2022年平面向量教案习题

1、平面向量一、向量的有关概念1.向量 :既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度). 2.向量的表示方法: 字母表示法:如, , ,a b c等. 几何表示法: 用一条有向线段表示向量. 如ab,cd等. 坐标表示法: 在平面直角坐标系中, 设向量oa的起点 o 为在坐标原点 , 终点 a 坐标为, x y, 则, x y称为oa的坐标 , 记为oa=, x y. 3. 相等向量 :长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量相等.两向量a与b相等 ,记为ab. 注:向量不能比较大小,因为方向没有大小. 4. 零向量 :长度为零的向量叫

2、零向量.零向量只有一个,其方向是任意的. 5. 单位向量 :长度等于1 个单位的向量 .单位向量有无数个,每一个方向都有一个单位向量. 6. 共线向量 : 方向相同或相反的非零向量,叫共线向量 . 任一组共线向量都可以移到同一直线上. 规定 :0与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量. 7. 相反向量 : 长度相等且方向相反的向量. 二、向量的运算(一)运算定义向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积,这些运算的定义都是“ 自然的 ” ，它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。研究这些运算 ,发现它们有很好地运算性质

3、,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算 ,向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要内容列表如下：运算图形语言符号语言坐标语言加 法 与减法oa+ob=ocoboa=ab记oa=(x1,y1),ob=(x1,y2) 则oa ob=(x1+x2,y1+y2) ob oa=（x2-x1,y2-y1）oa+ab=ob实 数 与向 量 的乘积ab=ar 记a=(x,y) 则a=( x, y) 两 个 向量 的 数量积cos ,a ba ba b记1122( ,),(,)ax yb

4、x y则ab=x1x2+y1y2精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - -(二)运算律加法：abba(交换律 ); ()()abcabc(结合律 ) 实数与向量的乘积：()abab; ()aaa;()()aa两个向量的数量积: ab=ba; (a)b=a(b)=(ab);(a+b)c=ac+bc注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如 (ab)2=222aa bb(三)运算性质及重要结论（1） 平面向量基本定理

5、: 如果12,e e是同一平面内两个不共线的向量, 那么对于这个平面内任一向量a, 有且只有一对实数12, 使1122aee，称1122ee为12,e e的线性组合。其中12,e e叫做表示这一平面内所有向量的基底; 平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e的方向分解为两个向量的和, 并且这种分解是唯一的. 这说明如果1122aee且1122aee,那么1122. 当基底12,e e是两个互相垂直的单位向量时, 就建立了平面直角坐标系, 因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础. 向量坐标与点坐标的关系：当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，即若 a(x， y)， 则o

6、a=（x,y） ； 当向量起点不在原点时，向量ab坐标为终点坐标减去起点坐标，即若 a（x1,y1） ，b（x2,y2） ，则ab=(x2-x1,y2-y1) （2）两个向量平行的充要条件符号语言：)0(/bbaba坐标语言为：设非零向量1122,abx yx y,则ab(x1,y1)=(x2,y2)，即1212xxyy,或 x1y2-x2y1=0, 在这里 ,实数 是唯一存在的,当a与b同向时 ,0；当a与b异向时 , 0。|=|b|a|,的大小由a及b的大小确定。因此,当a,b确定时， 的符号与大小就确定了 .这就是实数乘向量中 的几何意义。（3）两个向量数量积的重要性质：22| aa即2

7、|aa(求线段的长度); 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - -cosa bab(求角度 )。以上结论可以(从向量角度 )有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值. 注 :两向量a,b的数量积运算结果是一个数cosab(其中,a b),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关. cosb叫做向量b在a方向上的投影（如图）. 数量积的几何意义是数量积a b等于a的模与b在a方向上的投影的积. 如果111(,)p x y,222(,)p xy, 则12pp=

8、2121(,)xx yy, 典型例题一、平面向量的实际背景与基本概念例题 1.如图 1，设 o 是正六边形的中心，分别写出图中与oa、ob、oc相等的向量。二、平面向量的线性运算例题 2.如图，在平行四边形abcd 中，aba ，adb ，你能用 a，b 表示向量ac，db吗？变式 1：如图，在五边形abcde 中，aba ，bcb ，cdc ，ead ，试用 a ，b ， c ， d 表示向量ce和de. 变式 2：如图，在平行四边形abcd 中，若，oaa ，obb则下列各表述是正确的为（）aoaobabbocodabccda + b dbc(a + b) 变式 3：已知oa=a，ob=b

