2022年常微分方程期末考试试卷(6)

1、精品资料欢迎下载学院 常微分方程期末考试试卷 6班级学号姓名成果 一 填空题（共 30 分， 9 小题， 10 个空格，每格 3 分）；1.当时，方程 mx,ydx+nx,ydy=0 称为恰当方程，或称全微分方程；2、称为齐次方程；3、求dy=fx,y 满意dx x0 y0 的解等价于求积分方程的连续解；dy4、如函数 fx,y 在区域 g 内连续，且关于 y满意利普希兹条件， 就方程dxf x, y的解 y=x, x0 , y0 作为x, x0 , y0 的函数在它的存在范畴内是；5、如 x1 t , x2 t ,.x3 t 为 n 阶齐线性方程的 n 个解， 就它们线性无关的充要条件/是；

2、/6、方程组 xat x 的称之为 xat x 的一个基本解组；7、如t 是常系数线性方程组 xax 的基解矩阵，就 expat =；8、满意的点（x* , y*），称为方程组的奇点；9、当方程组的特点根为两个共轭虚根时，就当其实部 时，零解是稳固的，对应的奇点称为；二、运算题（共 6 小题，每题 10 分）；1、求解方程：dy = xy1 dxxy 232.解方程： 2x+2y-1dx+x+y-2dy=0dy3、争论方程dx13 y 3 在怎样的区域中满意解的存在唯独性定理的条件，并求通2过点（ 0，0）的一切解4、求解常系数线性方程：x/2 x /3xe t cost5、试求方程组 x /

3、ax 的一个基解矩阵，并运算eat ,其中a为 1243dx6、试争论方程组dt数，且 ac0；axby,dycy dt（1）的奇点类型，其中 a,b,c 为常三、证明题（共一题，满分 10 分）；试证：假如（ t）是 x/ax 满意初始条件t0 的解，那么te a tt 0 常微分方程期末考试答案卷一、填空题；（30 分）1、 m x, yyn x, y x2、 dydxf y xx3、y=y0+f x, ydxx04、连续的5、wx1 t , x2 t ,.,xn t 06、n 个线性无关解7、t108、xx,y=0,yx,y=09、为零稳固中心二、运算题；（60 分）1、解： x-y+1

4、dx-x+y 2 +3dy=02xdx-ydx+xdy+dx- y dy-3dy=01 d x2-dxy+dx-1 dy 3231 x 2xyx1y 3323即-3dy=0所以ycdy2、解：dx2x xy1 ，令 z=x+yy2就 dz1dy dxdxdz1 dx2 z1z2z1 ,z2z2 dzdx z131所以 z+3ln|z+1|=x+ c1 ， ln | z1 | =x+z+ c即 xy13ce 2x y3、解： 设 fx,y=3 y 3 ,就 f12y21 y 3 y02故在 y0 的任何区域上f存在且连续，y因而方程在这样的区域中满意解的存在唯独性定理的条件，明显， y0 是通过

5、点（ 0， 0）的一个解；又由 dydx13 y 3 解得， |y|= x 23c 2所以，通过点（ 0，0）的一切解为 y0 及0|y|=3 xcxc 2xc, c0是常数4、解： 12230,1,212i1齐次方程的通解为 x= et ccos2tc2 sin2t21i 不是特点根，故取 x a costb sin t e t代入方程比较系数得 a=5 ，b=- 44141于是 x 5 cost414 sint e t411通解为 x= et ccos2tc2 sin2t +1 5cost414 sinte t5、解： det e1a =4224503所以， 11,25设 11 对应的特点

6、向量为 v122由v10441可得v101取v111同理取v212te te5tv2所以，t =e1e5 tve t2e5t1eatt 10e te5t11e t2e5t121e t3e te5t212e 5t111e5t32e5t2e t2e te5te t2e5te t6、解： 由于方程组（ 1）是二阶线性驻定方程组，且满意条件abac0 ，故奇点为原点（ 0，0）0cab又由 deta-e=0c2 acac0 得1a2c所以，方程组的奇点（ 0， 0）可分为以下类型：ac ac0奇点为结点a0, ca0, c0,稳固结点0, 不稳固结点a，c 为实数ac0奇点为鞍点（不稳固）a三、证明题；（10 分）c b0, 奇点为退化结点b0,奇点为奇结点a0, ca0, c0，稳固结点0,不稳固结点证明： 设t 的形式为t = e at c（ 1）0