量子力学初步2014

1、第第25 章章量量子子力力学学初初步步 25.1 25.1 波函数及其统计解释波函数及其统计解释 25.2 25.2 不确定关系不确定关系 25.3 25.3 薛定谔方程薛定谔方程 25.4 25.4 一维定态问题一维定态问题 25.5 25.5 力学量的平均值与算符力学量的平均值与算符2/5525.125.1波波函函数数及及其其统统计计解解释释一、粒子的波动性一、粒子的波动性 在经典力学中，在经典力学中，研究对象被明确地区分为研究对象被明确地区分为粒子和波。粒子和波。实物粒子实物粒子：有一定的体积、质量和电荷：有一定的体积、质量和电荷运动规律遵循牛顿定律。运动规律遵循牛顿定律。能够集中、整体

2、地交换能量和动量。能够集中、整体地交换能量和动量。波动：波动：弥散于整个空间的扰动弥散于整个空间的扰动其运动服从叠加原理，具有波动其运动服从叠加原理，具有波动所特有的干涉、衍射等效应。所特有的干涉、衍射等效应。能够广延、连续地交换能量和动量。能够广延、连续地交换能量和动量。（定域的）（定域的）（非定域的）（非定域的）1. 1. 介绍介绍 在经典力学的框架下，波和粒子很难统一在经典力学的框架下，波和粒子很难统一到一个客体上。到一个客体上。3/5519051905年，光量子假说年，光量子假说 ：h19171917年，光子动量假说年，光子动量假说 ：/ph 光的波粒二象性光的波粒二象性粒子性粒子性波

3、动性波动性（能量）（能量）（频率）（频率）（动量）（动量）（波长）（波长）ph h两组力学通过两组力学通过h h来联系来联系19231923年，康普顿散射实验：证实光子粒子性年，康普顿散射实验：证实光子粒子性1.1.光光( (波波) )具有粒子性，实物粒子具有波动性吗具有粒子性，实物粒子具有波动性吗? ?问题：问题：2.2.若有，如何验证？若有，如何验证？4/55那么实物粒子也应具那么实物粒子也应具有波动性有波动性19241924年，德布罗意从自然界的对称性出发年，德布罗意从自然界的对称性出发 认为认为: :既然光既然光( (波波) )具具有粒子性有粒子性2.2.德布罗意假设德布罗意假设德布罗

4、意关系式德布罗意关系式hhpm hmchE2 一个总能量为一个总能量为E E（包括静能在内）（包括静能在内）, ,动量为动量为 p p 的的实物粒子同时具有波动性实物粒子同时具有波动性, , 且满足且满足Eph h粒子性粒子性波动性波动性与实物粒子相联系的波称为与实物粒子相联系的波称为物质波或德布罗意波物质波或德布罗意波德布罗意波长德布罗意波长5/55质量质量 m m = 0.001kg = 0.001kg，速度，速度 v v = 300 m/s = 300 m/s 的质点的质点m10212330.vmh kg1011931 .em16ms10v电子电子m1028710101191063610

5、63134.vemh 2mcE pm v实验难以测量实验难以测量宏观物体只表现出粒子性宏观物体只表现出粒子性玻尔的氢原子轨道量子化的直接推导玻尔的氢原子轨道量子化的直接推导nr2phn2hnrpnL+ +H Henr6/55经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注，物理经爱因斯坦的推荐，物质波理论受到了关注，物理学家们纷纷做起了电子衍射实验。学家们纷纷做起了电子衍射实验。论文答辩会上有人问论文答辩会上有人问: :“这种波怎样用实验来证实呢？！这种波怎样用实验来证实呢？！”德布罗意答：德布罗意答：“用电子在晶体上的衍射实验可以证实。用电子在晶体上的衍射实验可以证实。”爱因斯坦对此论文高度评价为：爱

6、因斯坦对此论文高度评价为： “他揭开了自然界舞台上巨大帷幕的一角！他揭开了自然界舞台上巨大帷幕的一角！”实验证实了实验证实了德布罗意德布罗意的想法，为此他获得了的想法，为此他获得了19291929年的诺贝尔物理学奖。年的诺贝尔物理学奖。7/55德布罗意指出：用电子在晶体上的衍射实验可以证明德布罗意指出：用电子在晶体上的衍射实验可以证明 物质波的存在物质波的存在02khhpm E eUmhph02 U=100V 时，时， = 0.123nm电子的波长：电子的波长：设加速电压为设加速电压为U U（单位为伏特）（单位为伏特）1.23nmU 电子波波长与电子波波长与 X X 射线相当射线相当3.3.物

