高等数学A一复习资料及PPT上海大学出版社2

1、在曲线上取基点在曲线上取基点 m0(x0,y0),设设 y = f (x) 在在 (a, b) 内有连续导数，内有连续导数，m(x, y) 为曲线上任一点，为曲线上任一点，xy0m0 .x0m .x记记 弧长弧长 s = m0m规定规定(即即 m 在在 m0 右，右，s 0)s 随随 x 的增大而增大的增大而增大, s = s(x) 是是 x 的的单调增加函数。单调增加函数。. sds 及及求其求其 aby = f (x)设设 x 有增量有增量x ,相应有相应有s , 在曲线上的对应点为在曲线上的对应点为m, m,，对对),(,baxxx 则则s = mm m0mm0m) )()(xsxxs

2、=xs 作作mmx 2=mmx mmmm 2 2 2mm2,)()(22yx xy0m0 .x0m .xxx s m.x y y = f (x) =mmmm 222)()(yx 2)(x xs 2)(12xy mmmm 2s = s (x) s (x) 为单增函数，为单增函数， s (x) 0 ,mm)(1)(22xyxs mm时，时，且且0 xmm.mm lim,lim0yxyx .12yxdsd ,12yxdsd .12xdysd mmmm= 1,xy0m0 .x0m .xxx s mx y y = f (x)，由由xdysd21 222)(1)(xdxdydsd .)()(22ydxd

3、dysdp弧微分弧微分 表示了表示了m点处点处。当切线正向与曲线方向一致，且与当切线正向与曲线方向一致，且与 x 轴夹角为轴夹角为 ，则有则有,cos sdxd .sin sdyddx当曲线方程为当曲线方程为 y = f (x)，当曲线当曲线 y = f (x) 是用参数方程是用参数方程表示，表示，)()()( ttytx连续并不全为零时，连续并不全为零时，且且)(),(tt 当曲线用极坐标方程当曲线用极坐标方程)()( 连续时，连续时，表示，且表示，且)( y 有连续导数有连续导数,.在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度在工程技术中，有时需要研究曲线的弯曲程度考察曲线的弯曲程度：考察曲线

4、的弯曲程度：曲线的弯曲程度与曲线端点处切线的转角曲线的弯曲程度与曲线端点处切线的转角 s在在ab相等的情况下，相等的情况下，(1) 不弯不弯(2) 弯曲弯曲(3) 弯得厉害弯得厉害0 成正比。成正比。ab(2)s ab(3)s ab(1)s m1m2m3 对同一条曲线对同一条曲线曲线弯曲得越厉害。曲线弯曲得越厉害。abb a sab越小越小相同时，相同时，当当 ss 即为曲线在点即为曲线在点 m 处的处的。s 把比值把比值称为称为ab的的。, 0 s当当= kss 0lim.sddk 存在时，存在时，即当即当sddss 0lim= k曲率为曲率为 0 的曲线是直线。的曲线是直线。abs r 圆

5、上取两点圆上取两点 a ，b ， ab, rs, 且且 ks ,1rr rks1lim0 2.2.,0 ks = 0， k = 0.1r o(1)设曲线方程设曲线方程 y = f (x) 二阶可导，二阶可导，sddk 由定义，由定义，sdxdxdd )(,tan的增量的增量是是切线斜率切线斜率 y,arctan y ;12yyxdd ,12xdysd ;112ysdxd 22111yyy .)1(32yy k曲线方程曲线方程 y = f (x) 二阶可导，二阶可导，拐点处的曲率为拐点处的曲率为 0 。(1).00 ky时，时，显然，显然，(2)曲线方程由参数方程曲线方程由参数方程 )()(ty

6、tx 给出，给出，(3)曲线方程由极坐标方程曲线方程由极坐标方程给出，给出，)( 二阶可导）二阶可导）（)(),(tt 二阶可导）二阶可导）（)( 设设 y = f (x) 在点在点 m (x, y) 处的曲率为处的曲率为 k ,在在 m 点处凹的一侧的法线上取一点点处凹的一侧的法线上取一点 d，xy0. m. dkdm1 使使, 以以 d 为中心，为中心， 为半径作圆，为半径作圆，则此圆称为曲线在点则此圆称为曲线在点m处的处的。就称为就称为。在在m点处不仅有相同的点处不仅有相同的与与，还有相同的，还有相同的。在在m点附近常用曲率圆弧近似代替曲线弧。点附近常用曲率圆弧近似代替曲线弧。k1 例例

7、1：的曲率。的曲率。求求cxbxay 2并问在哪点处曲率最大？其曲率半径是多少？并问在哪点处曲率最大？其曲率半径是多少？解：解：,2,2aybxay 32)1(yyk .)2(1232bxaa ，分子为常数分子为常数则分母为最小时则分母为最小时 k 最大。最大。1)2(12 bxa当当02 bxa最大。最大。时时 kabx2 abacab44,22顶点顶点处曲率最大。处曲率最大。,22akabx .21a 例例2：)0()cos1()sin( atayttax求摆线求摆线的曲率及在的曲率及在2 t时的曲率半径。时的曲率半径。解：解：, )cos1(tax ,sintax ,sintay .co

8、stay 322)(yxyxyxk 232222sin)cos1(sinsincos)cos1(tatatatatata 2323)cos1(21ta ,2csc41ta .2sin4ta .222at 8 . 方程的近似解方程的近似解一、一、 二分法二分法二、二、 切线法切线法（ 自学自学 ）习习 3 7 (a) 1，4习习 3 7 (b) 1，3洛必达法则洛必达法则rolle定理定理lagrangelagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 cauchycauchy中值定理中值定理taylortaylor中值定理中值定理xxf )()()(bfaf 0