9、, oc=c,od=d, 且四边形abcd 为平行四边形，则（）a. a+b+c+d=0b. ab+cd=0c. a+bc d=0 d. abc+d=0d c a b d e c a b d c o a b b a c o f d e 图 1 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - -变式 4：在四边形abcd 中，若12abcd ，则此四边形是() a平行四边形b菱形c梯形d矩形例题 3如图，已知任意两个非零向量a 、b ，试作oaa + b，oba + 2b，oca + 3b，你能判断a

10、、b、c 三点之间的位置关系吗？为什么？变式 1：已知oaa + 2b，ob2a + 4b，oc3a + 6b (其中 a 、b 是两个任意非零向量) ，证明： a、b、c 三点共线证明：aboboaa + 2b，acocoa2a + 4b，2acab所以， a、b、c 三点共线例题 4.已知四边形abcd，点 e、f、g、h 分别是 ab、 bc、cd、da 的中点，求证：efhg变式 1：已知任意四边形abcd 的边 ad 和 bc 的中点分别为e、f，求证：2abdcef . 三、平面向量的基本定理及坐标表示例题 5.已知 a = (4，2)，b = (6， y)，且 a / b ，求y

11、 变式 1：与向量 a = (12，5) 平行的单位向量为（）a1251313，-b1251313，-c12513 13，或1251313，-d12513 13，或1251313，-变式 2：已知 a(1,2)，b,1x，当 a+2b 与 2a b共线时，x值为（）a1 b2 c13d12四、平面向量的数量积例题 6.已知 |a|6，|b| 4 且 a 与 b的夹角为60，求(a + 2b)(a3b) 变式 1：已知向量a 和 b 的夹角为60， | a | 3，| b | 4，则（ 2a b） a 等于（a）15 （b）12 （ c） 6 （d）3 变式 2：在abc中，已知 |ab|=4

12、，|ac|=1 ，sabc=3，则abac等于（）b a d c e f a b 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - - - -a.2 b.2 c.2d. 4 例题 7.已知 a (1，2)，b (2，3)，c (2，5)，试判断abc的形状，并给出证明综合练习：一、选择题（每小题3 分，共 36 分）1、下列物理量不是向量的是( ) a速度b质量c加速度d位移2、将向量a，b的起点放在一起，则从a的终点到b的终点的向量是( ) aa+bbabcbad03、已知 a( 3 , 4 ) , b (

13、 5 , 7 ) , 则ab( ) a （8，3） b （ 8 ，3 ） c （8，3 ）d （ 8，3）4、已知 p(1,2),q(5, 4),则线段 pq 的中点坐标为( ) a （3，3）b （ 3，3）c （2，1）d （2，1）5、化简mnmpqnpq( ) amn2bpn2cmq2dnp26、已知6,5,60aba b则a b( ) a30 b20 c15 d10 7、已知a(1,2),b(3,5), 则的值为ab( ) a13 b7 c7 d11 8、与向量（ 3,5）垂直的向量是( ) a （ 3，5）b （3， 5）c （3，5） d （3，5）9、在平行四边形abcd 中，

14、点 a(-1,-2),b(3,-1),c(3,1), 则点 d 坐标为（）a （7，2）b （1，0）c （7，2）d （1，0）10、已知a( 1,3),b(x,1),且a/b，则 x= ( ) a3 b13c3d1311、已知bababa,)3,5(,)5,1(则的坐标正确的是（）a)4,3(,)1 ,2(bab)3,4(,)2, 1(ba精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - -c)4, 3(,)1 ,2(bad)8 ,7(,)2,1(ba12、已知a=(1,2), b=(1,x),

15、若ab,则 x 等于( ) a21b. 21c. 2 d. 2 二、填空题（每小格2 分，共 18 分）1、如果a3b0,则a与b的关系是. 2、已知a=（ 1，2） ，b=（3，y） ： （1）若a/b则 y= . （2）若ab则 y= . 3、已知a=(1, 5), b=(2,6)则： （1）11ab24. （2）(a2b)(2 ab). 4、已知点a（1，2） ，b（-1,3） ，且ac3bc，则点 c 的坐标为（）5,、化简：112a3b6a4a2b24. 6、已知2 ax3 bx ,则x. 7、已知( 3,4)(5, 2),ab、则ab. 三、解答题（共46 分）1、化简： (每小题 5 分，共 10 分) （1）cabacddb（2）13 a -2b2 3 ab9a -6b32、已知)4,3(),1,5(ba，求bababa23,坐标（ 9 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - -