线r r = 1 （a>0.b>0）内,则过Po的弦中点的轨

7、迹方程是-5= 5 °；.cr Ifcr b cf b"椭圆与双曲线的对偶性质一（会推导的经典结论）高三数学备课组椭圆v2 v21 .椭圆r +=1（a>b>0）的两个顶点为A（a,0）, 4（4,0）,与y轴平行的直线交椭圆于P-内时AR与A2P工交点的轨迹方程是 cr b-2）三上=1 ，fcr b-x2y2。2工2 .过椭圆r + = l （a>0. b>0）上任一点A（x0,y）任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B.C两点，则直线BC有定向且女&,=一（常 “方a0数）,y2aca。3 .若P为椭圆r + l = 1（a>b&g

8、t;0）上异于长轴端点的任一点E.F2是焦点，/PF冉=a . NPff；=Q,则 =tan-cot-.a + c22224 .设椭圆二+匚=1（a>b>0）的两个焦点为Fi. F?.P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PFF?中，记/耳尸尸）=2,/PFR=P4FP = y,则有= £ = e sin /7 + sin/ a5 .若椭圆 J +二=1（a>b>0）的左、右焦点分别为H、F，左准线为L,则当OVeWa -1时，可在椭圆上求一点P，使得PR是P到对应 cr b-准线距罔d与PR的比例中项.6 . P为椭圆工+1=1 （a>b>0）

9、上任一点EE为二焦点,A为椭圆内一定点，则2一I A居1<1 PA + PF l< 2a+1 4石I,当且仅当A,F”P cr lr三点共线时，等号成立.7 .椭圆“'二驾-+ ''二=1与直线+ By + C = 0有公共点的充要条件是A2a2 + B2b2 > （+ Bv0 + C）2.U b-X2 y2J1118 . 已知椭圆二不 + -亍=1 （a>b>0）> O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP_LOQ.（1） - +- = + ；（2） IOPP+IOQPa2 h2OP I2 OQ I2 a2 b24da2b2的最大

10、值为f（3） Smpo的最小值是_7.crcr+lrx2 v2I PF I e9 .过椭圆r + r = l <a>b>0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M.N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则=-.a2 b2MN 2X ）厂 八、 a- -b- cr-lr10 .已知椭恻r + -r = l （ a>b>0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P*o,O），则< X（） <.cr lraaX2 y22b211 .设P点是椭圆r + r = 1（ a>b>o）上异于长轴端点的任一点6、F2为其焦点记N耳尸居=夕

11、，则（1HP耳IIPFJ=.（2）cr + cos 0Sy"? = "tan y V2 v212 .设A、B是椭忸r + r = l < a>b>0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，/PAB = a, "BA = 0 "BPA = y . c、e分别是椭圆的 lr “ 一 2ab2 Icoscr Ic ,，2a2b2半焦距离心率，则有（1）IP4I=；.（2）tanatan/7 = l-.（3）=rcot/.cr co ylr-cr/ v213 .已知椭捌r +、= l（ a>b>0）的右准线/与x釉相交于点E.过椭圆右焦点

12、厂的直线与椭圆相交于A、B两点，点。在右准线/上，且3C_Lx a If轴，则直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.（注:在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）17 .椭圆焦三角形中，内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中，半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭

13、圆与双曲战的对儡性质一（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线X2 V21 .双曲线r-r = l （a>O,b>O）的两个顶点为人（一40）.4（a,0）,与y轴平行的直线交双曲线于P】、P2时AR与A2P2交点的轨迹方 cr b-程是r + /r = Lcr rx2 v22 .过双曲线r-r = l <a>0,b>o）上任一点4%，）'。）任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B.C两点，则直线BC有定向且 a b-f b2x0ksc =一一一 （常数）.Co3 .若P为双曲线工一1=1 (a>0.b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点.Fi

14、, F 2是焦点，/PFR = a , NPF)"=/7,则 cr b-c-a a B _ c-a P a=tan - co t ,或=tan co t ).c + a 22c + a 22X y-4 .设双曲线二三一广=1（a>0,b>0）的两个焦点为Fix F-P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在aPFF?中，记/£尸乙=。，<zin CtC/PFR = 0 42 = y,则有=一 =6士(siny-sin/) ax2 y2l5 .若双曲线r-，= l（a>0.b>0）的左、右焦点分别为Fn F2,左准线为L,则当lVeWj2 + l

15、时，可在双曲线上求一点P,使得PR cr Zr是P到对应准线距离d与PF：的比例中项.226 . P为双曲线二一二=1 (a>0.b>0)上任一点,RR为二焦点，A为双曲线内一定点，则I AA l-2gPAI + IPf；l,当且仅当A,F),P CT b'三点共线且尸和A&在y轴同侧时，等号成立.7 .双曲线=一二=1 (a>0,b>0)与直线Ar+8v + C = 0有公共点的充要条件是KCt a2 b2x2 v28 . 已知双曲线一天一r = 1 (b>a >0), 0为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPLOQ. cr Zr(1)

16、 r +- = r 1r；(2) lOPF+IOQP 的籁小值为' : (3) S坂p。的最小值是，、.I OP I2 10(212 cr b2h2-a2 SOPQb2-a2x2 丁I尸尸I e9 . 过双曲线一二= 1 (a>0.b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M.N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则77777T =:cr lrI MN I 2io.11.12.X2 y2a2 .A2已知双曲线r - r = 1 (a>0,b>0) .A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(%,0) .则X。2或cra/ a2 +b2%&qu

17、ot;ax2 y22b2设P点是双曲线r < = 1 (a>0.b>0)上异于实轴端点的任一点E、F?为其焦点记N5PF, = 6,则(1)| P" |=.(2)cr b l-cos。S、. = cot .皿岛2X2 V2设A、B是双曲线r-k = l (a>0.b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点，/PAB = a, /PBA = 0 2BPA = 、e分别a b"13.14.15.16.是双曲线的半焦距离心率，则有1PAi= 2"" kosodcr -c"s7l 2a泞(2)tan a tan p = 1-" .(3)= 7cot y.b+cr厂 V"已知双曲线r F = l （a>O.b>O）的右准线/与x轴相交于点E,过双曲线右焦点尸的直线与双曲线相交于A、B两点，点。在右准线