计算机图形学(三维几何变换)

1、计算机图形学第第4 4章章 变换和裁剪变换和裁剪 本章的目的v用数学的方法推导出物体的几何形状在不同观用数学的方法推导出物体的几何形状在不同观察方式下所呈现的视图之间的几何关系，即几察方式下所呈现的视图之间的几何关系，即几何变换，如平移、放缩、旋转等何变换，如平移、放缩、旋转等v如何求出图形在窗口内的部分进行显示，或者如何求出图形在窗口内的部分进行显示，或者说显示图形时如何把窗口外的部分裁剪掉说显示图形时如何把窗口外的部分裁剪掉22009-2010-2:CG:SCUEC4.1 变换的数学基础4.2 图形显示中的基本概念4.3 几何变换4.4 裁剪32009-2010-2:CG:SCUECv点和

2、距离v矢量 矢量和、矢量的数乘、矢量的模、单位矢量、矢量的点乘、矢量的叉乘v矩阵 矩阵的加法、矩阵的数乘、矩阵的乘法、单位矩阵、矩阵的转置、矩阵的逆42009-2010-2:CG:SCUEC计算机图形学4.2 4.2 图形显示中的基本概念图形显示中的基本概念v1 1、图形数字化（图形数字建模）、图形数字化（图形数字建模） 为了使计算机处理几何图形，必须对图形进行数为了使计算机处理几何图形，必须对图形进行数字化，因为计算机只能处理数字，计算机图形也字化，因为计算机只能处理数字，计算机图形也是以数字的形式进行加工和处理的。是以数字的形式进行加工和处理的。 坐标建立了几何图形和数字之间的关系，为了使

3、坐标建立了几何图形和数字之间的关系，为了使显示的图形数字化，要为数字化的图形建立坐标显示的图形数字化，要为数字化的图形建立坐标系。系。图形的数字化图形的数字化图形操作图形操作图形输出图形输出v计算机处理图形的过程一般分为三个阶段：计算机处理图形的过程一般分为三个阶段：62009-2010-2:CG:SCUEC 模型坐标系：为了方便建立图形的数字模型，常常根模型坐标系：为了方便建立图形的数字模型，常常根据它的几何形状选择坐标系，因此在图形的处理过程据它的几何形状选择坐标系，因此在图形的处理过程中，每个图形模型都有自己的坐标系，这个坐标系称中，每个图形模型都有自己的坐标系，这个坐标系称为模型坐标系

4、或局部坐标系为模型坐标系或局部坐标系 世界坐标系：一个图形场景往往有多个图形组成，为世界坐标系：一个图形场景往往有多个图形组成，为了描述它们之间的关系，需要把它们置于一个统一的了描述它们之间的关系，需要把它们置于一个统一的坐标系中，该坐标系称为世界坐标系坐标系中，该坐标系称为世界坐标系xyzxyzxyz世界坐标系世界坐标系模型坐标系模型坐标系72009-2010-2:CG:SCUECv2、图形操作：、图形操作： 平移、放缩或旋转等变换平移、放缩或旋转等变换,三维空间中的对象要在二三维空间中的对象要在二维的屏幕上表示出来，需要进行投影变换等等维的屏幕上表示出来，需要进行投影变换等等近平面近平面8

5、2009-2010-2:CG:SCUECzyxoZv模型坐标系世界坐标系XYZx1y1z1x2y2z2观察坐标系Yv 观察坐标系：在图形显示或处理过程中，用户往往需要从不同角度观察坐标系：在图形显示或处理过程中，用户往往需要从不同角度对图形进行观察，需要产生不同角度的视图，如果在世界坐标系中对图形进行观察，需要产生不同角度的视图，如果在世界坐标系中产生不同角度的视图，投影变换所涉及的计算将相对复杂。此时可产生不同角度的视图，投影变换所涉及的计算将相对复杂。此时可根据视图所在的投影平面建立一个新的坐标系，称为根据视图所在的投影平面建立一个新的坐标系，称为观察坐标系观察坐标系，使世界坐标系中的任意

