2022年抛物线专题复习讲义及练习

1、优秀教案欢迎下载抛物线专题复习讲义及练习知识梳理1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 (0p) ：标准方程pxy22pxy22pyx22pyx22图形yxoyxoyxoyxo焦点)0 ,2(pf)0,2(pf)2, 0(pf)2, 0(pf准线2px2px2py2py范围ryx,0ryx, 00, yrx0, yrx对称轴x轴y轴顶点（0，0）离心率1e2. 抛物线的焦半径、焦点弦)0(22ppxy的焦半径pf2px;)0(22ppyx的焦半径pf2py； 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径. 其长度为2p. ab 为抛物线pxy22的焦点弦，则baxx42p，bayy2p，| ab=

2、pxxba重难点突破重点 :掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点 : 与焦点有关的计算与论证重难点 :围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识问题 1：抛物线y=42x上的一点 m到焦点的距离为1，则点 m的纵坐标是 ( ) a. 1617 b. 1615 c.87 d. 0 点拨：抛物线的标准方程为yx412，准线方程为161y, 由定义知，点m到准线的距离精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 11 页 - - - - - - -

3、 - -优秀教案欢迎下载为 1，所以点m的纵坐标是16152.求标准方程要注意焦点位置和开口方向问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3，2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有4 种，经过第一象限的抛物线有2 种，故满足条件的抛物线有2条3.研究几何性质，要具备数形结合思想，“两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨： 设ab为抛物线的焦点弦，f 为抛物线的焦点，点、 ba分别是点ba、在准线上的射影，弦ab的中点为m，则 bbaabfafab，点 m 到准线的距离为abbbaa21) (21，以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切热点考点

4、题型探析考点 1 抛物线的定义题型利用定义 , 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1 已知点 p在抛物线y2 = 4x 上，那么点p到点 q （2， 1）的距离与点p到抛物线焦点距离之和的最小值为【解题思路】将点p到焦点的距离转化为点p到准线的距离解析 过点 p作准线的垂线l交准线于点r，由抛物线的定义知，prpqpfpq，当p点为抛物线与垂线l的交点时，prpq取得最小值，最小值为点q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3 【名师指引】 灵活利用抛物线的定义，就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换，一般来说, 用定义问题都与焦半径问题相关【新

5、题导练】1. 已知抛物线22(0)ypx p的焦点为f，点111222()()p xyp xy，333()p xy，在抛物线上，且|1fp、|2fp、|3fp成等差数列，则有（）a321xxx b321yyyc2312xxx d. 2312yyy解析 c 由抛物线定义，2132()()(),222pppxxx即：2312xxx2.已知点),4,3(af是抛物线xy82的焦点 ,m 是抛物线上的动点,当mfma最小时 , m 点坐标是( ) a. )0,0(b. )62,3(c. )4,2(d. )62,3(精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - -

6、第 2 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载解析 设 m 到准线的距离为mk,则mkmamfma|，当mkma最小时，m 点坐标是)4, 2(，选 c考点 2 抛物线的标准方程题型 : 求抛物线的标准方程例 2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2) (2)焦点在直线240 xy上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论. 解析 (1)设所求的抛物线的方程为22ypx或22(0)xpy p, 过点 (-3,2) 229)3(24pp或2934pp或抛物线方程为243yx或292xy, 前者的准线方程是

7、1,3x后者的准线方程为98y (2)令0 x得2y，令0y得4x，抛物线的焦点为(4,0) 或(0,-2),当焦点为 (4,0)时,42p, 8p，此时抛物线方程216yx; 焦点为 (0,-2)时22p4p，此时抛物线方程28xy. 所求抛物线方程为216yx或28xy, 对应的准线方程分别是4,2xy. 【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】3. 若抛物线22ypx的焦点与双曲线2213xy的右焦点重合, 则p的值 解析 4132pp4. 对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为

8、5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）. 能使这抛物线方程为y2=10 x的条件是 _. （要求填写合适条件的序号）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载 解析 用排除法，由抛物线方程y2=10 x 可排除，从而满足条件. 5. 若抛物线的顶点在原点，开口向上，f 为焦点， m为准线与y轴的交点， a为抛物线上一点, 且3| ,17|afam，求此抛物线的方程 解析 设点a是点a在准线上的射影，则3| | aa，由勾股定理知22| | ma，点 a的横

9、坐标为)23 ,22(p， 代入方程pyx22得2p或 4， 抛物线的方程yx42或yx82考点 3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证例 3 设 a、b 为抛物线pxy22上的点 ,且90aob(o 为原点 ),则直线 ab 必过的定点坐标为 _. 【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置解析设直线oa 方程为kxy,由pxykxy22解出 a 点坐标为)2,2(2kpkppxyxky212解出 b 点坐标为)2,2(2pkpk，直线 ab 方程为221)2(2kpkxkpky,令0y得px2，直线 ab 必过的定点)0,2( p【名师指引】 （1）由于是填空题，可取两特殊直

