数学分析刘玉琏10-2

1、西南财经大学西南财经大学省级精品课程省级精品课程经济管理数学分析经济管理数学分析课题组版权所有课题组版权所有 请勿外传请勿外传 2 由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积第十章第十章 定积分的应用定积分的应用x横轴横轴y纵轴纵轴z竖轴竖轴 原点原点o空间直角坐标系空间直角坐标系三个坐标轴的正方向符合右手系三个坐标轴的正方向符合右手系. .1. 空间直角坐标系空间直角坐标系 即以右手握住即以右手握住 z 轴，当右手的四个手指从正向轴，当右手的四个手指从正向 x 轴以轴以 角度角度转向正向转向正向 y 轴时，大拇指的指向就是轴时，大拇指的指向就是 z 轴的正向轴的正向.2 一一 空间解析几何简介

2、空间解析几何简介(补充补充)第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积xyozxoy面面yoz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积空间的点空间的点M有序数组有序数组( , , )x y z一一对应一一对应特殊点的表示特殊点的表示: :(0,0,0);O坐坐标标原原点点: : xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ(0,0, )Rz)0 ,(yxA), 0(zyB( ,0, )C xz坐标轴上的点坐标轴上的点: :P , Q , R ;坐标面上

3、的点坐标面上的点: : A , B , C.xyzM ( , , )x y z第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积空间点空间点的坐标的坐标2. 空间中的点与坐标空间中的点与坐标xyzo 1MPNQR 2M12?dM M222212,dM PPNNM3. 空间两点间的距离空间两点间的距离11112222(,)(,)Mxy zMxyz设设和和为为空空间间两两点点, ,121,M NMM PN在在直直角角及及直直角角中中使使用用勾勾股股定定理理知知121,M Pxx由由21,PNyy221,NMzz22212dM PPNNM所所以以 22212212121.

4、M Mxxyyzz特殊地：若两点分别为特殊地：若两点分别为( , , ) ,M x y z(0,0,0)OdOM 222.xyz第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积0,.AxByCzDA B C 其其中中不不全全为为零零(1)平面的一般方程平面的一般方程4. 空间曲面空间曲面平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：,.0a D 该平面通过坐标原点；该平面通过坐标原点；,.0b A 0,0,DD 平面通过平面通过x轴；轴；平面平行于平面平行于x轴轴.0.,c AB平面平行于平面平行于xoy坐标面坐标面.类似地可讨论类似地可讨论 A= C

5、= 0 , B = C = 0 情形情形.类似地可讨论类似地可讨论 B = 0 , C = 0 情形情形.例如：例如：z = 1 ，例如：例如：x + y + z = 0 ，例如：例如：y + z = 0 ，例如：例如：y + z = 1 ，方程方程 F(x,y,z) = 0 决定了空间直角坐标系上的一张曲面决定了空间直角坐标系上的一张曲面.第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积设平面方程为设平面方程为0,AxByCzD将三点坐标代入，有将三点坐标代入，有0,0,0,aADbBDcCD ,DAa ,DBb .DCc 解解 例例 设平面与设平面与x,y,z

6、三轴分别交于三轴分别交于 P(a,0,0)，Q(0,b,0)，R(0,0,c)(其中其中a0,b0,c0)，求此平面方程，求此平面方程.代入所设方程，得代入所设方程，得1,xyzabc称为称为平面的截距式方程平面的截距式方程.解得解得第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积定义定义(2)柱面柱面 平行于定直线并沿定曲线平行于定直线并沿定曲线C C 移动的直线移动的直线 L L 所形成的曲所形成的曲面称为面称为柱面柱面. . 这条定曲线这条定曲线 C 称为柱面的称为柱面的准线准线, ,动直线动直线 L L 称为柱面的称为柱面的母线母线. .柱面举例柱面举例x

7、ozyxozy22yx 抛物柱面抛物柱面222xyR圆柱面圆柱面第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积从柱面方程看从柱面方程看柱面的特征柱面的特征：例如例如22221yzbc椭圆柱面椭圆柱面 / x 轴轴22221xyab 双曲柱面双曲柱面 / z 轴轴22xpz 抛物柱面抛物柱面 / y 轴轴 只含只含x,y而缺而缺z的方程的方程 F(x,y) = 0，在空间直角坐标系中表示母，在空间直角坐标系中表示母线平行于线平行于z轴的柱面，其准线为轴的柱面，其准线为xOy面上曲线面上曲线C.(其它类推其它类推)第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积

8、求体积由平行截面面积求体积二次曲面二次曲面： 三元二次方程所表示的曲面三元二次方程所表示的曲面. .讨论二次曲面性状的方法：讨论二次曲面性状的方法： 用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌截痕法截痕法. .(3)二次曲面二次曲面a.椭球面椭球面2222221.xyzabc第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积特别地，当特别地，当 a = b = c 时，得球面方程时，得球面方程2222.xyza

9、ozyx椭球面与三个坐标面的交线：椭球面与三个坐标面的交线：22221,xyab0,z 22221,xzac0,y 22221,yzbc0,x 第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积zxyOxyzO椭圆抛物面椭圆抛物面的图形如下：的图形如下：0,0pq0,0pqb.抛物面抛物面2222xyzpq( p 与与 q 同号同号)第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积2222xyzpq双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）设设0,0,pq图形如右示图形如右示：xyzo( p 与与 q 同号同号)第十章定积分的应用第十章定

