2022年数学百大经典例题-绝对值不等式

1、精品资料欢迎下载典型例题一例 1 解不等式 x12x32aa0分析： 解含有肯定值的不等式，通常是利用肯定值概念a，将不等式中的肯定符号去aa0掉，转化成与之同解的不含肯定值的不等式（组），再去求解去肯定值符号的关键是找零点（使肯定值等于零的那个数所对应的点） ，将数轴分成如干段，然后从左向右逐段争论解： 令 x10 ， x1 ，令 2 x30 ， x3，如下列图2（ 1）当 x1 时原不等式化为 x12x32 x2 与条件冲突，无解（ 2）当1x3时，原不等式化为 x122 x32 x0 ，故 0x3 2（ 3）当 x3时，原不等式化为2x12 x32 x6 ，故 3x6 2综上，原不等式的

2、解为x 0x6 说明： 要留意找零点去肯定值符号最好画数轴，零点分段， 然后从左向右逐段争论， 这样做条理分明、不重不漏典型例题二例 2 求使不等式x4x3a 有解的 a 的取值范畴分析： 此题如用争论法，可以求解，但过程较繁；用肯定值的几何意义去求解特别简便解法一： 将数轴分为,3 , 3,4, 4, 三个区间当 x3 时，原不等式变为 4x3xa, x7a7a有解的条件为223 ，即 a1 ；当 3x4 时，得 4x x3a ，即 a1；当 x4 时，得 x4x3a ，即 xa7a7，有解的条件为224 a1 以上三种情形中任一个均可满意题目要求，故求它们的并集，即仍为a1 解法二： 设数

3、 x ， 3， 4 在数轴上对应的点分别为p， a， b，如图，由肯定值的几何定义，原不等式papba 的意义是 p 到 a、b 的距离之和小于 a 由于 ab1 ，故数轴上任一点到a、b 距离之和大于（等于1），即 x4x31，故当 a1 时，x4x3a 有解典型例题三例 3 已知 xa,0yb2m, y0, m2 a ，求证 xyab分析： 依据条件凑 xa, yb 证明： xyabxyyayaaby xaa yby xaaybma2 m2 a说明： 这是为学习极限证明作的预备，要习惯用凑的方法典型例题四例 4 求证a 2b 2aba分析： 使用分析法证明 a0 ，只需证明 a2b22aa

4、 b，两边同除2b ，即只需证明a 2b 22b2a a，即b 2b a 21b a 2ab b当 a1 时， b a 21b a 21b a 2ba ；当 a1 时， bbab0 ，原不等式明显成立原不等式成立说明： 在肯定值不等式的证明，常用分析法本例也可以一开头就用定理：a2b 2a22abbabaaa（ 1）假如1，就 abb0，原不等式明显成立bbb（ 2）假如1，就b ，利用不等式的传递性知a， b aaaab ，原不等式也成立典型例题五ab例 5 求证1abab1a1b分析： 此题的证法许多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法

5、，再用单调性去证明证明： 设xf x1x1x1111x1x定义域为 xxr，且 x1 ，f x 分别在区间 ,1 ，区间 1 , 上是增函数又 0abab ， f ab f ab ab即1abab1aba1abb1abab1a1b原不等式成立说明： 在利用放缩法经常常会产生如下错误： abab ， 1ab0 ， ab1abab1aba1abb1abab1a1b错误在不能保证1ab1a ， 1ab1b 肯定值不等式abab 在运用放缩法证明不等式时有特别重要的作用，其形式转化比较敏捷放缩要适度，要依据题目的要求，准时调整放缩的形式结构典型例题六 a1 2a1 22例 6 关于实数 x 的不等式x

6、与 x3a1 x23a10 ar 的解集依次为22a 与 b ，求使 ab 的 a 的取值范畴分析： 分别求出集合 a 、 b ，然后再分类争论解： 解不等式 xa122a12，2a1 22xa1 22a1 2，2 ax 2axa 21, ar解不等式 x23a1 x23a10 ， x3a1 x20 1当 a时（即 3a1 32 时），得 bx 2x3a1, a131当 a时（即 3a 312 时），得 bx 3a1x2 , a131当 a时，要满意 a 3b ，必需2a2,a213a故 1a3 ；1,1当 a时，要满意 a 3 a1b ，必需2a3a1,2a 21;a1,1a1,所以 a 的