10、线ab, 求交点即可； （2）b 点坐标可由a点坐标用k1换 k 而得。【新题导练】6. 若直线10axy经过抛物线24yx的焦点，则实数a 解析 -1 7. 过抛物线焦点f 的直线与抛物线交于两点a、b,若 a、b 在抛物线准线上的射影为11,ba,则11fba( ) a. 45b. 60c. 90d. 120 解析 c 基础巩固训练1.过抛物线xy42的焦点作一条直线与抛物线相交于a、b两点，它们的横坐标之和等于)(422raaa，则这样的直线（）a.有且仅有一条 b.有且仅有两条 c.1条或 2 条 d.不存在 解析 c 44)1(52|22aaapxxabba，而通径的长为4精品学习资

11、料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载2.在平面直角坐标系xoy中，若抛物线24xy上的点p到该抛物线焦点的距离为5，则点p 的纵坐标为（）a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 解析 b 利用抛物线的定义，点p 到准线1y的距离为5，故点 p 的纵坐标为43.两个正数a、b的等差中项是92，一个等比中项是2 5，且,ba则抛物线2()yba x的焦点坐标为( ) a1(0,)4b1(0,)4c1(,0)2d1(,0)4 解析 d. 1,4,5abba4. 如果1p，2p，8p是

12、抛物线24yx上的点，它们的横坐标依次为1x，2x，8x，f 是抛物线的焦点， 若)(,21nnxxxn成等差数列且45921xxx， 则|5fp=（） a5 b6 c 7 d 9 解析 b 根据抛物线的定义，可知12iiippfxx（1i，2， n） ，)(,21nnxxxn成等差数列且45921xxx,55x,|5fp=6 5、抛物线,42fxy的焦点为准线为 l，l 与 x 轴相交于点e，过 f 且倾斜角等于60的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点a，abl，垂足为 b，则四边形abef 的面积等于（）a33b34c36d38 解析 c. 过 a 作 x 轴的垂线交x 轴于点 h，设

13、),(nma，则1, 1mofohfhmabaf，32, 3) 1(21nmmm四边形 abef 的面积 =32)13(221366、设o是坐标原点，f是抛物线24yx的焦点，a是抛物线上的一点，fa与x轴正向的夹角为60，则oa为 解析 21. 过 a 作adx轴于 d，令fdm，则mfa2即mm22，解得2m)32, 3(a21)32(322oa综合提高训练精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载7.在抛物线24yx上求一点，使该点到直线45yx的距离为最短，求该点的

14、坐标 解析 解法 1：设抛物线上的点)4,(2xxp，点p到直线的距离17|544|2xxd1717417|4)21(4|2x，当且仅当21x时取等号，故所求的点为），（121解法 2：当平行于直线45yx且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为bxy4，代入抛物线方程得0442bxx，由01616b得21, 1 xb，故所求的点为），（1219.设抛物线22ypx（0p）的焦点为f，经过点f 的直线交抛物线于a、b 两点点c 在抛物线的准线上，且bcx 轴证明直线ac 经过原点 o证明 :因为抛物线22ypx（0p）的焦点为,02pf，所以经过点f 的直线 ab 的方程可设

15、为2pxmy，代人抛物线方程得2220ypmyp若记11,a x y，22,b xy，则21, yy是该方程的两个根，所以212y yp因为 bcx 轴，且点c 在准线2px上，所以点c 的坐标为2,2py，故直线 co 的斜率为21112.2yypkpyx即k也是直线oa的斜率，所以直线ac经过原点o10.椭圆12222byax上有一点m（-4，59）在抛物线pxy22（p0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. （1）求椭圆方程；（2）若点 n 在抛物线上，过n 作准线 l 的垂线，垂足为q 距离，求 |mn|+|nq| 的最小值 . 解： （1）12222byax上的点 m 在抛物线

16、pxy22（p0）的准线l 上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. 精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载c=-4，p=8m（ -4，59）在椭圆上125811622ba222cba由解得：a=5、b=3 椭圆为192522yx由 p=8 得抛物线为xy162设椭圆焦点为f（4，0） ，由椭圆定义得 |nq|=|nf| |mn|+|nq| |mn|+|nf|=|mf| =541)059()44(22，即为所求的最小值. 参考例题：1、已知抛物线c 的一个焦点为f（21，0） ，

