2022年平面向量经典例题讲解

1、学习必备欢迎下载平面对量经典例题讲解试 题 分 析 ：abaab a20 aa b0 ， | a | 1 ， | b |2 ， 设 夹 角 为， 就2aa b1 12cos0cos1223讲课时间 :姓名：课时：讲课老师： 考点：此题考查向量数量积的运算点评：两向量垂直的充要条件是点乘积得0，用向量运算得到cos的值，求出角3. 如 oa 、 ob 、 oc 三个单位向量两两之间夹角为60°，就 oaoboc一、挑选题（题型注释）1. 空间四边形 oabc中， oaa, obb ,occ, 点 m在 oa上，且中点，就 mn =（ ）om2ma ， n 为 bc 的a.3b.3c.6

2、d.6【答案】 d【解析】a 121b 211a -bcabc232322试 题 分 析 ：oa、 ob、 oc三 个 单 位 向 量 两 两 之 间 夹 角 为60 °112c ab -223cd221ab -c 3322abc6222abc2ab2bc2ac32 a bcos602 b ccos602 a ccos60【答案】 b【解析】abc6试题分析：因为n为bc的中点，就on1oboc ，2考点: 向量的数量积 .mnonom1oboc 211oabc2a ，选 b4在平行四边形 abcd 中， ac 与 bd 交于点 o，e 是线段 od 的中点， ae 的延长线与 cd

3、 交于点 f ,23考点：向量加法、减法、数乘的几何意义；223如 aca ， bdb ，就 afa. 1 a1 bb.1 a2 bc.1 a1 bd.2 a1 b2已知平面对量 a ， b 满意 | a | 1 ， | b |2 ，且 aba ，就 a 与 b 的夹角是（）42332433（ a） 56【答案】 d【解析】（ b）（c）3（ d） 23【答案】 d【解析】试题分析：由题意可知，aeb与 fed 相像，且相像比为 3:1 ，所以df1 dc , 由向量加减法3的平行四边形法就可知，abada, adabb ，解得， adab , ab 2ab，由向量加2法的三角形法就可知，af

4、addfad1 ab21ab , 故 d 正确；7已知向量 a1,2 ，ab/ b ，就 b 可以为（）考点：平面对量的加减法5在边长为 1的等边abc 中，333d, e 分别在边 bc与 ac上，且 bddc ， 2aeeca 1,2b 1, 2c 2,1d 2,1【答案】 a就 adbe（）1111【解析】试题分析：设 b x, y ，就 ab x1, y2 ，因ab / b ，所以 x1) yx y20 ，abcd2346y2x0 ，只有 a 满意【答案】 a【解析】考点：向量共线的条件试题分析： 由已知d, e 分别在边 bc与 ac上， 且 bddc ， 2 aeec 就 d 是

5、bc 的中轴点， e8已知向量 a2,3, b 1, 2 ，如 ma4b 与 a2b 共线，就 m 的值为（）为 ac 的三等分点，以 d 为坐标原点， da 所在直线为 y 轴， bc 边所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，a 12【答案】 db 2c 12d 2a0,3 ，2c 12,0 ， b1 ,0 ，设2e x, y ，由2 aeec 可得：2 x, y3 122x,y ，【解析】试题分析：由已知得ma4bm2,34 1,22m4,3m8 ，解得： x1 , y63 ，就 ad30,3 ， be2 2 ,3 ， adbe1332a2b2,321,24, 1考点：平面对量的坐标运算

6、6在平行四边形abcd 中， ac 为一条对角线， ab2,4 ， ac1,3 ，就 da （）又由于 ma4b 与 a2b 共线，a（ 2,4 ）b（3,5 ）c（ 1， 1）d（ 1， 1）所以有2m4 143m8014m28m2 ，【答案】 c【解析】应选 d考点： 1向量的坐标运算； 2向量平行的坐标条件试题分析：daad acab 1,19已知平面直角坐标系内的两个向量a1 , 2 , bm , 3m2) , 且平面内的任一向量c 都可以唯考点：平面对量的线性运算一的表示成 cab ,为实数） , 就实数 m 的取值范畴是（）a ,2b 2,【答案】 dc ,d ,22,【解析】试题