7、质波的实验验证：电子衍射物质波的实验验证：电子衍射8/55当满足当满足2d sin = k （k = 1，2，3）时，）时，可观察到可观察到 I I 的极大。的极大。G Ni单晶单晶片片抽真空抽真空UI C CCIUCkemdhkU 02sin2 即当即当 ，2C, 3C时，时，CU eUmhph02 可观察到电流可观察到电流 I I 的极大（即衍射极大）。的极大（即衍射极大）。1) 1) 戴维逊戴维逊革末实验（革末实验（19271927年）年）9/552) G.P.2) G.P.汤姆逊（汤姆逊（19271927年）年）电子通过金多晶薄膜的衍射实验电子通过金多晶薄膜的衍射实验 衍衍射射图图象象

8、 实实验验原原理理3)3)琼森琼森(Jonsson)(Jonsson)实验（实验（19611961）30.3 m1 m50kV5.010nmadV 基本基本数据数据 先后验证：质子、先后验证：质子、中子和原子、分子等中子和原子、分子等实物粒子都具有波动实物粒子都具有波动性，满足德布洛意关性，满足德布洛意关系。系。10/55 例例 m m = 0.01kg = 0.01kg，v v = 300 m/s = 300 m/s 的子弹的子弹m34341021. 230001. 01063. 6 vmhph “宏观物体宏观物体只表现出只表现出粒子性，并不是说粒子性，并不是说没有波动性没有波动性”波长波长

9、波粒二象性是普遍的结论，波粒二象性是普遍的结论，宏观粒子也具有波动性宏观粒子也具有波动性4.4.应用应用 电子波长比可见光波长小电子波长比可见光波长小1010-3-31010-5-5数量级，数量级，可可大大提高电子显微镜的分辨率。大大提高电子显微镜的分辨率。19321932年，德国的鲁年，德国的鲁斯卡研制成功电子显微镜。斯卡研制成功电子显微镜。1) 1) 电子显微镜电子显微镜2) 2) 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜 1981 1981年，德国的宾尼希和瑞士的罗雷尔制成了扫年，德国的宾尼希和瑞士的罗雷尔制成了扫描隧道显微镜，获描隧道显微镜，获19861986年的诺贝尔物理学奖金。其横年的诺贝尔物

10、理学奖金。其横向分辨率可得向分辨率可得0.1nm0.1nm，纵向分辨率可得，纵向分辨率可得0.001nm0.001nm。11/55物质波物质波的波速的波速 u u 并不等于相应粒子的运动速度并不等于相应粒子的运动速度V V，它们之间的关系是，它们之间的关系是22hmccumVhV c而物质波而物质波V注意注意1注意注意2光波光波的波速等于光子的运动速度，两者都等于的波速等于光子的运动速度，两者都等于c c。光波光波5.5.关于物质波的讨论关于物质波的讨论由粒子的动能求德布罗意波长由粒子的动能求德布罗意波长注意注意322220EEp c 相对论情况相对论情况200=cmE 非相对论情况非相对论情

11、况0khh=p2m E022=mpEk k220hhc=pEE12/55二、对波粒二象性的理解二、对波粒二象性的理解经典粒子经典粒子 是某种实在物理量随时间和空间作周期性变化，是某种实在物理量随时间和空间作周期性变化，满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象满足叠加原理，可产生干涉、衍射等现象具有确定的质量具有确定的质量, ,其运动规律遵循牛顿定律。其运动规律遵循牛顿定律。经典波经典波 给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等就具给定初始条件，其位置、动量及运动轨迹等就具有确定的数值。有确定的数值。1.1.经典粒子和波经典粒子和波2.2.微观粒子波粒特性的错误理解微观粒子波粒特性的错误理解 电子看作

12、是波包电子看作是波包 波是基本的波是基本的波包要扩散、消失，波包要扩散、消失， 波是大量电子相互作用形成的波是大量电子相互作用形成的 粒子是基本的粒子是基本的单电子的双缝衍射实验：单电子的双缝衍射实验：（19491949前苏联前苏联 费格尔曼）费格尔曼）13/557个电子个电子100个电子个电子3000个个20000个个70000个个底片上出现一个个的点子底片上出现一个个的点子电子具有电子具有粒子性。粒子性。随着电子数目增多，逐渐形随着电子数目增多，逐渐形成衍射图样成衍射图样“单个电子单个电子”的波动性，的波动性，不是电子间相互作用的结果。不是电子间相互作用的结果。 来源于来源于14/55粒子

13、性：粒子性：p 指它与物质相互作用的指它与物质相互作用的“颗粒性颗粒性”或或“整体性整体性”。p 但不是经典的粒子！在空间以概率出现。但不是经典的粒子！在空间以概率出现。 没有没有确定的确定的轨道轨道 应摒弃应摒弃“轨道轨道”的概念！的概念！波动性波动性p 指它在空间传播有指它在空间传播有“可叠加性可叠加性”，有，有“干涉干涉”、 “衍射衍射”、等现象。、等现象。p 但不是经典的波！因为它但不是经典的波！因为它不代表实在物理量的不代表实在物理量的 波动。波动。3.3.正确理解微观粒子的波粒二象性正确理解微观粒子的波粒二象性15/55你能看到的是老人还是情侣？你能看到的是老人还是情侣？16/55