7、取值范畴是ar a1或 1a3 说明： 在求满意条件 ab 的 a 时，要留意关于 a 的不等式组中有没有等号，否就会导致误会典型例题七例 6 已知数列通项公式 ansin a 2sin 2a 22sin 3a 23sin na 2n对于正整数 m 、n ，当 mn时，求证：aman12n 分析： 已知数列的通项公式是数列的前n 项和，它的任意两项差仍是某个数列的和，再利用不等式a1a2ana1a2an ，问题便可解决证明： mn amansin n2n1) a1sinn2n2) a2sin ma 2msinn2n1) a1sin n2n2) a2sin ma 2m12n 112n 2112n

8、 1 12m112m n121 12n12m n1 012n12m n1 说明：12n 112n 21m 是以212n 1为首项，以1 为公比，共有m2n 项的等比数列的和，误认为共有 mn1项是常见错误正余弦函数的值域，即sin1 ， cos1 ，是解此题的关键此题把不等式、三角函数、数列、n 个变量的肯定值不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目假如将此题中的正弦改为余弦，不等式同样成立典型例题八例 8 已知f xx2x13 ， xa1，求证：f xf a2 a1分析： 此题中给定函数f x 和条件 xa1 ，留意到要证的式子右边不含x ，因此对条件xa1 的使 用 可 有 几 种 选

9、 择 ： 1 直 接 用 ； 2 打 开 绝 对 值用 a1xa1 ， 替 出 x ； 3 用 绝 对 值 的 性 质xaxa1xa1 进行替换证明： f xx 2x13，f aa2a13 ， xa1 ， xaxa1 xa1 ， f xf ax2a2ax xa xa xa xa xa1xaxa1xa1xa1a1a12 a1 ，即 f xf a2 a1 说明： 这是肯定值和函数的综合题，这类题通常要涉及肯定值及肯定值不等式的性质等综合学问的运用分析中对条件xa1 使用时显现的三种可能是常常遇到的，要结合求证，敏捷选用典型例题九x0例 9 不等式组3x3x2x 的解集是（）2xax 0x2b x0

10、x2.5cx 0x6dx0x3分析： 此题是考查含有肯定值不等式的解法，由 3x3x2x ，知 3x2x3x0 ，3x3 ，又 x0 ， 0x3 ，解原不等式组实为解不等式3x23x2x （ 0x x3 ）解法一： 不等式两边平方得：3x 2 2x 23x 2 2x 2 x2x6 2 x2x6 2 ，即 x2x6x 2x6 x2x6x 2x60 ， x6x 2 0 ，又 0x3 x2600x3 0x6 选 c解法二： x0 ，可分成两种情形争论：(1) 当 0x3x2 时，不等式组化为3x2x （ 0x2x2 ）解得 0x2 (2) 当 x2 时，不等式组可化为3xx3x22 （ x x2 ）

11、，解得 2x6 综合 1、2得，原不等式组的解为0x6 ，选 c说明： 此题是在 x0 的条件下，解一个含肯定值的分式不等式，如何去肯定值是此题的关键所在，必需留意，只有在保证两边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方另一种方法就是分区间争论，从而去掉肯定值符号当然此题仍可用特别值排除法求解典型例题十例 10 设二次函数f xax2bxc a0 ，且 b0，已知 ba ， f01， f 11， f 11 ，当 x1 时，证明5f x4分析： 从 a0 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从x1 且f 11， f11 知，要求证的是 f x5 ，所以抛物线的顶点肯定在x 轴下方，取肯定值后，图像翻到x 轴上方因此抛物线的顶点4的取值特别重要，也是解这道题的关键所在证明： 2babcabcabcabcf 1f 1112 ， b1 又 ba ， b1 ab12a2又 cf 01 1 ， f b 2a4acb 2b2c，4a4a22 f b cbcb2a4a4ac1bb4a11 1 15 44而 f