7、分析：由于a = 3,4，所以 a32425 ，由于aa5 ，所以 55，解得：【答案】 d【解析】1 ，应选 d考点： 1、向量的数乘运算； 2、向量的模试题分析：平面内的任一向量c 都可以唯独的表示成cab ,为实数）的充要条件是12如向量 a2, 1 ， b0,2，就以下向量中与 ab 垂直的是（）a1 , 2 , bm , 3m2 不共线 , 即13m22m0m2 , 应选 d.a 1, 2b 1,2c 2,1d 0,2考点：平面对量的基底及向量共线【答案】 a10如向量 a1, 2 , b2,1 ,c = 4,2 , 就以下说法中错误的是（）【解析】a. ab试题分析：向量 a2,

8、1 ， b0,2， ab 2 ,1，而 12 210 ，以下向量中b. 向量 a 与向量 c 的夹角为 90与 ab 垂直的是 1, 2 .c. b cd. 对同一平面内的任意向量d , 都存在一对实数k1, k2 , 使得 dk1b+ k2c考点：向量垂直的充要条件.13在边长为 1的正三角形 abc 中，设 bc2bd ， cace ，如adbe1 ，4【答案】 d就的值为（）11【解析】（a）2（ b） 2（ c）3（ d） 3试题分析： a b220 ，故 a 正确； a c1 4 220 ，所以 b 正确； b1 c，2【答案】 c故 c正确；由于考点：向量的夹角b,c 是共线的，不

9、能作为基底，故d 错【解析】试题分析：由题意可得：adbeabbdbcceab1 bcbcca11已知向量 a =3,4 ，如a5 ，就实数的值为（）2a 15b 1c15d 1abbc1 bc 2abca1bcca111 ，所以1 .二、填空题（题型注释）22考点：向量的应用 .22244316已知两个非零向量a 与 b，定义|a ×b| |a| ·|b|sin ，其中 为 a 与 b 的夹角如 a 3,4 ，b 0,2 ，就|a ×b| 的值为14已知向量 a1,2 ， b1,0 ， c3, 4 ，如为实数， abc ，就（）【答案】 6a 5b31c2511

10、d23【解析】 |a| 3 242 5，|b| 022a b2 2，a· b 3× 0 4× 28，所以 cos ab【答案】 d【解析】 8524 ，又由于 0 ， ，所以 sin531cos2 124 355. 故依据定义可知试 题 分 析 ： ab1, 2, 因 为 abc, 所 以abc3 1420, 解 得|a ×b| |a| ·|b|sin5×2× 6.511. 故 d正确 .3考点：向量垂直 ; 向量的数量积 .17 abc中 ab 2， ac 3，点 d 是 abc的重心，就 ad · bc 【答案

11、】 5315在 abc中，已知 | ab |4,|ac | 1 ，s abc3 ，就 ab ac 的值为（）【解析】设 e 为边 bc的中点，由于点 d是 abc的重心，所以ad 23ae 2 × 1 32ab ac 2（a） 2 （b） 2 （ c） 4 （ d） 2 1 ab ac ，又 bc ac ab ，所以 ad · bc 1 33 ab ac ·ac ab 【答案】 d【解析】1 ac3 ab 523试题分析：由题依据三角形面积公式不难得到角a 的正弦值，然后得到其对应的余弦值，结合平面对量数量积运算求得结果 .18已知 a=（ 2,0 ）， | b

12、|3 ， a,【答案】13b 的夹角为 60°，就 | 2ab |ac4，ab1， s1 acab sin a3， sin a3 ， cos a1 ,abc222【解析】abacabaccosa2 ，应选 d试题分析：2ab224a4a bb1612913 .考点：平面对量的数量积考点：向量的基本运算.19. 已知 a、b、c 是球 o的球面上三点， bac=90°， ab=2，bc=4，球 o的表面积为 48，就异面直线 ab 与oc 所成角余弦值为.3【答案】6 aba ac2aac322| a |0| a | c | cos6032| a |2【解析】 cosa,ba