14、即电子既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波。但它既具有经典粒子的某种属性，又具有经典波的某种属性。波粒二象性只是对这两种属性的比喻，电子就是电子本身！电子到底是什么？波和粒子都是宏观概念，当我们进入亚微观状波和粒子都是宏观概念，当我们进入亚微观状态领域时，它们就变得不那么贴切了！态领域时，它们就变得不那么贴切了！“电子既不是粒子，也不是波”费曼：17/55三、波函数三、波函数怎样理解物质波怎样理解物质波? ? 到底谁在波动？到底谁在波动？1.1.玻恩的统计诠释玻恩的统计诠释19261926年年6 6月，玻恩（月，玻恩（Born )Born )认为：认为：物质波物质波并不像经典波那样并不

15、像经典波那样代表代表实在物理量实在物理量的波动的波动，而是描述粒子在空间分布的而是描述粒子在空间分布的概率波概率波。 量子力学基本原理之一：一个微观客体在时刻量子力学基本原理之一：一个微观客体在时刻t t的状的状态态, , 用波函数用波函数 ( (一般是复函数一般是复函数) )完全描述。完全描述。 tzyx,代表代表 t t时刻，在时刻，在 点处单位体积中发现一个粒子点处单位体积中发现一个粒子的概率，称为概率密度。的概率，称为概率密度。r物质波的波函数物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅概率振幅”。),(),( ),(*2trtrtr 其模的平方其模的

16、平方：18/552.2.自由粒子的波函数自由粒子的波函数自由粒子波函数自由粒子波函数.const= .const=phhE ，类比，沿类比，沿+ +x x传播的平面波：传播的平面波：2 ()( , )xity x tAe 可得可得, , 沿沿+ +x x方向运动的自由粒子波函数为：方向运动的自由粒子波函数为：2 ( )0 ( , )xit x t e -()0iEt pxe )(2cos= xtAy- ( -)0 ( , )iE t p rr te 通常写成：通常写成：tEirpieetr 0),(tEier )(rpier 0)( 在三维空间中运动的自由粒子波函数：在三维空间中运动的自由粒子

17、波函数： 空间波函数空间波函数19/553. 3. 波函数遵从态叠加原理波函数遵从态叠加原理如果如果 1 1， 2 2 n n 等，都是微观粒子体系的可能等，都是微观粒子体系的可能的状态，的状态，那么他们的线性叠加状态那么他们的线性叠加状态iinncccc2211也是体系的一个可能的状态。量子力学基本原理之二。也是体系的一个可能的状态。量子力学基本原理之二。1 1）子弹穿过双缝）子弹穿过双缝只开上缝只开上缝 1 1，屏上概率分布，屏上概率分布 P P1 1只开下缝只开下缝 2 2，屏上概率分布，屏上概率分布 P P2 2双缝双缝 齐开，屏上概率分布齐开，屏上概率分布 P P1212=P=P1

18、1+P+P2 220/552 2）电子双缝衍射）电子双缝衍射只开下缝只开下缝, , 只开上缝只开上缝, , 211|P 222|P 双缝齐开双缝齐开, , 电子可通过上缝也可通过下缝电子可通过上缝也可通过下缝, ,根据态叠加根据态叠加原理，其波函数为原理，其波函数为电子波函数电子波函数 ，在屏上概率分布为，在屏上概率分布为1 电子波函数电子波函数 ，在屏上概率分布为，在屏上概率分布为2 221112cc 2212121122|Pc c 电子在屏上出现的概率为电子在屏上出现的概率为出现了干涉图样！出现了干涉图样！微观粒子是波函数的叠加，而不是概率的叠加。微观粒子是波函数的叠加，而不是概率的叠加。

19、21/553. 3. 波函数的标准条件波函数的标准条件2) 2) 波函数的有限性波函数的有限性粒子在空间某处出现的概率不能无限大粒子在空间某处出现的概率不能无限大1) 1) 波函数的单值性波函数的单值性任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值任意时刻粒子在空间出现的概率只可能是一个值概率不能在某处发生突变概率不能在某处发生突变3) 3) 波函数的连续性波函数的连续性波函数的归一性：波函数的归一性：由波函数统计解释，在全空间各点的概率总和必须为由波函数统计解释，在全空间各点的概率总和必须为1 1 1,2dVtr 归一化条件归一化条件注意注意波函数可以允许包含一个任意的常数因子波函数可以允许包含