6、投影平面为观察坐标系中的平面。把世界坐使世界坐标系中的任意投影平面为观察坐标系中的平面。把世界坐标系中的图形变换到观察坐标系中，从而可大大简化投影变换。标系中的图形变换到观察坐标系中，从而可大大简化投影变换。 92009-2010-2:CG:SCUEC 视见体：有时为了突出图形的某一部分而只显示部分视见体：有时为了突出图形的某一部分而只显示部分图形，这时可以定义一个视见体，限定要绘制的图形图形，这时可以定义一个视见体，限定要绘制的图形区域。一般是一个四棱台或四棱柱。区域。一般是一个四棱台或四棱柱。图4.5 视见体、窗口和视口VXYU视口屏幕窗口投影平面视点XYZ近平面远平面 窗口窗口:视见体投

7、影到视见体投影到投影平面上形成的一投影平面上形成的一个矩形个矩形 视口：在投影平面上视口：在投影平面上形成形成XYUV。为了。为了在屏幕或绘图纸上指在屏幕或绘图纸上指定显示图形的位置，定显示图形的位置，需要在其上定义一个需要在其上定义一个矩形，该矩形称为视矩形，该矩形称为视口。口。 102009-2010-2:CG:SCUECv3、图形输出：、图形输出： 计算机对数量化的显示图形在图形显示器上绘制，也计算机对数量化的显示图形在图形显示器上绘制，也就是把投影平面中的投影图形输出在输出设备上，需就是把投影平面中的投影图形输出在输出设备上，需要在输出设备上建立一个坐标系。要在输出设备上建立一个坐标系

8、。 设备坐标系：在输出设备上建立的坐标系是设备坐标系，设备坐标系：在输出设备上建立的坐标系是设备坐标系，输出设备如果是屏幕就是屏幕坐标系。有可能是三维的输出设备如果是屏幕就是屏幕坐标系。有可能是三维的如机械手运动轨迹的三维坐标系。我们常用的是屏幕坐如机械手运动轨迹的三维坐标系。我们常用的是屏幕坐标系。标系。 有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标有些图形系统，对设备坐标系进行了规范化，将坐标范围限定在区间范围限定在区间x, y, z | 0 x1, 0y1, 0z1内，称为内，称为标准化设备坐标系标准化设备坐标系 112009-2010-2:CG:SCUEC近平面近平面 图形的显示流程

9、对窗口对窗口剪剪 裁裁窗口至视窗口至视口的变换口的变换显示或显示或绘绘 图图世界坐标系世界坐标系的三维变换的三维变换投影投影122009-2010-2:CG:SCUEC计算机图形学4.3 4.3 几几 何何 变变 换换 v观察一个物体，由于观察角度或物体位置的改变，观察一个物体，由于观察角度或物体位置的改变，我们会看到不同的画面。我们会看到不同的画面。 1.1.观察角度的改变观察角度的改变- -取景变换取景变换 2.2.物体位置的改变物体位置的改变- -模型变换模型变换( (几何变换几何变换) )v两种变换本质是相同的两种变换本质是相同的, ,取景变换是可以用模型变取景变换是可以用模型变换来实

10、现的换来实现的, ,不过有时用一种方法考虑比另一种方不过有时用一种方法考虑比另一种方法考虑更容易一些。这里只讨论模型变换。法考虑更容易一些。这里只讨论模型变换。v复杂的图形变换都可以归结为对点的变换，后面复杂的图形变换都可以归结为对点的变换，后面的变换都是针对空间中任意点的。的变换都是针对空间中任意点的。 v因为二维变换是三维变换的特例，下面仅讨论空因为二维变换是三维变换的特例，下面仅讨论空间中的三维变换。间中的三维变换。142009-2010-2:CG:SCUEC总结以上这些变化后的图形结果，可以得到如下的结论：总结以上这些变化后的图形结果，可以得到如下的结论： 1 1、图形变化了，但原图形