17、对应于这个焦点的准线方程为x=-21. （1）写出抛物线c 的方程；（2）过 f 点的直线与曲线c 交于 a、b 两点， o 点为坐标原点，求aob 重心 g 的轨迹方程；解： （1）抛物线方程为：y2=2x. （4 分）（2）当直线不垂直于x 轴时，设方程为y=k(x-21)，代入 y2=2x，得： k2x2-(k2+2)x+042k. 设 a（x1，y1） ，b(x2， y2)，则 x1+x2=222kk，y1+y2=k(x1+x2-1)=k2. 设 aob 的重心为g（x，y）则kyyykkxxx32303230212221，消去 k 得 y2=9232x为所求，（6 分）精品学习资料

18、可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载当直线垂直于x 轴时， a（21，1） ，b（21，-1） ，（8 分）aob 的重心 g（31，0）也满足上述方程. 综合得，所求的轨迹方程为y2=9232x，（9 分）抛物线专题练习一、选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）1如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）a （1, 0）b （2, 0）c （3, 0）d （ 1, 0）2圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一

19、个圆的方程是（）ax2+ y 2-x-2 y -41=0 bx2+ y 2+x-2 y +1=0cx2+ y 2-x-2 y +1=0 dx2+ y 2-x-2 y +41=0 3抛物线2xy上一点到直线042yx的距离最短的点的坐标是（）a （1，1）b （41,21） c)49,23(d （2，4）4一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽 4m，若水面下降1m，则水面宽为 （）a6m b 26m c4.5m d 9m 5平面内过点a（-2，0） ，且与直线x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是（）a y 2=2x b y 2=4x cy 2=8xdy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称

20、轴是x 轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（）a y 2=-2xb y 2=-4xc y 2=2xd y 2=-4x 或 y 2=-36x7过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于a( x1, y 1) ，b(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|ab|= （）a8 b10 c6 d4 8 把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a)3,2(平移，所得的曲线的方程是 （）a)2(4)3(2xyb)2(4)3(2xyc)2(4)3(2xyd)2(4)3(2xy精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第

21、 8 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载9过点 m（2，4）作与抛物线y 2=8x 只有一个公共点的直线l 有（）a0 条 b1 条c2 条 d3 条10过抛物线y =ax2(a0)的焦点 f 作一直线交抛物线于p、q 两点，若线段pf与 fq 的长分别是 p、q，则qp11等于（）a2aba21c4a d a4二、填空题11抛物线y2=4x 的弦ab 垂直于x 轴，若ab 的长为43，则焦点到ab 的距离为12抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是13p是抛物线y 2=4x 上一动点，以p为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过

22、一个定点q，点 q 的坐标是14抛 物线 的焦 点为椭圆14922yx的 左 焦点 ，顶 点在椭圆中心 ，则 抛物线方程为一选择题（本大题共10 小题，每小题5 分，共 50 分）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案a d a b c b a c c c 二填空题（本大题共4 小题，每小题6 分，共 24 分）11 2 124kx13 （1，0）14xy542三、解答题15已知动圆m 与直线 y =2 相切，且与定圆c：1)3(22yx外切，求动圆圆心m 的轨迹方程解析 ：设动圆圆心为m（x， y） ，半径为r，则由题意可得m 到 c（0， -3）的距离与到直线 y=3 的距离相

23、等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以c（0，-3）为焦点，以 y=3 为准线的一条抛物线，其方程为yx12216已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上的点m（ 3，m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和m 的值 （12 分）精品学习资料 可选择p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 11 页 - - - - - - - - -优秀教案欢迎下载解析 ：设抛物线方程为)0(22ppyx，则焦点f（0 ,2p） ，由题意可得5)23(6222pmpm，解之得462pm或462pm，故所求的抛物线方程为yx82，62的值为m17动直线y

24、=a，与抛物线xy212相交于 a 点，动点b 的坐标是)3,0(a，求线段ab 中点 m 的轨迹的方程(12 分) 解析 ：设 m 的坐标为（ x，y） ，a（22a，a） ，又 b)3,0(a得ayax22消去a，得轨迹方程为42yx，即xy4219如图，直线l1和 l2相交于点m，l1l2，点 nl1以 a、b 为端点的曲线段c 上的任一点到 l2的距离与到点n 的距离相等若amn 为锐角三角形，|am|=，|an|=3，且|bn|=6 建立适当的坐标系，求曲线段c 的方程 (14 分 ) 解析 ：如图建立坐标系，以l1为 x 轴， mn 的垂直平分线为y 轴，点 o 为坐标原点由题意可知：曲线c 是以点 n 为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中a、b 分别为 c的端点设曲线段 c 的方程为)0,(),0(22yxxxppxyba，其中