20、一个任意的常数因子 tr,trC,和和描写同一个概率波描写同一个概率波 因为对于概率分布来讲，重要的是相对概率分布。因为对于概率分布来讲，重要的是相对概率分布。 22/55例：作一维运动的粒子被束缚在例：作一维运动的粒子被束缚在0 xUEU 经典粒子一定越过势垒，量子力学有透射与反射经典粒子一定越过势垒，量子力学有透射与反射讨论讨论(1)(1)102 10m 0.44aT 势垒穿透是一种微观现象势垒穿透是一种微观现象, ,是粒子波动性的表现。是粒子波动性的表现。 对电子对电子U0-E=1eV105 10m 0.016aT 对质子对质子U0-E=1eV1038210m 10aT 对电子对电子U0

21、-E=1eV022()am UETe 46/55四、四、隧道效应的应用隧道效应的应用 扫描隧道显微镜扫描隧道显微镜STMSTMScanning tunneling microscopy针尖非常尖锐针尖非常尖锐, ,接近原子尺寸接近原子尺寸. .针尖为一电极，固针尖为一电极，固体表面为另一电极。当它们的距离小到纳米量级体表面为另一电极。当它们的距离小到纳米量级时，电子可以从一个电极通过隧道效应穿过势垒时，电子可以从一个电极通过隧道效应穿过势垒到到另一电极形成电流，电流大小取决针尖与表到到另一电极形成电流，电流大小取决针尖与表面的间距及表面的电子状态。面的间距及表面的电子状态。横向分辨率达到横向分

22、辨率达到 0.1 nm, 0.1 nm, 纵向分辨率达到纵向分辨率达到 0.001 nm0.001 nm可以分辨出表面单个原子和原子台阶可以分辨出表面单个原子和原子台阶, ,原子结构原子结构, ,超晶格结构超晶格结构, ,表面缺陷细节表面缺陷细节, ,观测活体观测活体 DNA DNA 基因基因, ,病毒病毒. .神经细胞的神经细胞的STM扫描图扫描图硅表面的硅表面的STMSTM扫描图扫描图47/55原子钟的频率标准是利用氨分子原子钟的频率标准是利用氨分子( N ( N H H3 3 ) ) 基态势垒贯穿的振荡频率。基态势垒贯穿的振荡频率。氨分子是一个棱锥体，氨分子是一个棱锥体，N N原子在原子

23、在其顶点上，其顶点上，H H 原子在基底。原子在基底。NNHHHNNE如果如果N N原子初始在原子初始在N N处，则由于隧处，则由于隧道效应，可以穿过势垒而出现在道效应，可以穿过势垒而出现在NN点。当运动能量小于势垒高点。当运动能量小于势垒高度，则度，则N N原子存在两个区域之间原子存在两个区域之间的的振荡运动振荡运动。对于对于NHNH3 3基态，这种振荡频率为基态，这种振荡频率为2.37862.3786 10 1010 10 HzHz。这。这就是原子钟在规定时间就是原子钟在规定时间标准时标准时所利用的氨分子的所利用的氨分子的势垒势垒贯穿运动贯穿运动。 原子钟原子钟48/5525.525.5力

24、力学学量量的的平平均均值值与与算算符符一、力学量用一、力学量用算符表示算符表示 算符就是运算符号，它作用在一个函数上算符就是运算符号，它作用在一个函数上得到另外一个函数。得到另外一个函数。gfOxdd2量子力学基本原理之四：量子力学基本原理之四：力学量用算符表示。通力学量用算符表示。通过对相应经典力学量过对相应经典力学量算符化算符化得到。得到。EE ippirr rt 2( )2pHU rm )(22222rUmrUmpH 算符化规则：算符化规则：例如例如Lrp ()Lrpri 49/55代表某一力学量算符代表某一力学量算符设设Lnn nLl 其本征值问题为其本征值问题为例：沿例：沿x x方向

25、运动的自由粒子的波函数方向运动的自由粒子的波函数( )xxip xpxCe n, ln ,n 的含义的含义？(1) (1) 是动量算符的本征函数是动量算符的本征函数二、力学量二、力学量算符的本征值问题算符的本征值问题( )()( )xip xCexpxpxxpxipxx (2) (2) 动量本征值动量本征值 构成连续谱构成连续谱xp22( )( )( )( )22xxppppxxxxppHxxxExmm (3) (3) 也是也是自由粒子自由粒子哈密顿量的本征函数哈密顿量的本征函数(4)(4)自由粒子的动量和能量可同时取确定值自由粒子的动量和能量可同时取确定值50/55三、本征函数的性质三、本征函数的性质,L( ),nx l1.在本征态在本征态 上测量力学量上测量力学量 , ,只能测得只能测得l( )nx L2.12,n 构成构成“正交正交”、“ 归一归一”的的“完备完备”函数系函数系 正交正交,1,For( )( )d*0,Formnmnmnxxxmn 归一归一( )( )d1*nnxxx nnLl