11、的构成规则、图形变化了，但原图形的构成规则( (拓扑关系拓扑关系) )没有没有改变；改变； 2 2、图形发生的变化，是因为其顶点位置、图形发生的变化，是因为其顶点位置( (几何关系几何关系) )的的改变决定的。改变决定的。 这种通过维持图形的拓扑关系不变，而仅改变图形的这种通过维持图形的拓扑关系不变，而仅改变图形的几何关系来实现图形改变的方法，称之为图形的几何变换。几何关系来实现图形改变的方法，称之为图形的几何变换。先看看图形的几种常见变化：先看看图形的几种常见变化：152009-2010-2:CG:SCUECv点p(x,y,z)由点p(x, y, z)在x, y和z轴方向分别移动距离x, y

12、和z得到。 两点坐标间的关系为100010(1)001xxxyyyzzz 其矩阵形式为其矩阵形式为 x=x+x y=y+y z=z+z基本变换平移pP162009-2010-2:CG:SCUEC0000(2)00 xyzxsxysyzsz (*) xyzxs xys yzs z 放缩放缩v设点设点A(x, y, z)经缩放变换后得点经缩放变换后得点A(x,y,z),两点坐两点坐标间的关系为标间的关系为基本变换放大和缩小AA172009-2010-2:CG:SCUEC以图形中心为中心的缩放v以图形中心为中心的缩放变换以图形中心为中心的缩放变换 为了使缩放变换后的图形仍在原位置附近，可另为了使缩放

13、变换后的图形仍在原位置附近，可另外定义一个相似中心点外定义一个相似中心点(xp,yp,zp). 先把整个图形沿先把整个图形沿x, y和和z方向平移方向平移xp, yp和和zp, 相似中心就移到了坐标原点相似中心就移到了坐标原点.(xp,yp,zp)以图形中心为中心进行缩放的步骤基本变换放大和缩小182009-2010-2:CG:SCUEC以图形中心为中心的缩放v以图形中心为中心的缩放变换以图形中心为中心的缩放变换 然后再对每一点按照式然后再对每一点按照式(*)作变换作变换. 最后再沿最后再沿x, y和和z方向平移方向平移xp, yp和和zp,把经过缩放把经过缩放的图形移回原处的图形移回原处.(

14、xp,yp,zp)以图形中心为中心进行缩放的步骤基本变换放大和缩小192009-2010-2:CG:SCUECv这样做的综合效果是图形以这样做的综合效果是图形以(xp, yp, zp)为中心作为中心作了缩放变换了缩放变换. 以以(xp,yp,zp)为中心的缩放变换为中心的缩放变换中心缩放公式中心缩放公式ppzppyppxzzzszyyysyxxxsx)()()(基本变换放大和缩小202009-2010-2:CG:SCUECv设给定点设给定点P的坐标为（的坐标为（x, y, z）= (rcos , rsin , z)，它绕它绕z轴旋转轴旋转角后，可得点角后，可得点P(x, y, z)cossin

15、0sincos0(3)001xxyyzz zzyxryyxrxcossin)sin(sincos)cos(XYZ旋转的图示旋转的图示基本变换旋转P(x,y,z)P(x,y,z)212009-2010-2:CG:SCUEC同理：同理： 绕绕y和和x轴的旋转变换公式分别为轴的旋转变换公式分别为zyxzyxcos0sin010sin0coszyxzyxcossin0sincos0001和和基本变换旋转222009-2010-2:CG:SCUEC思考v如果旋转轴不是坐标轴，而是任意一如果旋转轴不是坐标轴，而是任意一条通过坐标原点的轴线，怎么办？条通过坐标原点的轴线，怎么办？232009-2010-2:

