非线性算子方程的多重正解及其应用

1、yiT论女第表站凉非线性算子方程的多重正解及其应用【摘要】：自然科学、工程技术以及社会科学的许多领域中（如物理学、 生态学、经济学等）都提出了大量的非线性问题，这些问题大都可以 归结为非线性微分方程或非线性积分方程等，由此可以抽象出非线性 算子方程进行研究。因此，利用非线性分析这一有力的工具来研究非 线性算子方程的解，无论在理论上还是在实际应用中都有着非常重要 的意义。本文可分为三部分。第一部分为第一章，主要利用非线性泛 函分析中的锥理论、拓扑度理论以及不动点指数理论讨论了一类非线 性算子方程的多解问题，统一了非线性分析中著名的Amann三解定理与Leggett-Williams三解定理。同时

2、，将所获结果应用到一类四阶 微分方程边值问题上，得到了一些新的结论。第二部分为第二、三章。 在这两章中，我们利用拓扑度理论与锥理论分别从核函数与非线性项 这两个不同的角度考察非线性 Hammerstein积分方程，去掉了以往的 一些限制条件，得到了一些新的结论。第三部分为第四章，属于非线 性分析方法在微分方程中的具体应用。我们将微分方程化为积分方 程，然后利用锥理论与不动点指数理论，解决了一类奇异 Sturm-Liouville边值问题正解的存在性问题，推广了一些已有的结果。 下面加以具体阐述。首先我们约定，在下文中，E是实Banach空间，P是E中的锥。在第一章中，我们利用锥理论与不动点指数

3、理论统一 了著名的Amann三解定理与Leggett-Williams三解定理。主要结论是： 设D是E中的非空有界闭凸集，a B是D上的非负连续泛函，且 awyiT论女第表茸冢是凹泛函，B是凸泛函。设Ovd<a记U_1=x D: B (x*d), U_2二x D: a(xAa)。定理 1. 2. 1 设 A : DD 全连续。U_1, U_步 © (?) n (?)二而且(i )存在z_1 U_1满足：若存在x (?)U_1, t使得 Ax二z_1+t(x-z_1)，贝卩3 (AxV d; (ii)存在 z_2 U_2 满足：若存在 x (?)U_2, t使得 Ax=z_2+t

4、(x-z_2)，贝S a (Ax>a，其中(?)U表示 U相对于D的边界，i=1 , 2。则A在D中至少有三个不动点x_1, x_2, x_3，满足 3 (x_1 V d, av a (x_2) dv 3 (x_3且 a (x_3V a。我们 将会看到，Amann三解定理与Leggett-Williams三解定理，以及五泛 函不动点定理都是定理1. 2. 1在特殊情形下的推论，因此我们在本 质上推广了这些定理。在第二章，我们讨论了一类带有变号核的非线 性Hammerstein积分方程的特征值与特征元。设 G是Rn中的有界 闭区域，核函数七定义在 GXG上且不一定2摘要是非负函数，Cp)

5、表示G上的连续函数构成的空间，L' p)表示G上的P方可积函数 构成的空间.主要结论如下：定理 2 2.互设(I)正在GXG上连续， 且存在函数人E*叮qb>使得人N则从不N血>o, Wa (河j 在GxR上连续，Jk0)。0,几(。，叫存在且当M充分小时几(。，。) 连续；(山f有下界，11m卜卜十。八x,。川。D = + 00对0Gl =GVOEG:呵。)一时一致成立.则*)任给 A 一 0, A 一入。，n =1,2,，人是A的特征值，其中兴。)是线性积分算子K: C (G) MC (G)的全体特征值构成的数列，KI的定义如下；K1叫x)= Jx,利几(9, 0) p

6、M咖(n) tim卜卜十。加川一一 I co,其中 W。是A关于特征值人的特征向量；(训对任何A 一 0,入一人；。=1人,存在。=a (v>0, R 一只对o使得对任何4Eqa满足0<帅【D v a, 方程抑(。)=兴叨x)十队x)至少有两个连续解pl, Wb满足W色 e0可收包DD v Ri = 1, 2.定理2. 2. 1是【32中定理2的推广， 我们用弱一些的条件“hE*。( q ( P > 1 ) ”代替了 松x ) sabou ndedmeasurablefulctio n,从而扩展了定理的应用范围.在第三 章，我们仍考虑非线性Hanun erste in积分方程

7、.与第二章不同的是， 我们假定核函数k是非负的，而针对非线性项f进行讨论.首先，我 们利用锥理论与拓扑度理论研究了一类非锥映射的拓扑度，然后将所获结果应用到非线性Hammerstein积分方程上，得到了新的结论.设 E 一户二户，B: EME是全连续正线性算子.设，旧)是B的话半径， B 是B的共轭算子，P'是P的共轭楔，根据 Krein Rutman定理， 如果 r 旧)/0;则存在 7ePVg), g” eP< p,使得 B7=, (B) 7, B” g” =，旧) g”. (3. 2, l)取” eP 0使得上式成立，取 5>0, 令P (g”，的叫pEP： g”(叫

8、三外训)，显然r (g”/)是E中的锥.主 要结论如下：定理3. 2.互设以下条件成立：(HI)存在g” P八伊), vEPVO); 6>0;使得限 2 1)成立且 B: P+ P (g*，旬；(HZ) TI; TZ : E+ P是连续算子，且存在 2,尸E (0, ILM ;, MZ > 0, 使得* 叫卜 r*官 Ila, tITZwISMZ 否合，VpeE;摘要 3(H3) F: E E 是有界连续算子，且存在。EE使得F中十。十场pEP,咖EP; (民) 存在4EE, D>0,使得*蜘，旧厂(1 +枷一 B乃p 一* np 一 队WEE.【关键词】:【学位授予单位】：

9、山西大学【学位级别】：硕士【学位授予年份】：2003【分类号】：0177【目录】：摘要6-10Abstract10-13第一章 Amann三解定理与 Leggett-Williams三解定理的推广及其应用13-231.1引言131.2主要结 果及其证明13-201.3 一类四阶边值问题的多重正解 20-23第二章一类 带有变号核的非线性Hammerstein积分方程的特征值与特征元23-312.1引言23-242.2主要结果及其证明24-272.3定理2.2.1的一种 直接证法 27-31第三章非线性Hammerstein积分方程的非零解31-373.1引言313.2非线性算子A的拓扑度计算31-333.3关于定理3.2.1中条件(H_1)的讨论33-343.4非线性Hammerstein积分方程的非