13、b| a |32.试题分析：过 o作 bc 的垂线，垂足为 m ，以 ma 所在线为 x 轴，以 mc 所在线为 y 轴，以 mo 所| a | b | a |3 | a |2在线为 z 轴，建立直角坐标系， 所以a2,0，0 ，b0, 2,043，c0,2,0，o 0,0, 22 ，ba2, 2,0 ，考点： 1. 向量的运算； 2. 两向量的夹角公式 .22. 已知点 g 为 abc 的重心，过点 g 作直线与 ab ，ac 两边分别交于m , n 两点，且amxab ,oc0, 2, 22 ，所以 cos.44486any ac ,11x, yr ，就xy考点： 1. 空间向量法； 2.

14、 夹角公式 .20. 已知 | a |1 ， |b |2， a 与 b 的夹角为 120 ， abc【答案】 90【解析】0 ，就 a 与 c 的夹角为【答案】 3【解析】试 题 分 析 ： 根 据 题 意 画 出 图 像 ， 因 为 g为2111111abc的 重 心 ,所 以试 题 分 析 ： 要 求 a 与 c 的 夹 角 一 般 可 先 求 两 向 量 的 数 量 积 a c ， 而 cab ， 因 此2a ga ba ca ma n323xyx33y111 , 所以 113 , 所以答案为 :3 , a由于m :m ,g ,an 三n 点共线 , 所以a ca abaa b ，而依据

15、已知， 这是可求的， 而且其结果是 0，故 ac ，夹角为 90 3x3yxy考点：向量的夹角考点： 1向量的运算； 2三点共线的性质21. 已知 abc0 ，且 a 与 c 的夹角为 60 ，b3 a ，就cos a, b等于.23. 已知向量 a2,1, 3,b 4, 2,x ，如a /b ，就 x；【答案】32【答案】 -6【解析】【解析】试题分析： abc0 ， b2ac ， b22ac2|a|c |cos600 ，试题分析：由 ba 可知，2 ，所以 x6 .考点：空间向量共线定理.22222 3aac| a |c | ， 2a| a |c |c0 ， | a | | c |，24.

16、 设向量 a3,1, b2,2 ，如 abab ，就实数.【答案】2【答案】 12【解析】b32,2 ，ab32,2 ；abab0试题分析：由已知得a【解析】试题分析：设 a与 b 的夹角为 ，向量 a ， b 满意 a2bab6 ，且 a1, b2，由 abab 得 22 aa bb1a b46，a b =1 cos = a bab= 1 ，再由 的范畴为 0 ， ，2所以有 3232220可得 =3，就 a 在 b 上的投影为11cos32即 4 280 ，解得2考点：向量的数量积；故答案为：2 .27如向量 a 与 b 满意 | a |2 ， | b |2 ， aba 就向量 a 与 b

17、 的夹角等于；考点：向量的数量积的坐标运算.| ab |25已知向量 a 1,2 ， b2,3 ，如 mab 与 nab 的夹角为钝角，就实数的取值范【答案】， 10 .4围是【解析】【答案】9 且 x1【解析】试 题 分 析 ：aba，aba0 ，2a a b2 ，cosa, ba b2 ，a b2试题分析： mab2,23 ， nab 3,1 ，如 mab 与 nab 的夹a,b，4角为钝角，就ab ab32230 ，即：9 ，又 m与n 不共线，就22223ababa2a bb24410 .230 , 即：1 ，就9 且 x1考点：平面对量数量积的运算和性质.28已知向量 a, b 满意