16、CG:SCUECv 绕过原点的轴旋转绕过原点的轴旋转 绕空间任一通过坐标原点的轴绕空间任一通过坐标原点的轴,做旋转变换，需给出这根做旋转变换，需给出这根轴的方向轴的方向(Ax,Ay,Az)。 首先建立一个新的坐标系首先建立一个新的坐标系Ouvw,Ow轴的指向和轴的指向和(Ax,Ay,Az)的指向一致的指向一致.红色为新坐标系红色为新坐标系OuvwOuvw 最后把旋转后的对象从坐标系最后把旋转后的对象从坐标系Ouvw变换到原坐标系变换到原坐标系oxyz中，中，这样绕给定的这样绕给定的,通过原点的轴的通过原点的轴的旋转便完成了旋转便完成了基本变换旋转242009-2010-2:CG:SCUEC 再

17、把要作旋转变换的对象从坐再把要作旋转变换的对象从坐标系标系oxyz变到坐标系变到坐标系Ouvw, 在坐标系在坐标系Ouvw把物体绕把物体绕Ow轴轴旋转要求转动的角度旋转要求转动的角度v两个坐标系间的变换关系两个坐标系间的变换关系Ow轴方向的单位向量为轴方向的单位向量为 222,xyzxyzwA A AAAAOu轴可取在经过轴可取在经过O点并和点并和Ow轴垂直的任一直线上轴垂直的任一直线上,22,0yxxyuA AAA 若若022yxAA，则取则取111213,a a av =(a13a32a12a33, a11a33a13a31, a12a31a11a32) =(a21, a22, a23)(

18、1,0,0)u 基本变换旋转252009-2010-2:CG:SCUEC022yxAA，Ou轴方向的单位向量为轴方向的单位向量为 若若111213,aaa313233,aaaOv轴的单位向量为轴的单位向量为v=wu，即，即v坐标系变换公式坐标系变换公式从坐标系从坐标系oxyz至坐标系至坐标系Ouvw的变换为的变换为111213212223313233uaaaxxvaaayA ywaaazz （4）由于向量由于向量u,v,w是互相正交的单位向量，可知矩阵是互相正交的单位向量，可知矩阵A的逆矩的逆矩阵就是阵就是A的转置矩阵的转置矩阵AT，即，即3323133222123121111aaaaaaaa

19、aTA AA A这样这样,从坐标系从坐标系Ouvw至坐标系至坐标系oxyz的变换公式为的变换公式为 (5)Txuyvzw A A基本变换旋转262009-2010-2:CG:SCUEC由式由式(4),式式(3)和式和式(5)可得变换公式为可得变换公式为 （6）zyxzyxTA AA A1000cossin0sincos基本变换旋转v 思考：如果旋转轴通过点思考：如果旋转轴通过点(xp, yp, zp)，而不，而不 通过坐标原点，应如何处理？通过坐标原点，应如何处理？272009-2010-2:CG:SCUECv先通过平移变换把对象沿先通过平移变换把对象沿x, y, z轴方向平移轴方向平移 -x

20、p, -yp, -zp，旋转轴经过坐标原点，但方向，旋转轴经过坐标原点，但方向不变；不变；v图形作绕通过坐标原点的轴的旋转变换；图形作绕通过坐标原点的轴的旋转变换；v将图形沿将图形沿x, y, z轴方向平移轴方向平移xp, yp, zp，得到，得到绕任意轴的旋转变换。绕任意轴的旋转变换。282009-2010-2:CG:SCUEC设矩形设矩形OABC沿沿x轴（称为方向轴）方向切变，轴（称为方向轴）方向切变，y轴称轴称为依赖轴。切变的程度由参数为依赖轴。切变的程度由参数S=tg决定决定sytgoAAAs的几何意义是对的几何意义是对y=1的点在切变时沿的点在切变时沿x轴正向平移的距轴正向平移的距离

21、。设点离。设点(x, y, z)经错切变换后成为经错切变换后成为(x, y, z)，则，则zyxszyx10001001(7)如果依赖轴和方向轴改成其它的坐标轴，如果依赖轴和方向轴改成其它的坐标轴，式（式（7）中的矩阵要作相应的变动。）中的矩阵要作相应的变动。 错切AABBxOyC基本变换错切变换292009-2010-2:CG:SCUECv在实际绘图时，常要对对象连续做几次变换，例如在实际绘图时，常要对对象连续做几次变换，例如作平移后，作旋转，再作放大等。这样对每一点的作平移后，作旋转，再作放大等。这样对每一点的坐标要依次用式坐标要依次用式(1)，式，式(6)和式和式(3)计算，这样计算计算

