2022年数学分析教案(华东师大版)第二十二章曲面积分

1、学习必备欢迎下载其次十二章 曲面积分教学目的： 1.懂得第一、二型曲面积分的有关概念，并把握其运算方法，同时明确它们的联系； 2. 把握高斯公式与斯托克斯公式；3.懂得有关场的概念，把握梯度场、散度场、旋度场、治理场与有势场的性质及应用；教学重点难点 ：本章的重点是曲面积分的概念、运算；难点是其次型曲面积分；教学时数 ：18 学时§ 1第一型曲面积分一.第一型面积分的定义 :1. 几何体的质量 :已知密度函数,分析平面区域、空间几何体的质量定义及运算2. 曲面的质量 :3. 第一型面积分的定义 :定义及记法 ., 面积分.4. 第一型面积分的性质 :二.第一型面积分的运算 :1.第一

2、型曲面积分的运算 :th22.2设有光滑曲面.为上的连续函数,就.例 4运算积分,其中是球面被平面所截的顶部 .p281§2 其次型曲面积分一.曲面的侧 :1. 单侧曲面与双侧曲面 :2. 双侧曲面的定向 : 曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧 . 设法向量为,就上侧法线方向对应第三个重量 , 即选“+”号时，应有 ，亦即法线方向与 轴正向成锐角 . 类似确定其余各侧的法线方向 闭合曲面分内侧和外侧.二.其次型曲面积分 :1. 稳流场的流量 :以磁场为例 .p2842. 其次型曲面积分的定义 :p284 .闭合曲面上的积分及记法 .3. 其次型曲面积分的性质 :线性 ,关于积分曲面块

3、的可加性 .4. 其次型曲面积分与第一型曲面积分的关系:设为曲面的指定法向 ,就.三.其次型曲面积分的运算 :th22.2设是定义在光滑曲面d上的连续函数 , 以的上侧为正侧 即,就有.证 p类似地,对光滑曲面d, 在其前侧上的积分.对光滑曲面d, 在其右侧上的积分.运算积分时, 通常分开来运算三个积分,.为此, 分别把曲面投影到 yz 平面,zx 平面和 xy 平面上化为二重积分进行运算.投影域的侧由曲面的定向打算 .例 1运算积分,其中是球面在部分取外侧 .p287例 2运算积分，为球面取外侧.解对积分,分别用和记前半球面和后半球面的外侧, 就有:;:.因此,=+=.对积分, 分别用和记右

4、半球面和左半球面的外侧, 就有:;:.因此,+=.对积分就有:,分别用和记上半球面和下半球面的外侧 ,;:因此,=+=.综上,=.§ 3gauss 公式和 stokes 公式一.gauss 公式:th22.6设空间区域 v 由分片光滑的双侧封闭曲面围成 .如函数在 v上连续, 且有连续的一阶偏导数, 就,其中取外侧.称上述公式为 gauss 公式或gauss公式.证只证.设 v 是型区域 即型体 , 其边界曲面由曲面下侧 ,d,上侧 ,d.以及垂直于平面的柱面外侧组成.留意到=, 有=.可类证,.以上三式相加 , 即得 gauss 公式.例 1运算积分，为球面取外侧.解.由 gaus

5、s 公式.例 2运算积分，其中是边长为的正方体 v 的表面取外侧 . v :.p291解应用 gauss 公式 , 有.例 1运算积分，为锥面在平面下方的部分，取外法线方向 .解设为圆取上侧 ,就构成由其所围锥体v 的表面外侧 ,由 gauss 公式 , 有=锥体 v 的体积;而因而,.例 1 设 v 是三维空间的区域 , 其内任何封闭曲面都可不通过 v 外的点连续收缩为 v 上的一点 . 又设函数 、 和 在 v 上有连续的偏导数 . 表示 v 内任一不自交的光滑封闭曲面 , 是 的外法线 . 试证明: 对 v 内任意曲面 恒有的充要条件是在 v 内到处成立 .证由 gauss 公式直接得到

6、 .反设不然 , 即存在点v,使,与冲突.不妨设其.由在点连续,存在以点为中心且在v内的小球就有, 使在其内有. 以表示小球的表面外侧,二.stokes 公式:空间双侧曲面的正侧与其边界闭合曲线 l 正向的匹配关系 : 右手螺旋法就 , 即当人站在曲面的正侧上 , 沿边界曲线 l 行走时, 如曲面在左侧 , 就把人的前进方向定为 l 的正向.1. stokes 定理:th22.7设光滑曲面的边界 l 是按段光滑的连续曲线 .如函数、和在 连同 l 上连续 ,且有一阶连续的偏导数 , 就.其中的侧与 l 的方向按右手法就确定 .称该公式为 stokes 公式 .证先证式.详细证明参阅 p292.stokes 公式也记为.例 5运算积分,其中 l 为平面与各坐标平面的交线 ,方向为:从平面的上方往下看为逆时针方向 .p2942. 空间曲线上其次型曲线积分与路径无关性:空间单连通、复连通域 .th 22.5设r为空间单连通区域 .如函数、和在上连续,且有一阶连续的偏导数, 就以下四个条件等价 :>对于内任一按段光滑的封闭曲线l ,有>对于内任一按段光滑的封闭曲线l ,曲