18、 a2bab =6 ，且 a1, b2 ，就 a 与 b 的夹角为.考点： 1向量的夹角； 2向量的数量积； 3共线向量； 4向量的坐标运算公式；【答案】26 已 知 向 量a,b 满 足 a2bab6 ， 且 a1, b2 ， 就 a 在3b 上 的 投 影 为 【解析】试题分析： a2b aba222a b1所以 kabk 1, 52,1k2, 5k1 ， a + 3b1, 5+ 3 2,17,2 10分a b2b1a b226 ，所以 cosa, ba b1，a b2a, b3由 kab 与 a + 3b 平行，得 k225k170 ，12分考点：向量的数量积与向量的夹角所以 k114分

19、3三、解答题（题型注释）考点： 1. 向量相等； 2. 向量共线 .30平行四边形 oadb的对角线交点为 c， bm 13bc ， cn 13cd ， oa a， ob b，用 a、b29设a, b, c, d 为平面内的四点，且a1,3, b 2,2 , c 4,1.表示 om 、 on 、 mn .（ 1）如 abcd , 求 d 点的坐标；（ 2）设向量 aab ,bbc , 如 kab 与 a3b 平行，求实数 k 的值 .【答案】（ 1） 5, 6【解析】（ 2） k1；3 .【答案】 12a 1 b611115试题分析：（ 1）两向量相等即坐标相同，设出dx, y即可就得；（ 2

20、）两向量ax1 , y1,bx2 , y2【解析】 ba ab， bm ba ab， om ob bm 666ab. od ab， on 66 oc cn 1od 1od 2od 2 a 2 b. mn on om 1a 1 b平行，满意条件是x1 y2x2 y1.2633326试题解析：设dx, y 31（本小题满分 13 分，（ 1）小问 7 分，（ 2）小问 6 分）由 abcd ，得 2, 21,3x, y4,1，就 1, 5x4, y + 1，3分已知向量a、b 满意 : a1, b4, 且 a 、b 的夹角为60 0 .所以 x41,解得 x5,5分（1）求 2 abab；y +

21、15,y6.所以点 d 的坐标为 5, 6 6分（2）如 aba2 b，求的值 .由于 aab2, 21,31, 5 ， bbc4, 12, 22,1,8分【答案】（ 1） -12 ；（2） 12【解析】试题分析：（ 1）由题意得a bab1cos60142 ，2解出6 2abab222aa bb221612试题解析：（ 1）由于 ab ，所以a b=0 ，2分2sinsin50sin3cos0（2）aba2b，aba2b0 ，所以3，即224分22 a2 a b2b0，22320 ，由于 cos0 ，所以tan35 6分12考点：平面对量的数量积的定义的应用，平面对量数量积的运算法就，以及向

22、量垂直的充要条件点评：解决此题的关键是把握平面对量数量积的运算法就，以及向量垂直的充要条件（ 2）由 a b ，得2sinsin 13，8分32（本小题满分 14 分）己知向量a1,2sin, bsin,1 ，r 2sin 2cos 2sincossin 11 1cos 23 sin 213（1） 如 ab ，求 tan的值：即33，即22，（2） 如a / /b ，且0, ，求的值2整理得，sin216211分30, 2 5 【答案】（ 1）tan5，（2）6又2，所以,666，【解析】2sinsin02 所以66 ，即6 14分试题分析： （ 1）先由向量垂直得等量关系：3，再利用两角和正

23、弦绽开得考点：向量平行与垂直，两角和正弦及二倍角公式5 sin3 cos0tan325，；22，由于 cos0，所以5（ 2）先由向量平行得等量关系：33（此题满分 9 分）已知向量 acos, sin ， bcos,sinab52sinsin 12sin 2cos 2sincossin 13，再利用两角和正弦绽开得33，依据二倍（ 1）求 cos 的值；11cos 23sin 21sin210,角公式化简得22，由配角公式整理得62 ，结合2，0（ 2）如,022且sin513 ，求sin的值；【解析】试题分析：（ 1）利用数量积公式以及二倍角公式得到关于cos a的方程，解方程得到cos a 的值，结【答案】（ 1） 3 ；（ 2） 33 ；合角的范畴，得到角a ；（ 2）求出