22、，这样计算量较大。如果只有旋转和放大，则可把式量较大。如果只有旋转和放大，则可把式(6)和式和式(3)合并成一个矩阵合并成一个矩阵 zyxzyxssszyxTzyx11000cossin0sincos000000T TA AA A(8)v 但使用平移变换，由于变换式右端多出一项，但使用平移变换，由于变换式右端多出一项， 变换矩阵无法实现合并，怎么办？变换矩阵无法实现合并，怎么办？302009-2010-2:CG:SCUEC为使平移变换也能象其他变换那样容易合并，可以采用齐次坐标。为使平移变换也能象其他变换那样容易合并，可以采用齐次坐标。110001000100011zyxzyxzyxzyxzy

23、xzyx100010001齐次坐标齐次坐标如：二维点如：二维点x y 用用 X Y H表示表示空间点空间点x y z 用用 X Y Z H表示表示正常化齐次坐标正常化齐次坐标怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标怎样由齐次坐标求正常化齐次坐标?H可以任意选取可以任意选取, 所以一个普通坐标的齐次坐标表示不是唯一的。所以一个普通坐标的齐次坐标表示不是唯一的。如二维平面上的一点如二维平面上的一点3,4,用齐次坐标表示为用齐次坐标表示为3,4,16,8,2 6,8,2 1.5,2,0.5通常将通常将H=1的齐次坐标称为的齐次坐标称为x=X/Hy=Y/Hz=Z/Hv 齐次坐标表示法就是用齐次坐标表示法就是用n

24、+1维向量表示维向量表示n维向量维向量变换的表示法统一变换的表示法统一变换合成的问题变换合成的问题引入齐次坐标引入齐次坐标 312009-2010-2:CG:SCUEC三维图形变换矩阵通式为三维图形变换矩阵通式为4 x 4 方阵方阵a b c pd efqTg hirl m n s比例、对称、旋转、错切比例、对称、旋转、错切平移平移投影变换投影变换总体比例变换总体比例变换三维空间点的变换为三维空间点的变换为x y z 1 T = x y z 1变换前点的坐标变换前点的坐标变换后点的坐标变换后点的坐标三维图形的变换矩阵三维图形的变换矩阵3 3xabcdefghil m n 1 x 3 p q r

25、Ts1x1三维变换齐次坐标矩阵表示的一般形式 322009-2010-2:CG:SCUEC一、全比例变换一、全比例变换变换矩阵主对角变换矩阵主对角线上的元素线上的元素a、e、j、s的作用是图形产生比例的作用是图形产生比例变换。变换。sT0000100001000010S1，为图形整体缩小，为图形整体缩小S0，为对称变换，为对称变换比例变换比例变换S1，为恒等变换，为恒等变换x y z 1 T = x y z s=x/s y/s z/s 1x y z 1 T = x y z s=x/s y/s z/s 1若若a=e=j,，则图形三方向的缩放比例相同；，则图形三方向的缩放比例相同；若若a e j,

26、，则图形将产生畸变，则图形将产生畸变二、缩放变换二、缩放变换1000000000000jeaTx y z 1 T = ax ey jz 1=x y z 1332009-2010-2:CG:SCUEC三、对称变换三、对称变换1.1.关于关于XOYXOY平面的对称平面的对称特点：特点：x y x y 值不变，值不变，z z坐标符号改变坐标符号改变1000010000100001Tx y z 1 T = x y x y z 1 T = x y z 1z 12.2.关于关于YOZYOZ平面的对称平面的对称特点：特点：z y z y 值不变，值不变，x x坐标符号改变坐标符号改变 10000100001

