2020高考文数圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题

1、第2课时 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题解答题1. (2019贵阳第一学期检测)已知圆M:x2+(y-2)2=1,直线l:y=-1,动圆P与圆M外切,且与直线I 相切,设动圆圆心P的轨迹为E.(1)求轨迹E的方程；若点A,B是E上的两个动点，0为坐标原点，且?6,求证:直线AB恒过定点.解析 因为动圆P与直线l：y=-1相切且与定圆M:x2+(y-2)2=1外切,所以动点P到圆M的圆 心M(0,2)的距离与到直线y=-2的距离相等，由抛物线的定义知,点P的轨迹是以M(0,2)为焦 点,直线y=-2为准线的抛物线.故所求P的轨迹E的方程为x2=8y.证明:设直线AB的方程为y=kx+b,A(

2、x 1,yi),B(2,y2),将直线AB的方程代入到x2=8y中得x2-8kx-8b=0,所以 x1+2=8k,12=-8b,又? 2+y1y2=x 1x2+?4?2=-8b+b2=-16,所以b=4,则直线AB恒过定点(0,4).1 12. (2019兰州诊断)已知曲线C上的任意一点到直线I:X=H的距离与到点F(?,0)的距离相等. (1)求曲线C的方程；若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A,B两点,Q(-1,0)为定点,设直线AQ的斜率为k1,直线1 1 2BQ的斜率为k2,直线AB的斜率为k,证明:否+珂-谆为定值解析(1)由条件可知，此曲线是焦点为F的抛物线，设抛物线的方程为y2

3、=2px(p>0),则? 1产,p=1,曲线C的方程为y2=2x.证明:由已知得,直线AB的方程为y=k(x-1)(k 0),?= ?(?1)C由?=；可得 ky2-2y-2k=0.设 A(¥,?) ,B(?2,?),则 y1+y2=|?y1y2=-2. ? 2? ?2?刘=右=?R,k=?F2, 2 2(?2 +2) = 2?2+8=+4. f+4=4,为定值.? ?33. (2019洛阳尖子生第二次联考)已知椭圆C:?2+?2=1(a>b>0)的离心率为亍短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；5设直线l:y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,0为坐标原点 若koM

4、 kN=?求证:点(m,k)在定圆上.?3解析(1)设椭圆C的焦距为2c,由已知e=y2b=2,2=b2+c2,得b=1,a=2,2 -椭圆C的标准方程为"4"+y2=1.?= ? ?,证明:设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立? = 1 得T+ = 1(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,依题意， =(8km2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,化简得 m2<4k2+1.-8?4(? 2-1),x1+x2=k,x1x2=;, 2y 1y2=(kx 1+m)(kx2+m)=k 12+km(1+2)+m ,若 koM k0N=4厕?I=5,即 4

5、y1y2=512, (?乡+2) 2''帀+?24?-+-= (?2+2) 2 ? +(?2 +2) 2?4?彳?_?#?$ +?24(?2-1)-8?2 ? +8?2 ? +4(?2+?2)=4?2?_8(? +? )+32- 16由根与系数的关系得_(? +?2)2-2? ?+4由得 0 m2<5,20<k25,5'204'5,点(m,k)在定圆x2+y2=4上(没求k的范围不扣分)4. (2019石家庄质检)已知椭圆C:?J+?J=1(a>b>0)的离心率为3,且经过点(-1,3).(1)求椭圆C的方程；过点(3,0)作直线I与椭圆

6、C交于不同的两点A,B,试问在X轴上是否存在定点Q,使得直 线QA与直线QB恰好关于X轴对称？若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 由题意可得3,+4k=1,又 a2-b2=c2,所以 a2=4,b2=1.2所以椭圆C的方程为一+y2=1.4 J存在定点Q(43,0),满足直线QA与直线QB恰好关于X轴对称当直线I的斜率存在时，_?F ?辭=0,设直线I的方程为x+my-霭=0,与椭圆C的方程联立得?多2?+ ?= 1，整理得,(4+m2)y2-23my-1=0.设 A(x1,y1),B(x2,y2),定点 Q(t,0)(依题意知 tX1,tX2).由根与系数的关系可得，y1+

7、y2=2,y1y2=4;?疋.直线QA与直线QB恰好关于X轴对称,则直线QA与直线QB的斜率互为相反数，所以 為+?2?=。,即 y1(2-t)+y2(1-t)=0又 1+my1-3=0,2+my2- 3=0,所以 y1(-my2-t)+y2(3-my1-t)=0,整理得(3-t)(y1 +y2)-2my1y2=0,从而可得(3-t) 2m2-2m 总=0,即 2m(4-3t)=0,所以当t=43,即Q(,0)时,直线QA与直线QB恰好关于X轴对称特别地，当直线I为X轴 时,Q(43,0)也符合题意当直线的斜率不存在，即直线I垂直于X轴时,Q(43,0),符合题意,综上所述,在X轴上存在定3点Q(丁 ,0),使得直线QA与直线QB恰好关于X轴对称.5 / 422