10、积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积二二(P243) 平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积xx 设为三维空间中的一立体，它夹于垂直于 轴的两平面设为三维空间中的一立体，它夹于垂直于 轴的两平面OxyabxA(x)(.)baVA x dx 于于是是有有， x+dx( ),dVA x dx 在在a, b上任取一个小区间上任取一个小区间x,x+dx， 得一薄片的体积微元得一薄片的体积微元 类似地，若立体被夹在过类似地，若立体被夹在过 y 轴上的点轴上的点 y=c与与y=d并并垂直于垂直于 y 轴轴的两平面之间，在的两平面之间，在c,d上的任意点上的任意点y处垂

11、直于处垂直于y 轴的截面面积轴的截面面积S(y)是是y的连续函数，则立体的体积为的连续函数，则立体的体积为( ).dcVS y dy 第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积() axb ab与之间.与之间. , xa bx 若任意一点处作垂直于 轴的平面，若任意一点处作垂直于 轴的平面，x 它截得的截面面积是 的函数，它截得的截面面积是 的函数，( ) , A x xa b 记为,，记为,， 并称之为并称之为.的的截面面积函数截面面积函数 例例 一平面经过半径为一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角成角 ，计算

12、这平面截圆柱体所得立体的体积计算这平面截圆柱体所得立体的体积.解解 建立如图所示的坐标系，建立如图所示的坐标系，Oxyxy222xyR R RA(x)222xyRA(x)，则由三角形的面积公式，有，则由三角形的面积公式，有设设x为为R, ,R 上之任意一点，上之任意一点，过该点且垂直过该点且垂直 x 轴的截面面积为轴的截面面积为( )A x221()tan2Rx ( )RRVA x dx 221()tan2RRRxdx 32tan.3R 则则从而底面圆的方程为从而底面圆的方程为211tantan22y yy第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积2( 24

13、4)P例例2222221( 244) xyaxPza 求由两个圆柱面与所围立体求由两个圆柱面与所围立体例例的体积.的体积.解解 如图所示为该立体在第一卦限部分的图像如图所示为该立体在第一卦限部分的图像. . 对任一对任一x0, ,a, , 过该点且垂直过该点且垂直 x 轴的轴的截面截面是一个边长为是一个边长为 的正方形的正方形. . 22ax 故故 A(x) = a2x2，x0, ,a ，由公式由公式得得 2208()aVaxdx 316.3a xyzoaaaxyzoaaaaxyo22yaxaD第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积xxx三三(P245)

14、 旋转体的体积旋转体的体积 旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积 , 0 | |( )|fa byf xaxbx 设设 是是上上的的连连续续函函数数，是是由由平平面面图图形形，绕绕 轴轴旋旋转转一一周周所所得得的的旋旋转转体体，ab( )yf x x2( )A xy xOy,:x 于于是是 绕绕 轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体的的体体积积为为2 ( ).bxaVf xdx 第十章定

15、积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积yr解解hPryxh xO过原点过原点O 及点及点P(h,r)的直线方程为的直线方程为 例例3(P245) 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点P(h,r)的直线、直线的直线、直线x=h及及x轴围轴围成一个直角三角形将它绕成一个直角三角形将它绕x轴旋转构成一个底半径为轴旋转构成一个底半径为r、高为、高为h的的圆锥体，计算圆锥体的体积圆锥体，计算圆锥体的体积20hrVxdxh 23203hrxh 2.3hr 于是所求圆锥体的体积为于是所求圆锥体的体积为第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积

16、2 ( ).dycVydy 用与上面类似地方法可以推出：由曲线用与上面类似地方法可以推出：由曲线x=(y)、直线、直线y=c、y =d ( c d )与与y轴所围成的曲边梯形，绕轴所围成的曲边梯形，绕y轴旋转一周而成的旋转轴旋转一周而成的旋转体如图所示体如图所示xO( )xy cdyy第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积:y于于是是，绕绕 轴轴旋旋转转的的旋旋转转体体的的体体积积为为 例例 求曲线求曲线 y = 2xx2 和和 y = 0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕 x 轴及轴及 y 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积.Oy22yxx

17、(1,1)(2,0)x解解 (1)绕绕 x 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积. (0,0) (2,0)(1,1).得得交交点点，；顶顶点点22,0,yxxy 02,01.xy 从从而而x解方程组解方程组xV故绕故绕 x 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积为了确定积分区间，应先求两曲线之交点，为了确定积分区间，应先求两曲线之交点，第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积2220(2)xxdx 16.15 2 2,yxx由由 11.xy 解解出出故绕故绕 y 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积Oxy(1,1)(2,0)1120(11) yVydy 11xy11xy112084(1)(1).3ydy (2)绕绕 y 轴旋转所得旋转体的体积轴旋转所得旋转体的体积. 解法解法1120(11) ydy 第十章定积分的应用第十章定积分的应用2由平行截面面积求体积由平行截面面积求体积例例4(P245)0,2.xx取取 为为积积分分变变量量，即即 的的变变化化区区间间