27、00001Tx y z 1 T = -x y z 1x y z 1 T = -x y z 13.3.关于关于XOZXOZ平面的对称平面的对称特点：特点：x zx z值不变，值不变，y y坐标符号改变坐标符号改变1000010000100001Tx y z 1 T = x -y z 1x y z 1 T = x -y z 1342009-2010-2:CG:SCUEC四、平移变换四、平移变换指空间的立体从一个位置移动到另一位置时，指空间的立体从一个位置移动到另一位置时，其形状、大小都不发生变换的变换其形状、大小都不发生变换的变换1000100010001nmlT例：一单位立方体，现将它沿例：一单

28、位立方体，现将它沿 x x方向移动方向移动3 3单位，单位， y y方向移动方向移动2 2单位，单位， z z方向移动方向移动3.53.5单位单位10005.310020103001T0 0 0 10 0 1 10 1 0 10 1 1 11 0 0 11 0 1 11 1 0 11 1 1 1S*T=10005.310020103001=3 2 3.5 1 3 2 4.5 13 3 3.5 13 3 4.5 14 2 3.5 14 2 4.5 14 3 3.5 14 3 4.5 1352009-2010-2:CG:SCUEC五、旋转变换五、旋转变换1.1.绕绕X X轴旋转轴旋转 角角X X坐

29、标不变坐标不变Y Y、Z Z坐标发生变化坐标发生变化10000cossin00sincos00001TX XY YZ Z3.3.绕绕Z Z轴旋转轴旋转 角角Z Z坐标不变坐标不变X X、Y Y坐标发生变化坐标发生变化1000010000cossin00sincosTX XY YZ Z2.2.绕绕Y Y轴旋转轴旋转 角角Y Y坐标不变坐标不变X X、Z Z坐标发生变化坐标发生变化10000cos0sin00100sin0cosTX XY YZ Z362009-2010-2:CG:SCUECv某些图形软件包提供两种图形变换模式，可方某些图形软件包提供两种图形变换模式，可方便地控制变换的次序。便地控

30、制变换的次序。 图形模式：矩阵合并时，先调用的矩阵放在右边，图形模式：矩阵合并时，先调用的矩阵放在右边，后调用的矩阵放在左边后调用的矩阵放在左边.也称为也称为固定坐标系模式固定坐标系模式。这。这种模式的特点是每一次变换均可看成相对于种模式的特点是每一次变换均可看成相对于原始坐原始坐标系标系执行的。执行的。 空间模式：空间模式：又称又称活动坐标系模式活动坐标系模式。先调用的矩阵放先调用的矩阵放在左边，后调用的矩阵放在右边在左边，后调用的矩阵放在右边,连续执行几次变换连续执行几次变换时，每一次变换均可看成是时，每一次变换均可看成是在上一次变换形成的新在上一次变换形成的新坐标系坐标系中进行的。中进行

31、的。372009-2010-2:CG:SCUECv图形模式图形模式 在图形模式下如按下列流程在图形模式下如按下列流程1)至至5)绘图：绘图： 1）绘制矩形）绘制矩形; 2）绕）绕z轴旋转轴旋转30; 3）绘制矩形）绘制矩形; 4）沿）沿x轴平移距离轴平移距离2; 5）绘制矩形）绘制矩形;（a）xyoxyoxy（b）（c）xxyyo图4.11 先旋转后平移1233001231233001233211002cos30sin30000100sin30cos3000001000101000110001xxyyzz cos30sin3002sin30cos3000001010001xyz 变换的模式图形

32、模式1382009-2010-2:CG:SCUEC 在图形模式下如按下列流程在图形模式下如按下列流程1)至至5)绘图：绘图： 1)绘制矩形绘制矩形; 2)沿沿x轴平移距离轴平移距离2; 3)绘制矩形绘制矩形; 4)绕绕z轴旋转轴旋转30；5)绘制矩形绘制矩形; yxxy（c）o（a）（b）图4.12 先平移后旋转1233 00 xxyyooxy1321231231002cos30sin30000100sin30cos300000100010000110001xyz cos30sin3002cos30sin30cos3002sin30001010001xyz 以上两个例子中每一次变换均可看成相对于以上两个例子中每一次变换均